高三总温习直线与圆的方程知识点总结及典型例题..docx

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1、高三总温习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.直线与圆的方程、直线的方程已知L上两点P1x1,y1P2x2,y2当x1=x2时，=900，不存在。当0时，=arctank，讲明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑kk2、L1到L2的角为0，则tan1k2k2k1k1k1k21两行平线间距离：c1c2L1=AX+BY+C1=0L2：AX+BY+C2=0dA2B2与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+CdA2B2与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是AXBYC1C225、对称：1点关于点对称：px1,y1关于Mx0,y0的对称P2X0X1,2Y0Y

2、14、点到直线距离：dAx0By0c已知点p0x0,y0，L：AX+BY+C=0A2B2k2k11k2k1tan3、夹角：般方法：如图：思路1设P点关于L的对称点为P0x0,y0则Kpp0KL=1P,P0中点知足L方程解出P0x0,y0思路2写出过PL的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0x0,y0的坐标。3直线关于点对称L：AX+BY+C=0关于点PX0、Y0的对称直线l：A2X0-X+B2Y0-Y+C=04直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线fx、y=0关于y=x对称曲线是fy、x=0关于y=-x对称曲线是f-y、-x=0关于x=a对称曲线是f2a-x、y=0关于y=b对

3、称曲线是fx、2b-y=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划约束条件、线性约束条件、目的函数、线性目的函数、线性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确建议稍画大一点。线性约束条件必须考虑完好。先找可行域再找最优解。四、圆的方程221、圆的方程：标准方程xa2ybr2，ca、b为圆心，r为半径。一般方程：x2y2DXEYF0，CD2,E2，rD22E24F222当D2E24F0时，表示一个点。22当D2E24F0时，不表示任何图形。关于x轴对称曲线是关于y轴对称曲线是关于原点对称曲线是fx、-y=0f-x、y=0fPxybrsin为参数以AX1，Y1，BX2

4、，Y2为直径的两端点的圆的方程是X-X1X-X2+Y-Y1Y-Y2=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d，然后与r比拟大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离断定：联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：0相交、0相切、r相离直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt4、圆的切线：1过圆上一点的切线方程2222与圆x2y2r2相切于点x1、y1的切线方程是x1xy1yr2与圆xa2yb2r2相切于点x1、y1的切成方程为：x1axay1bybr2与圆x2y2DXEYF0相切于点x1、y1的切线是xx1yy1x1xy1yD(1)E(1)F0 (xa)2(yb)2r2

5、外一点(x1a)2(y1b)2设切点是p1x1、y1解方程组先求出p1的坐标，再写切线的方程设切线是yy0k(xx0)即kxykx0y00kabkx0y0再由00r，求出k，再写出方程。k21当k值唯一时，应结合图形、考察能否有垂直于x轴的切线已知斜率的切线方程：设ykxbb待定，利用圆心到L距离为r，确定b。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判定、相交、相离外离、内含、相切外切、内切6、圆系同心圆系：(xa)2(yb)2r2，(a、b为常数，r为参数)参数方程：xarcos2过圆外一点切线方程的求法：已知：p0(x0，y0是圆(x0a)(x1a)(y0b)(y1b)2或：x2y2DXEYF0(

6、D、E为常数，F为参数)圆心在x轴：(xa)2y2r2222圆心在y轴：x2(yb)2r2过原点的圆系方程(xa)2 (yb)2a2b2过两圆C1:x2y2D1XE1YF10和C2:x2y2D2XE2YF20的交点的圆系方程为x2y2D1XE1YF1入(x2y2D2XE2YF20(不含C2)，其中入为参数若C1与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判定点P(2,4)与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判定点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的

7、半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2圆心在y0上，故b0圆的方程为(xa)2y2r2又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点(1a)216r2(3a)24r2解之得：a1，r220所以所求圆的方程为(x1)2y220解法二：(直接求出圆心坐标和半径)由于圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又由于42kAB1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程13为：y3x2即xy10又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为

8、C(1,0)半径rAC(11)24220故所求圆的方程为(x1)2y220又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为22dPC(21)24225r点P在圆外讲明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来断定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该怎样来断定直线与圆的位置关系呢？例2求半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)2(yb)2r2圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4

9、)22又已知圆x2y24x2y40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3若两圆相切，则CA437或CA431(1)当C1(a,4)时，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(无解)，故可得a2210所求圆方程为(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242222222(2)当C2(a,4)时，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(无解)，故a226所求圆的方程为(x226)2(y4)242，或(x226)2(y4)242讲明：对此题，易发生下面误解：由题意，所求圆与直线y0相切且半径为4，则圆心坐标为C(a,4)，且方程形如(xa)2(y4)242

10、又圆x2y24x2y40，即(x2)2(y1)232，其圆心为A(2,1)，半径为3若两圆相切，则CA43故(a2)2(41)272，解之得222a2210所以欲求圆的方程为(x2210)2(y4)242，或(x2210)2(y4)242上述误解只考虑了圆心在直线y0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y0下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例3求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线x2y0与2xy0相切，圆心C

11、在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y0和2xy0的距离相等x2yx2y55两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0又圆过点A(0,5)，圆心C只能在直线3xy0上设圆心C(t,3t)C到直线2xy0的距离等于AC化简整理得t26t50解得：t1或t5圆心是(1,3)，半径为5或圆心是(5,15)，半径为55所求圆的方程为(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)21252t3tt2(3t5)25讲明：此题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例4、设圆知足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧

12、，其弧长的比为3:1，在知足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小的圆的方程只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为P(a,b)，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为2r22r22b2又圆截y轴所得弦长为22r2又P(a,b)到直线x2y0的距离为a2bd522a24b24ab2222a24b22(a2b2)222b2a21进而确定圆心坐标得分析：要求圆的方程，足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直

13、线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆15d2a2b当且仅当ab时取“=号，此时dminab这时有2b2a21a1或a1或b1b15又r22b22故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解法二：同解法一，得a2bd5a2b5da24b245bd5d2将a22b21代入上式得：2b245bd5d210上述方程有实根，故8(5d21)0，d555将d代入方程得b15又2b2a21a1由a2b1知a、b同号故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22讲明：此题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方

14、程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O：x2y24，求过点P2，4与圆O相切的切线解：点P2，4不在圆O上，切线PT的直线方程可设为ykx242k4根据dr21k23解得k343所以yx244即3x4y100由于过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2讲明：上述解题经过容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解此题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解)还能够运用x0xy0yr2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解2222例6两圆C1：x2y2D1xE1yF10与C2：x2y2D2xE2yF20相交于A

15、、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的经过太繁为了避免求交点，能够采用“设而不求的技巧解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0)，则有：22x02y02D1x0E1y0F1022x0y0D2x0E2y0F20得：(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20A、B的坐标知足方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20讲明：上述解法中，巧妙地

16、避开了求A、B两点的坐标，固然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念到达了目的从解题的角度上讲，这是一种“设而不求的技巧，从知识内容的角度上讲，还体现了对曲线与方程的关系的深入理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛22例7、过圆x2y21外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。练习：1求过点M(3,1)，且与圆(x1)2y24相切的直线l的方程解：设切线方程为y1k(x3)，即kxy3k10，圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，|k3k1|2，解得k3，24k213切线方程为y1(x3)，即3x4y130，4当

17、过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x3也合适题意。所以，所求的直线l的方程是3x4y130或x35222、过坐标原点且与圆x2y24x2y0相切的直线的方程为2解：设直线方程为ykx，即kxy0.圆方程可化为(x2)2(y1)25，圆心2102k1101为(2，-1)，半径为.依题意有，解得k3或k，直线方程为2k2123y3x或y1x.3223、已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切，则a的值为.225a解：圆(x1)2y21的圆心为(1，0)，半径为1，1，解得a8或a18.52122类型三：弦长、弧问题例8、求直线l:3xy60

18、被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长.例9、直线3xy230截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d3，故弦长AB2r2d22，进而OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3例10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线3xy230和圆x2y24，判定此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线yxm与曲线y4x2有且只要一个公共点，务实数m的取值范围.解：曲线y4x2表示半圆x2y24(y0)，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2m2或m22.例13圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的

19、点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3)，半径r3334311设圆心O1到直线3x4y110的距离为d，则d233242如图，在圆心O1同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意又rd321与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3个解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的m11交点设所求直线为3x4ym0，则d1，3242，m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2

20、：3x4y160设圆O1：(x3)2(y3)29的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点即符合题意的点共3个讲明：对于此题，若不留心，则易发生下面误解：圆O1到3x4y110距离为1的点有两个3343163242设圆心O1到直线3x4y110的距离为d，则d334311324233436d2显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能讲明此直线与圆有两个交点，而不能讲明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因而题中所求的点就是这两条平

21、行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判定，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判定练习1：直线xy1与圆x2y22ay0a0没有公共点，则a的取值范围是a1解：依题意有a，解得21a21.a0，0a21.2练习2：若直线ykx2与圆x22y321有两个不同的交点，则k的取值范围是.2k144解：依题意有1，解得0k，k的取值范围是0,.k2133练习3、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为2的点共有A1个B2个C3个D4个分析：把x2y22x4y30化为x12y228，圆心为1，2，半径为r22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的

22、距离等于2，所以选C练习4、过点P3，4作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C：x12y224有公共点，如下图分析：观察动画演示，分析思路解：设直线l的方程为y4kx3即kxy3k40根据dr有k23k41k22整理得3k24k0解得类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系怎样确定？例14、判定圆C1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40的位置关系，例15：圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有条。解：圆(x1)2y21的圆心为O1(1,0)，半径r11，圆x2(y2)24的圆心为O2(0,2)，半径r22，O1O25,r1r23,r2r11.r2r1O1O2

23、r1r2，两圆相交.共有2条公切线。练习1：若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切，则实数m的取值集合是.解：圆(xm)2y24的圆心为O1(m,0)，半径r12，圆(x1)2(y2m)29的圆心为O2(1,2m)，半径r23，且两圆相切，O1O2r1r2或O1O2r2r1，5125m25，实数m的取值集合是152,52,0,2.2：求与圆x2y25外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程解：设所求圆的圆心为O1(a,b)，则所求圆的方程为(xa)2(yb)220.两圆外切11于点P，OP1OO1，(1,2)(a,b)，a3,b6，所求圆的方程为31322(x3)2

24、(y6)220.类型六：圆中的对称问题例16、圆x2y22x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是(m1)2(2m)25或(m1)2(2m)21，解得m12或m2，或m0或5例17自点A3，3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2y24x4y70相切(1)求光线l和反射光线所在的直线方程(2)光线自A到切点所经过的路程分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为3，3，其次设过A的圆C的切线方程为ykx33根据dr，即求出圆C的切线的斜率为k4或k334进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30或3x4y30最后根据入射光

25、与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3y30或3x4y30222光路的距离为AM，可由勾股定理求得AM2AC2CM27讲明：此题亦可把圆对称到x轴下方，再求解类型七：圆中的最值问题例18：圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是解：圆(x2)2(y2)218的圆心为(2，2)，半径r32，圆心到直线的距离(dr)(dr)2r62.例19(1)已知圆O1：(x3)2(y4)21，P(x,y)为圆O上的动点，求dx2y2的最大、最小值(2)已知圆O2：(x2)2y21，P(x,y)为圆上任一点求y2的最大、最小值，求x1x2y的最大、最小值分析：(1)

26、、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)(法1)由圆的标准方程(x3)2(y4)2110252r，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是y图2222则dx2y296coscos2168sinsin24266cos8sin2610cos()(其中tan)所以dmax261036，dmin261016法2圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1所以d1324216d23414得sintcos23t，1t2sin()23t即y2的最大值为33，最小值为33x1

27、44此时x2y2cos2sin25cos()所以x2y的最大值为25，最小值为25法2设y2k，则kxyk20由于Px,y是圆上点，当直线与圆有交点x1时，如下图，可设圆的参数方程为x3cos,y4sin,是参数所以dmax36dmin162法1由x22y21得圆的参数方程：x2cos,是参数ysin,则y2sin2令x1cos3sin2cos323tsin()1所以tmax334，tmin3343两条切线的斜率分别是最大、最小值所以y2的最大值为33，最小值为33x144令x2yt，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值2m由d1，得m255所以x2y的最大值为25，最小值为25例20

28、：已知A(2,0)，B(2,0)，点P在圆(x3)2(y4)24上运动，则PA2PB2的最小值是.解：设P(x,y)，则PAPB(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP8.22设圆心为C(3,4)，则OPminOCr523，PAPB的最小值为232826.练习：1：已知点Px,y在圆x2y121上运动.1求y1的最大值与最小值；2求2xy的最大值与最小值.x2解：1设y1k，则k表示点Px,y与点2，1连线的斜率.当该直线与圆相切时，x2k获得最大值与最小值.由2k1，解得k3，y1的最大值为3，最小值k213x23为3由d2kk21k21，得k3342)设2xym，则m表示直线2x

29、ym在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m获得最大值与最小值.由1m1，解得m15，2xy的最大值为15，最小5值为15.22y22设点P(x,y)是圆x2y21是任一点，求u的取值范围x1分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决解法一：设圆x2y21上任一点P(cos,sin)则有xcos，ysin0,2)sin2u，ucosusin2cos1ucossin(u2)即u21sin()u2(tanu)又sin()1u2解之得：u34分析二：y222u的几何意义是过圆x2y21上一动点和定点(1,2)的连线的斜x1率，利用此直线与圆x2y21有公共点，可确定出u的取值范围

30、解法二：由uy2得：y2u(x1)，此直线与圆x2y21有公共点，故点x1(0,0)到直线的距离d1u21u213解得：u422另外，直线y2u(x1)与圆x2y21的公共点还能够这样来处理：sin()(u2)u21此方程有实根，故(2u24u)24(u21)(u24u3)0，3解之得：u34讲明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，进而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便22223、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2)，点P在圆x2y24上运动，求PAPBPC的最大值和最小值.类型八：轨迹问题1例21、基础训练：

31、已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为，求点M的轨迹2方程.例22、已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.例23如下图，已知圆O：x2y24与y轴的正方向交于A点，点B在直线y2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹分析：按常规求轨迹的方法，设H(x,y)，找x,y的关系非常难由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系y2u(x1)x2y21消去y后得：(u21)x2(2u24u)x(u24u3)0，解：设H(x,y)，C(x,y)，连结AH，CH，则AHBC，CHAB，

32、BC是切线OCBC，所以OC/AH，CH/OA，OAOC，所以四边形AOCH是菱形所以CHOA2，得yy2,xx.22又C(x,y)知足xy4，所以x2(y2)24(x0)即是所求轨迹方程讲明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法类型九：圆的综合应用例24、已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于点，且OPOQ，务实数m的值分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解 (x2a)2(y2b)214(xa)2(yb)2r2，也即x2y22r2(a

33、2b2)，这便是Q的轨迹方程222解法二：设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x12y12r2 (xa)2(yb)2(x1x2)2(y1y2)22r22(x1x2y1y2)又AB与PQ的中点重合，故xax1x2，yby1y2，即P、Q两点，O为原解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然OMAB，ABPQ，2由OMAMyb)2OA，即222，x2y2r又PQ2AB，即在直角三角形AOM222(xa)2(yb)22r22(x1x2y1y2)，有x2y22r2(a2b2)这就是所求的轨迹方程解法三：设A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y)

34、，由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有xarcosrcos，ybrsinrsin，又由PAPB有rsinbrsinb1rcosarcosa联立、消去、，即可得Q点的轨迹方程为x2y22r2(a2b2)讲明：此题的条件较多且较隐含，解题时，思路应明晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入窘境之中此题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都能够称为参数方法解法二涉及到了x1、x2、y1、222y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2y2r2的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便

35、可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解练习：1、由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=60，则动点P的轨迹方程是.解：设P(x,y).APB=600，OPA=300.OAAP，OP2OA2，x2y22，化简得x2y24，动点P的轨迹方程是x2y24.练习稳固：设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹.PA(xc)2y2解：设动点P的坐标为P(x,y).由a(a0)，得a，PB(xc)2y2化简得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0

36、.22当a1时，化简得x2y22c(1a2)xc20，整理得(x12ac)2y2(22ac)2；1a2a21a21当a1时，化简得x0.所以当a1时，P点的轨迹是以(12a2(a21c,0)为圆心，2为半径的圆；a21当a1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A(2,0)，B(1,0)，假如动点P知足PA2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x,y).由PA2PB，得(x2)2y22(x1)2y2，化简得(x2)2y24，点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，所求面积为4.224、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y21上运动，M是线段AB上的一点，且AM1MB，问点

37、M的轨迹是什么？311解：设M(x,y),A(x1,y1).AMMB，(x1xx1(3x)314x1x132223.点A在圆x2y21上运动，y121，(4x1)2(4y)21，即(x3)2y29，点M的轨迹方程是(x3)233416429y2196例5、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y21上运动，AOB的平分线交AB于点M则点M的轨迹方程是解：设M(x,y),A(x1,y1).OM是AOB的平分线，AMOA1，AM1MB.MBOB33由变式1可得点M的轨迹方程是(x3)2y29.416练习稳固：已知直线ykx1与圆x2y24相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P

38、的轨迹方程.解：设P(x,y)，AB的中点为M.OAPB是平行四边形，M是OP的中点，点M的坐标为(x,y)，且OMAB.直线ykx1经过定点C(0,1)，OMCM，22OMCM(x,y)(x,y1)(x)2y(y1)0，化简得x2(y1)21.点P的轨2222222迹方程是x2(y1)21.类型九：圆的综合应用例25、已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，务实数m的值分析：设P、Q两点的坐标为 (x1,y1)、(x2,y2)，则由kOPkOQ1，可得x1x2y1y20，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或由于通过原点的直线的斜率为y，由直线l与圆的

39、方程构造以y为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出xxkOPkOQ的值，进而使问题得以解决解法一：设点P、Q的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)一方面，由OPOQ，得kOPkOQ1，即y1y21，也即：x1x2y1y20x1x2x2y30另一方面，(x1,y1)、(x2,y2)是方程组22的实数解，即x1、x24m27x1x2x2y2x6ym02是方程5x210x4m270的两个根又P、Q在直线x2y30上，将代入，得y1y2m125将、代入，解得m3，代入方程，检验0成立，m3解法二：由直线方程可得3x2y，代入圆的方程x2y2x6ym0，有221m2x2y2(x2y)(x6y)(x2

40、y)20，39整理，得(12m)x24(m3)xy(4m27)y20由于x0，故可得y2y(4m27)()24(m3)12m0xxkOP，kOQ是上述方程两根故kOPkOQ1得经检验可知m3为所求讲明：求解此题时，应避免去求P、Q两点的坐标的详细数值除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是由于在求解经过中并没有确保有交点P、Q存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于根据直线方程构造出一个关于y的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时可以看出，这种方法给人x以一种淋漓酣畅，一气呵成之感例26、已知对于圆x2(y1)21上任一点P(x,y)，不等式xym0恒成立，务

41、实数m的取值范围分析一：为了使不等式xym0恒成立，即便xym恒成立，只须使(xy)minm就行了因而只要求出xy的最小值，m的范围就可求得解法一：令uxy，xyu由22y1y212(3x1)12(3x2)2293(x1x2)x1x2412m4m271，解得m3x2(y1)21得：2y22(u1)yu200且4(u1)28u2，4(u22u1)0即u22u1)0，12u12，umin12，即(xy)min12又xym0恒成立即xym恒成立(xy)min12m成立，m21分析二：设圆上一点P(cos,1sin)由于这时P点坐标知足方程x2(y1)21问题转化为利用三解问题来解解法二：设圆x2(y1)21上任一点P(cos,1sin)0,2)xcos，y1sinxym0恒成立cos1sinm0即m(1cossin)恒成立只须m不小于(1cossin)的最大值设u(sincos)12sin()14umax21即m21讲明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆(xa)2(yb)2r2上的点设为(arcos,brsin)(0,2)采