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1、3.1.1 试验、事件与样本空间第1页/共108页必然现象与随机现象必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性 （随机性中寓含着规律性）统计规律性十五的夜晚能看见月亮？十五的月亮比初十圆！第2页/共108页随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。实
2、际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。第3页/共108页随机事件（事件）随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母A、B、来表示基本事件（样本点）不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（）基本事件的全体（全集）第4页/共108页随机事件（续）复合事件由某些基本事件组合而成的事件样本空间中的子集随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间 才是必然事件 不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（）第5页/共108页3.1.2 事件的概率 1.1.古典概率古典概率 2.2.统计概率统计概率
3、3.3.主观概率主观概率 第6页/共108页随机事件的概率概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P()=1不可能事件发生的可能性是零，P()=0随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1,显然P(AB)P(A)P(B)因为A和B存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在P(A)+P(B)中P(AB)被重复计算了。正确计算是：P(AB)5/106/103/108/100.8第21页/共108页3.1.4 3.1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性用于计算两个事件同时发生的概率。也即“A发生且B发生”的概率 P(AB)先关注事件是否相互独立 第
4、22页/共108页（1）条件概率条件概率在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率P(A|B)条件概率的一般公式：其中 P(B)0 第23页/共108页【例3-5】某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A“甲厂产品”，B“一级品”，则：P(A)0.4，P(B)0.64，P(AB)0.28 所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率 P(A|B)0.28
5、/0.64所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率 P(B|A)0.28/0.4第24页/共108页P(A|B)在B发生的所有可能结果中AB发生的概率即在样本空间中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了（1）条件概率（续）一旦事件B已发生ABABBAB第25页/共108页乘法公式的一般形式：P(AB)P(A)P(B|A)或 P(AB)P(B)P(A|B)【例3-6】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）解：A1第一次抽到合格品，A2第二次抽到合格品，A1A2抽到两件产品均为合格品P(A1 A2)P
6、(A1)P(A2|A1)第26页/共108页事件的独立性两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B)独立事件的乘法公式：P(AB)P(A)P(B)推广到推广到n n 个独立事件，有：个独立事件，有：P P P P(A A A A1 1A A A An n)P P P P(A A A A1 1)P P P P(A A A A2 2)P P P P(A A A An n)第27页/共108页3.1.5 3.1.5 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式完备事件组事件A1、A2、An互不相容，AA2An且P(Ai)0（i=1、2、.、
7、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、A2、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：第28页/共108页例3-7假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？解：设 A知道正确答案，B选择正确。“选择正确”包括：“知道正确答案而选择正确”（即AB）“不知道正确答案但选择正确”（即 ）P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4第29页/共108页全概率公式贝叶斯公式 全概率公式的直观意义：全概率公式的直观意义：每一个每一个AiAi的发生都可能导致的发生都可能导致B B出现，每一个出现，每一个Ai Ai 导
8、致导致B B发生的概率为，因此作发生的概率为，因此作为结果的事件为结果的事件B B发生的概率是各个发生的概率是各个“原因原因”Ai Ai 引发的概率的总和引发的概率的总和 相反，在观察到事件相反，在观察到事件B B已经发生的条件下，确定导致已经发生的条件下，确定导致B B发生的各个原因发生的各个原因AiAi的概率的概率贝叶斯公式（逆概率公式）（后验概率公式）第30页/共108页贝叶斯公式若A1、A2、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率 第31页/共108页3.2 随机
9、变量及其概率分布第32页/共108页3.2.1 随机变量 随机变量表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量取值可以一一列举连续型随机变量取值不能一一列举第33页/共108页3.2.2 离散型随机变量的概率分布X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi0，i=1,2,n；（2）第34页/共108页离散型概率分布的表示：概率函数：P(X=xi
10、)=pi分布列：分布图X=xix1x2xnP(X=xi)=pip1p2pn0.60.300 1 2 xP(x)图图3-5 例例3-9的概率分布的概率分布第35页/共108页3.2.2 3.2.2 离散型随机变量的数学期望和方差离散型随机变量的数学期望和方差又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量 X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X 的数学期望：第36页/共108页数学期望的主要数学性质若k是一常数，则 E(k X)k E(X)对于任意两个随机变量X、Y，有 E(X+Y)E(X)E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则 E(XY)E(X)E(Y
11、)第37页/共108页2.随机变量的方差方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2公式：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：第38页/共108页方差和标准差（续）标准差方差的平方根方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则 D(k)0；D(kX)k2 D(X)若两个随机变量X、Y相互独立，则 D(X+Y)D(X)D(Y)第39页/共108页【例3-10】试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：0.6xi012pi0.10.60.3第40页/共108页3.两个随机变量的协
12、方差和相关系数协方差的定义 如果X,Y独立（不相关），则 Cov(X,Y)0 即 E(XY)E(X)E(Y)协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。第41页/共108页相关系数相关系数具有如下的性质：相关系数是一个无量纲的值 0|0当=0，两个变量不相关（不存在线性相关）当|=1，两个变量完全线性相关 第42页/共108页 3.2.4 3.2.4 几种常见离散型率分几种常见离散型率分布布 1.1.二项分布二项分布 2.2.泊松分布泊松分布 3.3.超几何分布超几何分布第43页/共108页1.二项分布（背景）（背景）n重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果用“成
13、功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”每次试验中“成功”的概率都是 p n 次试验相互独立。第44页/共108页1.二项分布在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为 X B(n,p)二项分布的概率函数：二项分布的数学期望和方差：n1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）第45页/共108页二项分布图形p0.5时，二项分布是以均值为中心对称p0.5时，二项分布总是非对称的p0.5时峰值在中心的右侧随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布p=0.3p=0.5p=0.7二项分布图示二项分布图示第46页/共108页【例3-11】某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至多只
14、发生一次损失且损失的概率为0.1。试求在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失的概率；（2）有1辆汽车发生损失的概率；（3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽车中发生损失的汽车数X B(4,0.1)。第47页/共108页利用Excel计算二项分布概率进入Excel表格界面，点击任一空白单元格（作为输出单元格）点击表格界面上的 fx 命令 在“选择类别”中点击“统计”，在“选择函数”中点击“BINOMDIST”在Number_s后填入试验成功次数 x(本例为2)；在Trials后填入总试验次数 n(本例为4)；在Probab
15、ility_s后填入成功概率 p(本例为0.1)；在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数等于指定值的概率“BINOMDIST（2，4，0.1，0）”用用EXCEL计算二项计算二项分布的概率分布的概率第48页/共108页2.泊松分布 X 服从泊松分布，记为XP(）:E(X)=D(X)=当 很小时，泊松分布呈偏态，并随着增大而趋于对称当为整数时，和（-1）是最可能值第49页/共108页泊松分布（应用背景）通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模型。一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数服从泊松分布的现象的共同特征在任意两个很小
16、的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的；各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关；在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计第50页/共108页【例3-12】设某种报刊的每版上错别字个数服从 =2的泊松分布。随机翻看一版，求：（1）没有错别字的概率；（2）至多有5个错别字的概率。解：设X每版上错别字个数，则所求概率为：利用利用EXCEL计算泊松分布的概率计算泊松分布的概率第51页/共108页二项分布的泊松近似【前提】当n很大而 p又很小时，二项分布可用参数np 的泊松分布近似【例3-13】一工厂有某种设备80台，配备了3个维修工。假设每台设备的维修只需要一个
17、维修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？解：XB(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，可以用0.8的泊松分布来近似计算其概率:第52页/共108页3.超几何分布 N个单位的有限总体中有M个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单位，样本中具有某种特征的单位数X服从超几何分布，记为XH(n,N,M)数学期望和方差:N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N)第53页/共108页3.2.5 概率密度函数与连续型随机变量 连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数概率密度函数f(x)和分布函数F(x
18、)图 形概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示第54页/共108页概率密度f(x)的性质（1）f(x)0。概率密度是非负函数。（2）所有区域上取值的概率总和为1。随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：f f(x x)xab第55页/共108页3.分布函数适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)PXx连续型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 F(x)f f(x x)xx0F F(x x0 0 )分布函数分布函数与与概率密度概率密度第5
19、6页/共108页3.2.6 常见的连续型随机变量的概率分布1.均匀分布X只在一有限区间 a，b 上取值且概率密度是一个常数其概率密度为：X 落在子区间 c，d 内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关f(x)a c d b xP(cXd)第57页/共108页2.正态分布XN(、2)，其概率密度为：正态分布的均值和标准差:均值 E(X)=方差 D(X)=2 -x 3 的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在-3，+3 区间内广泛应用:产品质量控制判断异常情况图图3-12 常用的正态概率值常用的正态概率值（在一般正态分布及标准正态分布中）（在一般正态分布及标准正态分布中）-3
20、-2 -1 0 +1 +2+3 z -3 -2 -+2+3 x99.73%95.45%68.27%第63页/共108页正态分布最常用、最重要正态分布最常用、最重要大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布例如，测量误差，同龄人的身高、体重，一批棉纱的抗拉强度，一种设备的使用寿命，农作物的产量特点是“中间多两头少”由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位正态分布是许多概率分布的极限分布统计推断中许多重要的分布（如2分布、t分布、F分布）都是在正态分布的基础上推导出来的。第64页/共108页用正态分布近似二项分布XB(n，p)，当n充分大时，XN(n p，n
21、p(1-p)【例3-15】假设有一批种子的发芽率为0.7。现有这种种子1000颗，试求其中有720颗以上发芽的概率。解：设X发芽种子颗数，XB(1000，0.7)。近似地 XN(700，210)。P(X720)P(Z1.38)1P(Z1.38)10.91620.0838 第65页/共108页用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布的前提n很大，p不能太接近 0 或 1（否则二项分布太偏）一般要求np和np(1-p)都要大于5如果np或np(1-p)小于5，二项分布可以用泊松分布来近似 第66页/共108页计算正态分布的概率值方法一：先标准化查标准正态分布函数值表方法二：利用Excel来计算
22、（不必标准化）插入函数fx选择“统计”“NORMDIST”，进入“函数参数”对话框中，在X后填入正态随机变量的取值区间点；在Mean后填入正态分布的均值；在Standard_dev后填入正态分布的标准差；在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示计算随机变量取值小于等于指定值x的累积概率值。第67页/共108页也可在选定的输出单元格中，顺次输入函数名和参数值即可如输入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，确定后即可得到所求概率值0.0029798。根据概率值F(Xx)求随机变量取值的区间点 x，选择函数“NORMINV”。如输入“=NORMINV(0.0029798,
23、1050,200)”,显示计算结果为500。计算正态分布的概率值第68页/共108页3.3 常用的抽样方法3.3.1 简单随机抽样3.3.2 分层抽样3.3.3 系统抽样3.3.4 整群抽样第69页/共108页抽样方法第70页/共108页概率抽样(probability sampling)1.根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样2.特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率第71页/共108页简单随机抽样(simple random sam
24、pling)1.从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为样本都有相同的机会(概率)被抽中 2.抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样3.特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便4.局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率第72页/共108页分层抽样(stratified sampling)1.将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本2.优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体
25、参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计第73页/共108页3.3.3系统抽样(systematic sampling)1.将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位2.优点：操作简便，可提高估计的精度3.缺点：对估计量方差的估计比较困难第74页/共108页3.3.4 整群抽样(cluster sampling)1.将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查2.特点抽样时只需群的
26、抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差第75页/共108页3.4 抽样分布 3.4.1 抽样分布的概念3.4.2 样本均值抽样分布 3.4.3 样本比率抽样分布 3.4.4 样本方差抽样分布3.4.5 两个样本统计量的分布 第76页/共108页1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 2.随机变量是 样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同的所有可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 3.4.1 抽
27、样分布(sampling distribution)第77页/共108页抽样分布的形成过程(sampling distribution)总体总体计算样本统计计算样本统计计算样本统计量量量如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、比例、方差比例、方差比例、方差样样本本第78页/共108页1.在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布第79页/共108页样本均值的抽样分布(例题分析)【例例】设设一一个个总总体体，含含有有4 4个个元元素素(个个体体)，即即总总体体单单位位数数N N=4 4。4 4 个个个个
28、体体分分别别为为x x1 1=1=1，x x2 2=2=2，x x3 3=3=3，x x4 4=4=4 。总总体的均值、方差及分布如下体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3均值和方差均值和方差第80页/共108页 现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在重重复复抽抽样条件下，共有样条件下，共有4 42 2=16=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能
29、的n=2 的样本（共16个）第81页/共108页 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x x样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 00.10.10.20.20.30.3P P (x x)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5第82页/共108页 =2.5 2=1.25总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布P P(x x)1.01
30、.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x第83页/共108页抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本小样本小样本正态分布正态分布非正态分布第84页/共108页3.4.2 样本均值抽样分布的形式 x x 的的分分布布趋趋于于正正态态分分布布的过程的过程第85页/共108页3.4.3 样本均值抽样分布的特征 样本分布形式与总体分布有关，也与抽样方式样本分布形式与总体分布有关，也与抽样方式有关（重复抽样或不重复抽样）有关（重复抽样或不重复抽样）1.重复抽样重复抽样第86页/共108
31、页检验例子比较及结论：比较及结论：1.1.样本均值的均值样本均值的均值(数学期望数学期望)等于总体均值等于总体均值 2.2.样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/1/n n第87页/共108页 =2.5 2=1.25总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布P P(x x)1.01.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5x x第88页/共108页2.不重复抽样重复抽样第89页/共108页3.4.4 样本比率的抽样分布第90页/共108页总体：总体：N具有某种属性：
32、具有某种属性：N1不具有某种属性：不具有某种属性：N0总体比例总体比例 样本：样本：n具有某种属性：具有某种属性：n1不具有某种属性：不具有某种属性：n0样本比例：样本比例：第91页/共108页P P的抽样分布是指样本比率的抽样分布是指样本比率P P的所有可能的所有可能取值的概率分布。取值的概率分布。当当n n容量很大时，样本比率容量很大时，样本比率P P的抽样分布的抽样分布可用正态分布近似。可用正态分布近似。即：即：npnp大于等于大于等于5 5和和 n(1-p)n(1-p)大于等于大于等于5 5，就可以认为样本容量足够大。，就可以认为样本容量足够大。第92页/共108页p p服从分布为：服
33、从分布为：对于重复抽样：对于重复抽样：可以证明：可以证明：E(p)=E(p)=第93页/共108页p p服从分布为：服从分布为：对于不重复抽样：对于不重复抽样：可以证明：可以证明：E(p)=E(p)=第94页/共108页3.4.5 样本方差的抽样分布第95页/共108页样本方差分布样本方差分布假设：重复抽样假设：重复抽样 正态分布总体正态分布总体可以证明：可以证明：卡方分布的性质卡方分布的性质见教材见教材第96页/共108页抽样分布与总体分布的关系抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布样本均值样本均值正态分布正态总体或大样本非正态总体小样本T分布样本比率样本比率样本方差样本方差大样本正态总体
34、重复抽样正态分布卡方分布第97页/共108页3.4.6 两个统计量的抽样分布第98页/共108页 两个样本均值的抽样分布第99页/共108页总体1：正态分布总体2：正态分布两者独立，采用重复抽样，则：即：图4.8若非正态总体，则要求大样本，样本数大于若非正态总体，则要求大样本，样本数大于30.30.第100页/共108页 两个样本比率的抽样分布第101页/共108页总体1：二项分布总体2：二项分布两者独立，采用重复抽样，大样本，则：即：第102页/共108页 两个样本方差的抽样分布第103页/共108页总体1：正态分布总体2：正态分布独立，采用重复抽样，大样本，因为：即：F F分布的知识，见教材。分布的知识，见教材。第104页/共108页 3.5 中心极限定理的应用第105页/共108页任一总体（不要求正态），期望值 ，方差 ，当样本容量n n足够大（当n n3030，大样本)，趋于服从正态分布第106页/共108页从一个数学期望为从一个数学期望为p p、方差为、方差为 的是非变的是非变量（量（0-10-1分布）总体中随机抽取容量为分布）总体中随机抽取容量为n n的样本，的样本，当当n n足够大足够大（nPnP5,5,n(1-P)5n(1-P)5），样本成数样本成数p p趋于正趋于正态分布态分布E(p)=P第107页/共108页感谢您的观看！第108页/共108页