概率、概率分布与抽样分布.pptx

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1、统计学统计学STATISTICS125统计学统计学STATISTICS32统计学统计学STATISTICS33学习目标学习目标统计学统计学STATISTICS343.1.1 试验、事件和样本空间试验、事件和样本空间3.1.2 事件的概率事件的概率3.1.3 概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则3.1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性3.1.5 全概公式与逆概公式全概公式与逆概公式统计学统计学STATISTICS3.1.1 试验、事件和样本空间试验、事件和样本空间35统计学统计学STATISTICS361）对试验对象进行一次观察或测量的过程）对试验对象进行一次观察或测量的过程

2、 掷一颗骰子，观察其出现的点数掷一颗骰子，观察其出现的点数从一副从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花色纸牌的数字或花色)2）试验的特点）试验的特点可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果果1. 试试 验验统计学统计学STATISTICS372. 事件事件1）事件事件：试验的每一个可能结果试验的每一个可能

3、结果(任何样本任何样本点集合点集合)掷一颗骰子出现的点数为掷一颗骰子出现的点数为3用大写字母用大写字母A，B，C，表示表示2）随机事件随机事件(random event)：每次试验可能出每次试验可能出现也可能不出现的事件现也可能不出现的事件掷一颗骰子可能出现的点数掷一颗骰子可能出现的点数统计学统计学STATISTICS383）简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本事件）简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本事件 抛一枚均匀硬币，抛一枚均匀硬币，“出现正面出现正面”和和“出现反面出现反面” 4）必然事件）必然事件：每次试验一定出现的事件，用每次试验一定出现的事件，用 表示表示掷一颗骰子出现的

4、点数小于掷一颗骰子出现的点数小于75）不可能事件）不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用每次试验一定不出现的事件，用 表表示示掷一颗骰子出现的点数大于掷一颗骰子出现的点数大于6统计学统计学STATISTICS4-96）事件的关系和运算）事件的关系和运算 事件的关系有：包含和相等；事件的关系有：包含和相等； 事件的运算有：和（并），差，交（积），逆。事件的运算有：和（并），差，交（积），逆。（1）包含：关系式）包含：关系式 表示表示“若若A出现，出现， 则则B也出现也出现” （反之则未必），（反之则未必）， 称作称作“B包含包含A”， 或或“A导致导致B”。 BA AB B A统计学统计学ST

5、ATISTICS4-10 （3）和（并）：运算式）和（并）：运算式A+B或或AB读作读作“A加加B”，称作称作“A与与B的和（并）的和（并）”，表示，表示“A和和B至少出现至少出现一个一个”。对于多个事件。对于多个事件 或或 表示表示“诸事件中至少出现一个诸事件中至少出现一个”。 ），21( iiAiiAiiABA A A+B（2）相等：关系式）相等：关系式A=B表示二事件表示二事件A和和B要么都出现，要么都出现，要么都不出现，称作要么都不出现，称作“事件事件A等于事件等于事件B”或或“事件事件A和和B等价等价”。 统计学统计学STATISTICS（4）差：运算式）差：运算式 AB或或AB读作

6、读作“A减减B”，称作称作“A与与B的差的差”，表示，表示“事件事件A出现但出现但B不出现。不出现。”4-11 A - BA AB B统计学统计学STATISTICS（5）交（积）：运算式）交（积）：运算式AB或或AB，称作，称作“A与与B的交（或积）的交（或积）”，表示，表示“事件事件A和和B同时出现同时出现”。对于多个事件。对于多个事件 表示表示“诸事件诸事件 同时出同时出现现”。 4-12），21( iiAiA），21( iiAA AB B AB统计学统计学STATISTICS（6）逆事件：）逆事件： =A不出现不出现，称作，称作A的对的对立事件或逆事件。显然立事件或逆事件。显然A和和

7、互为对立事互为对立事件，它们之间有下列关系：，件，它们之间有下列关系：，A =。4-13AAAA 统计学统计学STATISTICS4-14（7）不相容（互斥）：若）不相容（互斥）：若AB=，即，即A与与B不不可能同时出现，则称可能同时出现，则称A和和B不相容。不相容。 AAA B统计学统计学STATISTICS3153. 样本空间与样本点样本空间与样本点1）样本空间）样本空间一个试验中所有结果的集合，用一个试验中所有结果的集合，用 表示表示例如：在例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：示为： 1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，在投掷硬币的试验中， 正

8、面，反面正面，反面2）样本点）样本点样本空间中每一个特定的试验结果样本空间中每一个特定的试验结果用符号用符号 表示表示统计学统计学STATISTICS3.1.2 事件的概率事件的概率316统计学统计学STATISTICS3171. 定义定义: 概率是对随机事件发生可能性大小的度量概率是对随机事件发生可能性大小的度量.2. 事件事件A的概率是一个介于的概率是一个介于0和和1之间的一个值，用之间的一个值，用以度量试验完成时事件以度量试验完成时事件A发生的可能性大小，发生的可能性大小， 记为记为P(A)3. 概率的计算概率的计算: 1）古典概率）古典概率 特征：特征：（1）试验的基本事件总数是有限的

9、；）试验的基本事件总数是有限的； （2）每个基本事件出现的可能性都相同。）每个基本事件出现的可能性都相同。 计算方法：计算方法：( )AmP An事件 中包含的基本事件数样本空间中基本事件总数统计学统计学STATISTICS2）统计概率）统计概率 当试验的次数很多时，概率当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察可以由所观察到的事件到的事件A发生次数发生次数(频数频数)的比例来逼近的比例来逼近在相同条件下，重复进行在相同条件下，重复进行n次试验，事件次试验，事件A发生了发生了m次，则事件次，则事件A发生的概率可以发生的概率可以写为写为 318( )AmP Apn事件 发生的次数重复试验次数统

10、计学统计学STATISTICS3、主观概率、主观概率对未来某一事件，既不能通过可能事件个对未来某一事件，既不能通过可能事件个数来计算，也不能根据大量试验的频率来数来计算，也不能根据大量试验的频率来估计，只有根据经验、专业知识、对事件估计，只有根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等，对发生的众多条件或影响因素的分析等，对其进行估计从而作出相应决策其进行估计从而作出相应决策319统计学统计学STATISTICS3203.1.3 概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则统计学统计学STATISTICS321互斥事件及其概率互斥事件及其概率(mutually exclusive e

11、vents) 在试验中，两个事件有一个发生时，另在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，一个就不能发生，则称事件则称事件A与事件与事件B是是互斥事件,(没有没有公共样本点公共样本点)A统计学统计学STATISTICS322【例例】在一所城市中随机抽取在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件： A：600个家庭中恰好有个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑B：恰好有：恰好有100个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑C：特定户张三家拥有电脑：特定户张三家拥有电脑说明下列各对事件是否为

12、互斥事件，并说明你的理由说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由 (1) A与与B (2) A与与C (3) B与与 C统计学统计学STATISTICS323解：(1) 事件事件A与与B是互斥事件。因为你观察是互斥事件。因为你观察 到 恰 好 有到 恰 好 有 2 6 5 个 家 庭 拥 有 电 脑 ， 就个 家 庭 拥 有 电 脑 ， 就 不可能恰好有不可能恰好有100个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑 (2) 事件事件A与与C不是互斥事件。因为张三不是互斥事件。因为张三 也许正是这也许正是这265个家庭之一，因而事个家庭之一，因而事 件与有可能同时发生件与有可能同时发生 (3) 事件事件B

13、与与C不是互斥事件。理由同不是互斥事件。理由同(2)统计学统计学STATISTICS324统计学统计学STATISTICS325 由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个简单个简单事件中每一事件发生的相对频数事件中每一事件发生的相对频数(概率概率)将近似等将近似等于于1/4。因为仅当。因为仅当H1T2或或T1H2发生时，才会恰好发生时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件有一枚硬币朝上的事件发生，而事件H1T2或或T1H2又为互斥事件，两个事件中一个事件发生又为互斥事件，两

14、个事件中一个事件发生或者另一个事件发生的概率便是或者另一个事件发生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概率等于率等于H1T2或或T1H2发生的概率，也就是两种事发生的概率，也就是两种事件中每个事件发生的概率之和件中每个事件发生的概率之和 统计学统计学STATISTICS326u互斥事件加法规则互斥事件加法规则1）若两个事件）若两个事件A与与B互斥，则事件互斥，则事件A发生或事发生或事件件B发生的概率等于这两个事件各自的概发生的概率等于这两个事件各自的概率之和，即率之和，即 P(AB) =P(A)+P(B)2）事件

15、）事件A1，A2，An两两互斥，则有两两互斥，则有 P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An)统计学统计学STATISTICS3271616161616161)6()5()4()3()2() 1 ()654321 (PPPPPPP或或或或或统计学统计学STATISTICS328u概率的性质概率的性质(小结小结)1）非负性）非负性: 对任意事件对任意事件A，有，有 P 02）规范性）规范性: 一个事件的概率是一个介于一个事件的概率是一个介于0与与1之间的值，之间的值，即对于任意事件即对于任意事件 A，有有0 P 13）必然事件的概率为）必然事件的概率为1；不可能事件的概率为；不

16、可能事件的概率为0。 即即P ( )=1； P( )=04）可加性）可加性: 若若A与与B互斥，则互斥，则P(AB) =P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有，有 P( A1A2 An) = P(A1)+P(A2)+P(An)统计学统计学STATISTICS329事件的补及其概率事件的补及其概率 事件的补(complement) 事件事件A A不发生的事件，称为事件不发生的事件，称为事件A A的补事件的补事件( (或称逆事件或称逆事件) )，记为，记为 A 。它是样本空间中所有它是样本空间中所有不属于事件不属于事件A的样本点的集合的样本点的集合统计学

17、统计学STATISTICS330广义加法公式广义加法公式统计学统计学STATISTICS331广义加法公式广义加法公式(事件的并或和事件的并或和) B统计学统计学STATISTICS332广义加法公式广义加法公式(事件的交或积事件的交或积) A统计学统计学STATISTICS333 解：解：设设 A A = =员工离职是因为对工资不满意员工离职是因为对工资不满意 B B = =员工离职是因为对工作不满意员工离职是因为对工作不满意 依题意有：依题意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB)=0.40+0.30-0.15=0

18、.55统计学统计学STATISTICS3.1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性统计学统计学STATISTICS3351. 条件概率条件概率在事件在事件B已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件A发生的概率，称为发生的概率，称为已知事件已知事件B时事件时事件A的条件概率，记为的条件概率，记为P(A|B) 统计学统计学STATISTICS336解：设设 A =顾客购买食品，顾客购买食品， B =顾客购买其他商品顾客购买其他商品 依题意有：依题意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35 4375.080.035.0)()()(APABPABP5833.060.

19、035.0)()()(BPABPBAP统计学统计学STATISTICS337【例】一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示件，质量状况如下表所示 从这从这200个配件中任取一个进行检查，求个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率甲乙两个供应商

20、提供的配件 正品数次品数合计供应商甲 84690供应商乙 1028110合计18614200统计学统计学STATISTICS338解：设设 A = 取出的一个为正品取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件取出的一个为供应商甲供应的配件 (1) (2) (3) (4)93. 0200186)(AP45. 020090)(BP42. 020084)(ABP9333. 045. 042. 0)()()(BPABPBAP统计学统计学STATISTICS3391）用来计算两事件交的概率）用来计算两事件交的概率2）以条件概率的定义为基础）以条件概率的定义为基础3）设）设A，B为两个事件，若

21、为两个事件，若P(B)0，则，则 P(AB)=P(B)P(A|B) 或或 P(AB)=P(A)P(B|A)2. 乘法公式乘法公式统计学统计学STATISTICS340统计学统计学STATISTICS341统计学统计学STATISTICS3423. 独立事件独立事件1）若）若P(A|B)=P(A)或或P(B|A)=P(B) ，则称事，则称事件件A与与B事件独立，或称独立事件事件独立，或称独立事件 2）若两个事件相互独立，则这两个事件同）若两个事件相互独立，则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率时发生的概率等于它们各自发生的概率之积，即之积，即 P(AB)= P(A) P(B)3）若事件

22、）若事件A A1 1, ,A A2 2, , ,A An n相互独立，则相互独立，则 P(A1, A2, , An)= P(A1) P(A2) P(An) 统计学统计学STATISTICS343统计学统计学STATISTICS344统计学统计学STATISTICS4-45独立性与互不相容的区别：独立性与互不相容的区别： 独立性是指两个事件的发生互不影响。独立性是指两个事件的发生互不影响。 互不相容是指两个事件不能同时发生。互不相容是指两个事件不能同时发生。 两个不相容事件一定是统计相依的，两个两个不相容事件一定是统计相依的，两个独立事件一定是相容的（除非其中有一个事独立事件一定是相容的（除非其

23、中有一个事件的概率为件的概率为0）。）。 统计学统计学STATISTICS3.1.5 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式统计学统计学STATISTICS3471. 全概率公式全概率公式niiiniiBAPBPABPAP11)()()()(统计学统计学STATISTICS348nnnnnBAPBPBAPBPAP111101)()()()()(统计学统计学STATISTICS3492. 逆概率公式逆概率公式(贝叶斯公式贝叶斯公式 )njBAPBPBAPBPABPniiijjj, 1,)()()()()(1统计学统计学STATISTICS3508 . 04121121121)()()()(

24、)()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP统计学统计学STATISTICS3.2.1 随机变量3.2.2 离散型随机变量的概率分布3.2.3 离散型随机变量的数学期望和方差3.2.4 几种常用的离散型概率分布3.2.5 概率密度函数与连续型随机变量3.2.6 常见的连续型概率分布统计学统计学STATISTICS3.2.1 随机变量随机变量统计学统计学STATISTICS4-531. 1. 随机变量就是其取值带有随机性的变量，随机变量就是其取值带有随机性的变量，一般用一般用 X、Y、Z 等表示。等表示。 在给定的条件下，这种变量取任何值事先在给定的条件下，这种变量取任何值事先不能确定，只能

25、由随机试验的结果来定，不能确定，只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。并且随试验的结果而变。例如：例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量统计学统计学STATISTICS4-542. 随机变量的种类随机变量的种类 如果随机变量的全体可能取值能够一一如果随机变量的全体可能取值能够一一列举出来，这样的随机变量称作离散型随机列举出来，这样的随机变量称作离散型随机变量（如掷一枚硬币首次出现正面向上所需变量（如掷一枚硬币首次出现正面向上所需要的投掷次数）；要的投掷次数）； 如果随机变量的全体可能取值不能一一如果随机变量的全体可能取值不能一一列举，其可能的取值在数轴上是连续的

26、，则列举，其可能的取值在数轴上是连续的，则该变量称为连续型随机变量（如可能出现的该变量称为连续型随机变量（如可能出现的测量误差）测量误差）。统计学统计学STATISTICS355u离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2, ,1000,1,2, 0,1, 2,男性为0,女性为1统计学统计学STATISTICS356u连续型随机变量的一些例子连续型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取可能的取值值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用

27、寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X 00 X 100X 0统计学统计学STATISTICS3.2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布统计学统计学STATISTICS 1.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 离散型随机变量离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值x1 、x2 、 x3 、xn和这些值的概率和这些值的概率p(x1) 、 p(x2) 、p(x3)、 、p(xn) 就称为离散型随机变量的概就称为离散型随机变量的概率分布。即：率分布。即：()(1, 2,3,)iip Xxpin统计学统计学STATISTICS离散型随机变量概率分布的性质离散型

28、随机变量概率分布的性质()0,()1p xp xii变量变量X x1 x2 x3 xn概率概率P p(x1) p(x2) p(x3) p(xn) 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布统计学统计学STATISTICSX = xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6统计学统计学STATISTICS361故障次数故障次数X = xi0123概率概率P(X=xi)pi0.100.250.35统计学统计学STATISTICS362统计学统计学STATISTICS3.2.3 离散型随机变量的离散型随机变量的 数学期望和方差数学期望和方差统计学

29、统计学STATISTICS3641. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望1）离散型随机变量）离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值xi与其取相对与其取相对应的概率应的概率pi乘积之和乘积之和2）描述离散型随机变量取值的集中程度）描述离散型随机变量取值的集中程度3）记为）记为 或或E(X)4）计算公式为）计算公式为取无穷个值）取有限个值）XpxXEXpxXEiiiniii()()(1统计学统计学STATISTICS3652. 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差1）随机变量）随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为和的数学期

30、望，记为 2 或或D(X)2）描述离散型随机变量取值的分散程度）描述离散型随机变量取值的分散程度3）计算公式为）计算公式为4）方差的平方根称为标准差，记为）方差的平方根称为标准差，记为 或或D(X)iiipxXD22)()(统计学统计学STATISTICS366次品数次品数X = xi0123概率概率P(X=xi)pi0.750.120.080.0543. 005. 0308. 0212. 0175. 00iiipx8397. 07051. 0)(22iiipx统计学统计学STATISTICS3.2.4 几种常用的离散型概率分布几种常用的离散型概率分布统计学统计学STATISTICS368常用

31、离散型概率分布常用离散型概率分布二项分布二项分布两点分布两点分布泊松分布泊松分布超几何分布超几何分布统计学统计学STATISTICS3691. 二项分布二项分布1）二项分布与伯努利试验有关）二项分布与伯努利试验有关2）伯努利试验满足下列条件）伯努利试验满足下列条件 一次试验只有两个可能结果，即一次试验只有两个可能结果，即“成功成功”和和“失败失败”“成功成功”是指我们感兴趣的某种特征是指我们感兴趣的某种特征一次试验一次试验“成功成功”的概率为的概率为p ，失败的概率为，失败的概率为q =1- p，且概率且概率p对每次试验都是相同的对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并试验是相互独立的，并可

32、以重复进行可以重复进行n次次 在在n次试验中，次试验中，“成功成功”的次数对应一个离散型的次数对应一个离散型随机变量随机变量X X 统计学统计学STATISTICS3703）重复进行）重复进行 n 次试验，出现次试验，出现“成功成功”的次数的次数的概率分布称为二项分布，记为的概率分布称为二项分布，记为XB(n，p)4）设）设X为为 n 次重复试验中出现成功的次数，次重复试验中出现成功的次数，X 取取 x 的概率为的概率为)!( !), 2 , 1 , 0(xnxnxnCnxqpCxXPxnxxn式中：5）二项分布的期望与方差：）二项分布的期望与方差：2( ),( )E XnpD Xnpq统计学

33、统计学STATISTICS371u对于对于P(X=x) 0， x =1,2,n，有，有u同样有同样有1)(20qpqpCnxxnxxnnmxxnxxnmxxnxxnqpCnXmPqpCmXP00统计学统计学STATISTICS37280.81537269)04. 01 ()04. 0()0(05005CXP20.16986931)04. 01 ()04. 0() 1(15115CXP0.999397860.0141557720.1698693180.81537269)2() 1()0()3(XPXPXPXP统计学统计学STATISTICS3732. 两点分布（两点分布（ 0-1分布分布）u随机

34、变量随机变量X只取只取0和和1两个可能的值。两个可能的值。u两点分布的期望为两点分布的期望为p，方差为，方差为pq。) 10()(1pqpxXPxxqpXPpXP1) 0() 1(当当 n = 1 时，二项分布退化为两点分布：时，二项分布退化为两点分布：或或统计学统计学STATISTICS374X = xi0 1P(X=xi)=pi0.96 0.04统计学统计学STATISTICS3753. 泊松分布泊松分布1）1837年法国数学家泊松年法国数学家泊松(D.Poisson，17811840)首首次提出次提出 2）用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、）用于描述在一指定时间范围内或在一定的长

35、度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布面积、体积之内每一事件出现次数的分布3）泊松分布的例子）泊松分布的例子 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数 一定路段内，路面出现大损坏的次数一定路段内，路面出现大损坏的次数 一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数 一匹布上发现的疵点个数一匹布上发现的疵点个数 一定页数的书刊上出现的错别字个数一定页数的书刊上出现的错别字个数 统计学统计学STATISTICS376 给定的时间间隔、长度、面给定的时间间隔、

36、长度、面 积、体积内积、体积内“成功成功”的的平均数平均数e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面给定的时间间隔、长度、面 积、体积内积、体积内“成功成功”的次数的次数e(0,1,2,0)!xP Xxxx4）概率分布函数）概率分布函数 XP( )5）泊松分布的期望和方差均为）泊松分布的期望和方差均为 统计学统计学STATISTICS3777426010149. 06!e7676XP统计学统计学STATISTICS378（1）当试验的次数）当试验的次数 n 很大，成功的概率很大，成功的概率 p 很很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即布

37、的概率，即!exqpCxnxxn6）泊松分布作为二项分布的近似）泊松分布作为二项分布的近似统计学统计学STATISTICS3794. 超几何分布超几何分布1）采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功）采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等的概率也互不相等2）总体元素的数目）总体元素的数目N很小，或实验次数很小，或实验次数n相对于相对于N来说较大时，样本中来说较大时，样本中“成功成功”的次数则服的次数则服从超几何概率分布从超几何概率分布3）概率分布函数为）概率分布函数为lxCCCxXPnNxnMNxM, 2 , 1)(4）MnN2(1)1MMNnnNNN统计学统计学STATISTI

38、CS38030121071) 3(4103431033CCCXP31103301) 3() 2() 2(41024310234103431033CCCCCCXPXPXP统计学统计学STATISTICS3.2.5 概率密度函数与概率密度函数与 连续型随机变量连续型随机变量统计学统计学STATISTICS1. 连续型随机变量的特点连续型随机变量的特点1）连续型随机变量可以取某一区间或整个实）连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值数轴上的任意一个值2）它取任何一个特定的值的概率都等于）它取任何一个特定的值的概率都等于03）不能列出每一个值及其相应的概率）不能列出每一个值及其相应的概率

39、4）通常研究它取某一区间值的概率）通常研究它取某一区间值的概率5）用概率密度函数的形式和分布函数的形式）用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述来描述统计学统计学STATISTICS2. 概率密度函数概率密度函数1）设）设X为一连续型随机变量，为一连续型随机变量，x 为任意实数为任意实数，X的概率密度函数记为的概率密度函数记为f(x)，它满足条件，它满足条件1d)()2(0)() 1 (xxfxf统计学统计学STATISTICS 密度函数密度函数 f(x)表示表示X 的所有取值的所有取值 x 及其频数及其频数f(x)统计学统计学STATISTICS 在平面直角坐标系中画出在平面直角坐标系中画

40、出f(x)的图形，则对于任何的图形，则对于任何实数实数 a b，P(a X b)是该曲线下从是该曲线下从a到到 b的面积的面积baxxfbXaPd )()(xab统计学统计学STATISTICS3. 分布函数分布函数1）连续型随机变量的概率可以用分布函数）连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x)来表示来表示2）分布函数定义为）分布函数定义为)(d )()()(xxttfxXPxF)()(d )()(aFbFxxfbXaPba统计学统计学STATISTICS4. 分布函数与密度函数的图示分布函数与密度函数的图示1）密度函数曲线下的面积等于）密度函数曲线下的面积等于12）分布函数是曲线下小于）分

41、布函数是曲线下小于 x0 的面积的面积统计学统计学STATISTICS5. 连续型随机变量的数学期望和方差连续型随机变量的数学期望和方差1）连续型随机变量的数学期望）连续型随机变量的数学期望2）方差）方差xxxfXEd)()(22()()( )dD XxE Xf xx统计学统计学STATISTICS3.2.6 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量 的概率分布的概率分布统计学统计学STATISTICS正正 态态 分分 布布均均 匀匀 分分 布布指指 数数 分分 布布其其 他他 分分 布布连连 续续 型型 概概 率率 分分 布布统计学统计学STATISTICS1. 正态分布正态分布u由由C.F

42、.高斯高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出。作为描述误差相对频数分布的模型而提出。u描述连续型随机变量的最重要的分布。描述连续型随机变量的最重要的分布。u许多现象都可以由正态分布来描述。许多现象都可以由正态分布来描述。 u可用于近似离散型随机变量的分布。可用于近似离散型随机变量的分布。例如：例如： 二项分布二项分布u经典统计推断的基础。经典统计推断的基础。统计学统计学STATISTICS（1）概率密度函数）概率密度函数xxfx,e21)(22212f(x) = 随机变量随机变量 X 的频数的频数 = 正态随机变量正态随机变量X的

43、均值的均值 = 正态随机变量正态随机变量X的方差的方差 = 3.1415926; e = 2.71828x = 随机变量的取值随机变量的取值 (- x )统计学统计学STATISTICS（2） 正态分布函数的性质正态分布函数的性质u图形是关于图形是关于x= 对称的钟形曲线，且峰值在对称的钟形曲线，且峰值在x= 处处u均值均值 和标准差和标准差 一旦确定，分布的具体形式也惟一确一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族正态分布族” u均值均值 可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位

44、置；标准差决定曲线的体位置；标准差决定曲线的“陡峭陡峭”或或“扁平扁平”程度程度。 越大，正态曲线扁平；越大，正态曲线扁平； 越小，正态曲线越陡峭越小，正态曲线越陡峭u当当X X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交u正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1 统计学统计学STATISTICS 和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响xC

45、AB统计学统计学STATISTICS（3）正态分布的概率）正态分布的概率?d)()(baxxfbxaP统计学统计学STATISTICS（4）对称钟形分布中的）对称钟形分布中的3法则法则3 法则法则关于钟形分布的一个近似的关于钟形分布的一个近似的或经验的法则：或经验的法则： 变量值落在变量值落在 -3，+3范围以外的情况极为范围以外的情况极为少见。因此通常将落在区间少见。因此通常将落在区间-3，+3之外之外的数据称为异常数据或称为离群点。的数据称为异常数据或称为离群点。x99.73%68.27%95.45%2x3xxx2x3xx统计学统计学STATISTICS切比雪夫定理对于任意一个数据集中，至

46、少有75%的数据位于平均数2个标准差范围内。至少有89%的数据位于平均数3个标准差范围内。397统计学统计学STATISTICS（5）标准正态分布）标准正态分布xxx,e21)(22作变换：作变换：)1 ,0( NXZxtxttxxde21d)()(2-2可将一般形式的可将一般形式的统计学统计学STATISTICSXZ统计学统计学STATISTICS（6）标准正态分布表的使用）标准正态分布表的使用a）对于标准正态分布，即）对于标准正态分布，即ZN(0,1)，有，有P (a Z b) b a P (|Z| a) 2 a 1b）对于负的）对于负的 z ，可由，可由 (-z) z 得到得到c）对于一

47、般正态分布，即）对于一般正态分布，即XN( , )，有，有abbXaP)()()(xxXP统计学统计学STATISTICS标准化的例子标准化的例子 P(5 X 6.2) 12. 01052 . 6XZ统计学统计学STATISTICS标准化的例子标准化的例子P(2.9 X 7.1) 21. 01051 . 7 21. 01059 . 2XZXZ统计学统计学STATISTICS02275. 097725. 01)2(1)105070(1)70(1)70(XPXP6826. 018413. 021) 1 (2) 1() 1 ()105040()105060()6040(XP统计学统计学STATIST

48、ICS31042. 均匀分布均匀分布1） 若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为其他01)(bXaabxf12)()(;2)(2abXDbaXE则称则称X在在 a ,b上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XUa,b2）数学期望和方差）数学期望和方差统计学统计学STATISTICS3105u随机变量随机变量X在某取值范围在某取值范围a ,b的任一子区间的任一子区间c ,d上上取值的概率为取值的概率为 u同样有：同样有：abcddXcP)(abaccXP )(abcbcXP )(统计学统计学STATISTICS3106其他0150151)(xxf15)0(ddXP统计学统计学S

49、TATISTICS31073. 指数分布指数分布1.若随机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为2. 称称X服从参数为服从参数为 的指数的指数分布，记为分布，记为XE( )3.数学期望和方差数学期望和方差21)(;1)(XDXE其他0)0(0e)(xxfx统计学统计学STATISTICS3108指数分布指数分布(概率计算概率计算)1.随机变量随机变量X取小于或等于某一特定值取小于或等于某一特定值x的概率为的概率为 2.随机随机变量变量X落入任一区间落入任一区间( (a，b) )的概率为的概率为 xxXPe1)(baaXPbXPbXaPee)()()(统计学统计学STATISTICS3

50、109指数分布指数分布(例题分析例题分析)632. 0e1e1)5(1551XP368. 0632. 01)5(1)5(XPXP233. 0eeee)105(211051551XP统计学统计学STATISTICS 大多数大多数的实际应用当中真实的均值与方差的实际应用当中真实的均值与方差等的等的参数参数是未知的，需要通过抽样调查，用样本统是未知的，需要通过抽样调查，用样本统计量去推断人们所关心的总体参数计量去推断人们所关心的总体参数。统计学统计学STATISTICS3111简单随机抽样简单随机抽样1.从总体从总体N个单位中随机地抽取个单位中随机地抽取n个单位作为样本，个单位作为样本，使使得每一个