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1、125第第3章章概率、概率分布概率、概率分布与抽样分布与抽样分布323.1事件及其概率事件及其概率3.2随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3.3常用的抽样方法常用的抽样方法3.4抽样分布抽样分布3.5中心极限定理的应用中心极限定理的应用33学习目标学习目标掌握事件的定义及其概率的计算。掌握事件的定义及其概率的计算。熟悉常用的几种离散型和连续型随机变熟悉常用的几种离散型和连续型随机变量及其概率分布。量及其概率分布。了解常用的抽样方法了解常用的抽样方法掌握样本均值、比率和方差的抽样分布。掌握样本均值、比率和方差的抽样分布。熟练运用中心极限定理。熟练运用中心极限定理。343.1事件及其概率事件
2、及其概率3.1.1试验、事件和样本空间试验、事件和样本空间3.1.2事件的概率事件的概率3.1.3概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则3.1.4条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性3.1.5全概公式与逆概公式全概公式与逆概公式3.1.1试验、事件和样本空间试验、事件和样本空间35361）对试验对象进行一次观察或测量的过程）对试验对象进行一次观察或测量的过程掷一颗骰子，观察其出现的点数掷一颗骰子，观察其出现的点数从一副从一副52张扑克牌中抽取一张，并观察其结果张扑克牌中抽取一张，并观察其结果(纸牌的数字或花色纸牌的数字或花色)2）试验的特点）试验的特点可以在相同的条件下重复进行可以在
3、相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验确实切结在试验结束之前，不能确定该次试验确实切结果果1.试试 验验372.事件事件1）事事件件：试试验验的的每每一一个个可可能能结结果果(任任何何样样本本点集合点集合)掷一颗骰子出现的点数为掷一颗骰子出现的点数为3用大写字母用大写字母A，B，C，表示表示2）随随机机事事件件(random event)：每每次次试试验验可可能能出出现也可能不出现的事件现也可能不出现的事件掷一颗骰子可能出现的点数掷一
4、颗骰子可能出现的点数383）简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本领件）简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本领件抛一枚均匀硬币，抛一枚均匀硬币，“出现正面出现正面”和和“出现反面出现反面”4）必然事件：每次试验一定出现的事件，用）必然事件：每次试验一定出现的事件，用 表示表示掷一颗骰子出现的点数小于掷一颗骰子出现的点数小于75）不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用）不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用 表表示示掷一颗骰子出现的点数大于掷一颗骰子出现的点数大于64-96）事件的关系和运算）事件的关系和运算事件的关系有：包含和相等；事件的关系有：包含和相等；事件的运算有：和（并），差
5、，交（积），逆。事件的运算有：和（并），差，交（积），逆。（1）包含：关系式）包含：关系式表示表示“假设假设A出现，出现，则则B也出现也出现”（反之则未必），（反之则未必），称作称作“B包含包含A”，或或“A导致导致B”。A AB B A4-10（3）和（并）：运算式）和（并）：运算式A+B或或AB读作读作“A加加B”，称作，称作“A与与B的和（并）的和（并）”，表示，表示“A和和B至少出至少出现一个现一个”。对于多个事件。对于多个事件或或表示表示“诸事件中至少出现一个诸事件中至少出现一个”。BA A A+B（2）相等：关系式）相等：关系式A=B表示二事件表示二事件A和和B要么都出现，要么都出
6、现，要么都不出现，称作要么都不出现，称作“事件事件A等于事件等于事件B”或或“事件事件A和和B等价等价”。（4）差：运算式）差：运算式AB或或AB读作读作“A减减B”，称作称作“A与与B的差的差”，表示，表示“事件事件A出现但出现但B不出现。不出现。”4-11 A-BA AB B（5）交（积）：运算式）交（积）：运算式AB或或AB，称作，称作“A与与B的交（或积）的交（或积）”，表示，表示“事件事件A和和B同时出现同时出现”。对于多个事件。对于多个事件表示表示“诸事件诸事件同时出现同时出现”。4-12A A A AB B AB（6）逆事件：）逆事件：=A不出现不出现，称作，称作A的对的对立事件
7、或逆事件。显然立事件或逆事件。显然A和和互为对立事互为对立事件，它们之间有以下关系：，件，它们之间有以下关系：，A=。4-13A A A4-14（7）不相容（互斥）：假设）不相容（互斥）：假设AB=，即，即A与与B不可能同时出现，则称不可能同时出现，则称A和和B不相容。不相容。A B3153.样本空间与样本点样本空间与样本点1）样本空间）样本空间一个试验中所有结果的集合，用一个试验中所有结果的集合，用 表示表示例如：在例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：示为：1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，在投掷硬币的试验中，正面，反面正面，反面2）样本点）样本
8、点样本空间中每一个特定的试验结果样本空间中每一个特定的试验结果用符号用符号 表示表示3.1.2事件的概率事件的概率3163171.定义定义:概率是对随机事件发生可能性大小的度量概率是对随机事件发生可能性大小的度量.2.事事件件A的的概概率率是是一一个个介介于于0和和1之之间间的的一一个个值值，用用以以度度量量试试验验完完成成时时事事件件A发发生生的的可可能能性性大大小小，记为记为P(A)3.概率的计算概率的计算:1）古典概率）古典概率特征：特征：（1）试验的基本领件总数是有限的；）试验的基本领件总数是有限的；（2）每个基本领件出现的可能性都相同。）每个基本领件出现的可能性都相同。计算方法：计算
9、方法：2）统计概率）统计概率当当试试验验的的次次数数很很多多时时，概概率率P(A)可可以以由由所所观观察察到的事件到的事件A发生次数发生次数(频数频数)的比例来逼近的比例来逼近在在相相同同条条件件下下，重重复复进进行行n次次试试验验，事事件件A发发生生了了m次次，则则事事件件A发发生生的的概概率率可可以以写为写为3183、主观概率、主观概率对未来某一事件，既不能通过可能事件个对未来某一事件，既不能通过可能事件个数来计算，也不能根据大量试验的频率来数来计算，也不能根据大量试验的频率来估计，只有根据经验、专业知识、对事件估计，只有根据经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等，对发生的
10、众多条件或影响因素的分析等，对其进行估计从而作出相应决策其进行估计从而作出相应决策3193203.1.3概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则321互斥事件及其概率互斥事件及其概率(mutually exclusive events)在在试试验验中中，两两个个事事件件有有一一个个发发生生时时，另另一一个个就就不不能能发发生生，则则称称事事件件A与与事事件件B是是互斥事件,(没有没有公共样本点公共样本点)A AB B 互斥事件的文氏图互斥事件的文氏图(Venndiagram)(Venndiagram)322【例例】在在一一所所城城市市中中随随机机抽抽取取600个个家家庭庭，用用以以确确定定拥拥
11、有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：有个人电脑的家庭所占的比例。定义如下事件：A：600个家庭中恰好有个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑B：恰好有：恰好有100个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑C：特定户张三家拥有电脑：特定户张三家拥有电脑说明以下各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由说明以下各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由(1)A与与B(2)A与与C(3)B与与C323解：(1)事事 件件 A与与 B是是 互互 斥斥 事事 件件。因因 为为 你你 观观 察察 到到 恰恰 好好 有有 265个个 家家 庭庭 拥拥 有有 电电 脑脑，就就 不可能恰好有不可能恰好有100个家庭
12、拥有电脑个家庭拥有电脑(2)事事 件件 A与与 C不不 是是 互互 斥斥 事事 件件。因因 为为 张张 三三 也也 许许 正正 是是 这这 265个个 家家 庭庭 之之 一一，因因 而而 事事 件与有可能同时发生件与有可能同时发生(3)事件事件B与与C不是互斥事件。理由同不是互斥事件。理由同(2)324【例例例例】同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？一枚正面朝上的概率是多少？一枚正面朝上的概率是多少？一枚正面朝上的概率是多少？解解解解：用用用用H H表表
13、表表示示示示正正正正面面面面，T T表表表表示示示示反反反反面面面面，下下下下标标标标1 1和和和和2 2表表表表示示示示硬硬硬硬币币币币1 1 和硬币和硬币和硬币和硬币2 2。该项试验会有。该项试验会有。该项试验会有。该项试验会有4 4个互斥事件之一发生个互斥事件之一发生个互斥事件之一发生个互斥事件之一发生 (1)(1)两枚硬币都正面朝上，记为两枚硬币都正面朝上，记为两枚硬币都正面朝上，记为两枚硬币都正面朝上，记为H H1 1H H2 2 (2)1 (2)1号硬币正面朝上而号硬币正面朝上而号硬币正面朝上而号硬币正面朝上而2 2号硬币反面朝上，记为号硬币反面朝上，记为号硬币反面朝上，记为号硬币
14、反面朝上，记为H H1 1T T2 2 (3)1 (3)1号硬币反面朝上而号硬币反面朝上而号硬币反面朝上而号硬币反面朝上而2 2号硬币正面朝上，记为号硬币正面朝上，记为号硬币正面朝上，记为号硬币正面朝上，记为T T1 1H H2 2 (4)(4)两枚硬币都是反面朝上，记为两枚硬币都是反面朝上，记为两枚硬币都是反面朝上，记为两枚硬币都是反面朝上，记为 T T1 1T T2 2325由由于于每每一一枚枚硬硬币币出出现现正正面面或或出出现现反反面面的的概概率率都都是是1/2，当当抛抛掷掷的的次次数数逐逐渐渐增增大大时时，上上面面的的4个个简简单单事事件件中中每每一一事事件件发发生生的的相相对对频频数
15、数(概概率率)将将近近似似等等于于1/4。因因为为仅仅当当H1T2或或T1H2发发生生时时，才才会会恰恰好好有有一一枚枚硬硬币币朝朝上上的的事事件件发发生生，而而事事件件H1T2或或T1H2又又为为互互斥斥事事件件，两两个个事事件件中中一一个个事事件件发发生生或或者者另另一一个个事事件件发发生生的的概概率率便便是是1/2(1/4+1/4)。因因此此，抛抛掷掷两两枚枚硬硬币币，恰恰好好有有一一枚枚出出现现正正面面的的概概率率等等于于H1T2或或T1H2发发生生的的概概率率，也也就就是是两两种种事事件件中中每每个个事件发生的概率之和事件发生的概率之和326u互斥事件加法规则互斥事件加法规则1）假假
16、设设两两个个事事件件A与与B互互斥斥，则则事事件件A发发生生或或事事件件B发发生生的的概概率率等等于于这这两两个个事事件件各各自自的的概率之和，即概率之和，即P(AB)=P(A)+P(B)2）事件）事件A1，A2，An两两互斥，则有两两互斥，则有P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)327 解解解解：掷掷掷掷一一一一颗颗颗颗骰骰骰骰子子子子出出出出现现现现的的的的点点点点数数数数(1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6)共共共共有有有有6 6个个个个互互互互斥斥斥斥事事事事件件件件，而而而而且且且且每每每每个个个个事事事事件件件件出出出出现现现现的的的的概概概概率率率
17、率都都都都为为为为1/6 1/6，根据互斥事件的加法规则，得根据互斥事件的加法规则，得根据互斥事件的加法规则，得根据互斥事件的加法规则，得 【例例】抛掷一抛掷一颗颗骰子，并考察其结果。求出其点骰子，并考察其结果。求出其点 数为数为1点或点或2点或点或3点或点或4点或点或5点或点或6点的概率点的概率328u概率的性质概率的性质(小结小结)1）非负性）非负性:对任意事件对任意事件A，有，有P 02）标标准准性性:一一个个事事件件的的概概率率是是一一个个介介于于0与与1之之间间的的值值，即对于任意事件即对于任意事件A，有有0 P 13）必然事件的概率为）必然事件的概率为1；不可能事件的概率为；不可能
18、事件的概率为0。即即P()=1；P()=04）可加性）可加性:假设假设A与与B互斥，则互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有，有P(A1A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An)329事件的补及其概率事件的补及其概率 事件的补(complement)事事件件A A不不发发生生的的事事件件，称称为为事事件件A A的的补补事事件件(或或称称逆逆事事件件)，记记为为 A。它它是是样样本本空空间间中中所所有有不属于事件不属于事件A的样本点的集合的样本点的集合A A A AP(A)=1-P(A)330广义加法公式广义加法公式广义加法公
19、式广义加法公式 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)两个事件的并两个事件的并两个事件的交两个事件的交331广义加法公式广义加法公式(事件的并或和事件的并或和)事件A或事件B发生的事件，称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或事件B的所有样本点的集合，记为AB或A+BBA A A AB B332广义加法公式广义加法公式(事件的交或积事件的交或积)A AB B A AB B 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB33
20、3 解：设解：设 A A=员工离职是因为对工资不满意员工离职是因为对工资不满意 B B=员工离职是因为对工作不满意员工离职是因为对工作不满意 依题意有：依题意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例例例例】一一一一家家家家计计计计算算算算机机机机软软软软件件件件开开开开辟辟辟辟公公公公司司司司的的的的人人人人事事事事部部部部门门门门最最最最近近近近做做做做了了了了一一一一项项项项调调调调查查查查，发发发发现现现现在在在在最最最最近近近近两两两两年年年年内内内内离离离离职职职职的的的
21、的公公公公司司司司员员员员工工工工中中中中有有有有40%40%是是是是因因因因为为为为对对对对工工工工资资资资不不不不满满满满意意意意，有有有有30%30%是是是是因因因因为为为为对对对对工工工工作作作作不不不不满满满满意意意意，有有有有15%15%是是是是因因因因为为为为他他他他们们们们对对对对工工工工资资资资和和和和工工工工作作作作都都都都不不不不满满满满意意意意。求求求求两两两两年年年年内内内内离离离离职职职职的的的的员员员员工工工工中中中中，离离离离职职职职原原原原因因因因是是是是因因因因为为为为对对对对工工工工资资资资不不不不满满满满意意意意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率。或
22、者对工作不满意、或者二者皆有的概率。或者对工作不满意、或者二者皆有的概率。或者对工作不满意、或者二者皆有的概率。3.1.4条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性3351.条件概率条件概率在在事事件件B已已经经发发生生的的条条件件下下事事件件A发发生生的的概概率率，称称为为已已知事件知事件B时事件时事件A的条件概率，记为的条件概率，记为P(A|B)P(B)P(AB)P(A|B)=事件事件B B及其及其概率概率P P(B B)事件事件 A AB B及其及其概率概率P P(A AB B)事件事件事件事件事件事件A A A AA A 事件事件事件事件事件事件B B B B B B一旦事件一旦事件
23、一旦事件一旦事件B B B B发生发生发生发生336解：设设 A=顾客购置食品，顾客购置食品，B=顾客购置其他商品顾客购置其他商品 依题意有：依题意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35【例例例例】一一一一家家家家超超超超市市市市所所所所作作作作的的的的一一一一项项项项调调调调查查查查说说说说明明明明，有有有有80%80%的的的的顾顾顾顾客客客客到到到到超超超超市市市市是是是是来来来来购购购购置置置置食食食食品品品品，60%60%的的的的人人人人是是是是来来来来购购购购置置置置其其其其他他他他商商商商品品品品，35%35%的的的的人人人人既既既既购购购购置置置置食食食
24、食品也购置其他商品。求：品也购置其他商品。求：品也购置其他商品。求：品也购置其他商品。求：(1)(1)已知某顾客购置食品的条件下，也购置其他商品的概率已知某顾客购置食品的条件下，也购置其他商品的概率已知某顾客购置食品的条件下，也购置其他商品的概率已知某顾客购置食品的条件下，也购置其他商品的概率 (2)(2)已知某顾客购置其他的条件下，也购置食品的概率已知某顾客购置其他的条件下，也购置食品的概率已知某顾客购置其他的条件下，也购置食品的概率已知某顾客购置其他的条件下，也购置食品的概率337【例】一一家家电电脑脑公公司司从从两两个个供供给给商商处处购购置置了了同同一一种种计计算算机机配配件，质量状况
25、如下表所示件，质量状况如下表所示从这从这200个配件中任取一个进行检查，求个配件中任取一个进行检查，求(1)取出的一个为正品的概率取出的一个为正品的概率(2)取出的一个为供给商甲的配件的概率取出的一个为供给商甲的配件的概率(3)取出一个为供给商甲的正品的概率取出一个为供给商甲的正品的概率(4)已知取出一个为供给商甲的配件，它是正品的概率已知取出一个为供给商甲的配件，它是正品的概率338解：设设A=取出的一个为正品取出的一个为正品 B=取出的一个为供给商甲供给的配件取出的一个为供给商甲供给的配件(1)(2)(3)(4)3391）用来计算两事件交的概率）用来计算两事件交的概率2）以条件概率的定义为
26、基础）以条件概率的定义为基础3）设）设A，B为两个事件，假设为两个事件，假设P(B)0，则，则 P(AB)=P(B)P(A|B)或或P(AB)=P(A)P(B|A)2.乘法公式乘法公式340【例例例例】一一家家报报纸纸的的发发行行部部已已知知在在某某社社区区有有75%75%的的住住户户订订阅阅了了该该报报纸纸的的日日报报，而而且且还还知知道道某某个个订订阅阅日日报报的的住住户户订订阅阅其其晚晚报报的的概概率率为为50%50%。求求某某住住户户既订阅日报又订阅晚报的概率既订阅日报又订阅晚报的概率 解：解：解：解：设设 A A=某住户订阅了日报某住户订阅了日报 B B=某住户订阅了晚报某住户订阅了
27、晚报 依题意有依题意有：P P(A A)=0.75=0.75；P P(B B|A A)=0.50)=0.50P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B|A A)=0.750.5=0.375)=0.750.5=0.375341【例例例例】从一个装有从一个装有3 3个红球个红球2 2个白球的盒子里摸球个白球的盒子里摸球(摸出后球不放回摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率，求连续两次摸中红球的概率 解：解：解：解：设设 A A=第第2 2次摸到红球次摸到红球 B B=第第1 1次摸到红球次摸到红球 依题意有依题意有：P P(B B)=3/5=3/5；P P(A A|B B)=2/4
28、)=2/4P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B|A A)=3/52/4=0.3)=3/52/4=0.33423.独立事件独立事件1）假假设设P(A|B)=P(A)或或P(B|A)=P(B)，则则称称事件事件A与与B事件独立，或称独立事件事件独立，或称独立事件2）假假设设两两个个事事件件相相互互独独立立，则则这这两两个个事事件件同同时时发发生生的的概概率率等等于于它它们们各各自自发发生生的的概概率之积，即率之积，即 P(AB)=P(A)P(B)3）假设事件）假设事件A A1 1,A A2 2,A An n相互独立，则相互独立，则 P(A1,A2,An)=P(A1)P(A2)P(
29、An)343【例例例例】一一个个旅旅游游经经景景点点的的管管理理员员根根据据以以往往的的经经验验得得知知，有有80%80%的的游游客客在在古古建建筑筑前前照照相相留留念念。求求接接下下来来的两个游客都照相留念的概率的两个游客都照相留念的概率 解：解：解：解：设设 A A=第一个游客照相留念第一个游客照相留念 B B=第二个游客照相留念第二个游客照相留念 两个游客都照相留念是两个事件的交。在没两个游客都照相留念是两个事件的交。在没 有其他信息的情况下，我们可以假定事件有其他信息的情况下，我们可以假定事件A A 和事件和事件B B是相互立的，所以有是相互立的，所以有 P P(A AB B)=P P
30、(A A)P P(B B)=0.800.80=0.64)=0.800.80=0.64344【例例例例】假假定定我我们们是是从从两两个个同同样样装装有有3 3个个红红球球2 2个个白白球球的的盒盒子子摸摸球球。每每个个盒盒子子里里摸摸1 1个个。求求连连续续两两次次摸摸中红球的概率中红球的概率 解：解：解：解：设设 A A=从第一个盒子里摸到红球从第一个盒子里摸到红球 B B=从第二个盒子里摸到红球从第二个盒子里摸到红球 依题意有依题意有：P P(A A)=3/5=3/5；P P(B B)=3/5)=3/5P P(A AB B)=P P(A A)P P(B B)=3/53/5=0.36)=3/5
31、3/5=0.364-45独立性与互不相容的区别：独立性与互不相容的区别：独立性是指两个事件的发生互不影响。独立性是指两个事件的发生互不影响。互不相容是指两个事件不能同时发生。互不相容是指两个事件不能同时发生。两个不相容事件一定是统计相依的，两个两个不相容事件一定是统计相依的，两个独立事件一定是相容的（除非其中有一个事独立事件一定是相容的（除非其中有一个事件的概率为件的概率为0）。）。3.1.5全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式3471.全概率公式全概率公式B B B B B B B B5 5 5 5B B B B4 4 4 4B B B B B B B B3 3 3 3 完备事件组完
32、备事件组完备事件组完备事件组348【例例例例】假假设设在在n n张张彩彩票票中中只只有有一一张张中中奖奖奖奖券券，那那么么第第二个人摸到奖券的概率是多少？二个人摸到奖券的概率是多少？解：解：解：解：设设 A A=第二个人摸到奖券，第二个人摸到奖券，B B=第一个人摸到奖券第一个人摸到奖券 依题意有依题意有：P P(B B)=1/=1/n n；P P(B B)=()=(n n-1)/-1)/n n P P(A A|B B)=0)=0P P(A A|B B)=1/)=1/n n-1-13492.逆概率公式逆概率公式(贝叶斯公式贝叶斯公式)P P(B Bi i)是没有参加其它信息的概是没有参加其它信
33、息的概是没有参加其它信息的概是没有参加其它信息的概率，率，率，率，被称为事件被称为事件被称为事件被称为事件B Bi i的先验概率的先验概率的先验概率的先验概率P P(B Bi i|A A)被称为事件被称为事件被称为事件被称为事件B Bi i的后验概的后验概的后验概的后验概率率率率B B B B B B B B5 5 5 5B B B B4 4 4 4B B B B B B B B3 3 3 3 350【例例例例】某某考考生生答答复复一一道道四四选选一一的的考考题题，假假设设他他知知道道正正确确答答案案的的概概率率为为1/21/2，而而他他不不知知道道正正确确答答案案时时猜猜对对的的概概率率应应
34、该该为为1/41/4。考考试试结结束束后后发发现现他他答答对对了了，那那么么他他是知道正确答案情况下做对的概率是多大呢？是知道正确答案情况下做对的概率是多大呢？解：解：解：解：设设 A A=该考生答对了该考生答对了 ，B B=该考生知道正确答案该考生知道正确答案 依题意有依题意有：P P(B B)=1/2=1/2；P P(B B)=1-1/2=1/2)=1-1/2=1/2P P(A A|B B)=1/4)=1/4P P(A A|B B)=1)=13.2随随机机变变量量及及其其概概率率分分布布3.2.1 随机变量3.2.2 离散型随机变量的概率分布3.2.3 离散型随机变量的数学期望和方差3.2
35、.4 几种常用的离散型概率分布3.2.5 概率密度函数与连续型随机变量3.2.6 常见的连续型概率分布3.2.1随机变量随机变量4-531.1.随机变量就是其取值带有随机性的变量，随机变量就是其取值带有随机性的变量，一般用一般用X、Y、Z等表示。等表示。在给定的条件下，这种变量取任何值事先在给定的条件下，这种变量取任何值事先不能确定，只能由随机试验的结果来定，不能确定，只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。并且随试验的结果而变。例如：例如：投掷两枚硬币出现正面的数量投掷两枚硬币出现正面的数量4-542.随机变量的种类随机变量的种类如果随机变量的全体可能取值能够一一如果随机变量的全体可
36、能取值能够一一列举出来，这样的随机变量称作离散型随机列举出来，这样的随机变量称作离散型随机变量（如掷一枚硬币首次出现正面向上所需变量（如掷一枚硬币首次出现正面向上所需要的投掷次数）；要的投掷次数）；如果随机变量的全体可能取值不能一一如果随机变量的全体可能取值不能一一列举，其可能的取值在数轴上是连续的，则列举，其可能的取值在数轴上是连续的，则该变量称为连续型随机变量（如可能出现的该变量称为连续型随机变量（如可能出现的测量误差）测量误差）。355u离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客
37、数销售量顾客性别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性为0,女性为1356u连续型随机变量的一些例子连续型随机变量的一些例子试验试验随机变量随机变量可能的取可能的取值值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X 00 X 100X 03.2.2离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布1.离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 离散型随机变量离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值x1、x2、x3、xn和这些值的概率和这些值的概率p(x1)、p(x2)、p(x3)、p(xn)就称为离散型随机变量的概就称为离散型随
38、机变量的概率分布。即：率分布。即：离散型随机变量概率分布的性质离散型随机变量概率分布的性质变量变量Xx1x2x3xn概率概率Pp(x1)p(x2)p(x3)p(xn)离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布【例例】投投掷掷一一枚枚骰骰子子，出出现现的的点点数数是是个个离离散散型型随机变量，其概率分布为随机变量，其概率分布为X=xi1 2 3 4 5 6P(X=xi)=pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/60 01/61/6P P(x x)1 1x x2 23 34 45 56 6361【例例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表故障次数故障次数X=xi0123
39、概率概率P(X=xi)pi0.100.250.35一部电梯一周发生故障的次数及概率分布一部电梯一周发生故障的次数及概率分布 (1)(1)确定确定 的值的值(2)(2)求正好发生两次故障的概率求正好发生两次故障的概率(3)(3)求最多发生两次故障的概率求最多发生两次故障的概率(4)(4)求求故障次数多于一次的概率故障次数多于一次的概率362解：解：(1)由于0.10+0.25+0.35+=1所以，=0.30(2)P(X=2)=0.35(3)P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70(4)P(X1)=0.35+0.30=0.653.2.3离散型随机变量的离散型随机变量的数学期望和方差数学
40、期望和方差3641.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望1）离离散散型型随随机机变变量量X的的所所有有可可能能取取值值xi与与其其取取相相对对应的概率应的概率pi乘积之和乘积之和2）描述离散型随机变量取值的集中程度）描述离散型随机变量取值的集中程度3）记为）记为 或或E(X)4）计算公式为）计算公式为3652.离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差1）随随机机变变量量X的的每每一一个个取取值值与与期期望望值值的的离离差差平平方方和的数学期望，记为和的数学期望，记为 2或或D(X)2）描述离散型随机变量取值的分散程度）描述离散型随机变量取值的分散程度3）计算公式为）计算公式为4）方
41、差的平方根称为标准差，记为）方差的平方根称为标准差，记为 或或D(X)366【例例例例】一一家家电电脑脑配配件件供供给给商商声声称称，他他所所提提供供的的配配件件100100个中拥有次品的个数及概率如下表个中拥有次品的个数及概率如下表 次品数次品数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.750.120.080.05每每100100个配件中的次品数及概率分布个配件中的次品数及概率分布 求该供给商次品数的数学期望和标准差求该供给商次品数的数学期望和标准差 3.2.4几种常用的离散型概率分布几种常用的离散型概率分布368常用离散型概率分布常用离散型概率分布离散型离散型概率分布概率分布二项分布二
42、项分布两点分布两点分布泊松分布泊松分布超几何分布超几何分布3691.二项分布二项分布1）二项分布与伯努利试验有关）二项分布与伯努利试验有关2）伯努利试验满足以下条件）伯努利试验满足以下条件一一次次试试验验只只有有两两个个可可能能结结果果，即即“成成功功”和和“失败失败”“成功成功”是指我们感兴趣的某种特征是指我们感兴趣的某种特征一一次次试试验验“成成功功”的的概概率率为为p，失失败败的的概概率率为为q=1-p，且概率且概率p对每次试验都是相同的对每次试验都是相同的试验是相互独立的，并试验是相互独立的，并可以重复进行可以重复进行n次次在在n次次试试验验中中，“成成功功”的的次次数数对对应应一一个
43、个离离散散型型随机变量随机变量X X 3703）重重复复进进行行n次次试试验验，出出现现“成成功功”的的次次数数的的概概率率分分布布称称为为二二项项分分布布，记记为为XB(n，p)4）设设X为为n 次次重重复复试试验验中中出出现现成成功功的的次次数数，X 取取x的概率为的概率为5）二项分布的期望与方差：）二项分布的期望与方差：371u对于对于P(X=x)0，x=1,2,n，有，有u同样有同样有372【例例例例】已知一批产品的次品率为已知一批产品的次品率为4%4%，从中任意有放回地抽，从中任意有放回地抽取取5 5个。求个。求5 5个产品中：个产品中：(1)(1)没有次品的概率是多少？没有次品的概
44、率是多少？(2)(2)恰好有恰好有1 1个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？(3)(3)有有3 3个以下次品的概率是多少？个以下次品的概率是多少？3732.两点分布（两点分布（0-1分布）分布）u随机变量随机变量X只取只取0和和1两个可能的值。两个可能的值。u两点分布的期望为两点分布的期望为p，方差为，方差为pq。当当 n=1 时，二项分布退化为两点分布：时，二项分布退化为两点分布：或或374【例例】已知一批产品的次品率为p0.04，合格率为q=1-p=1-0.04=0.96。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi0 1P(X=
45、xi)=pi0.96 0.040.50.50 01 11 1x xP P(x x)3753.泊松分布泊松分布1）1837年年法法国国数数学学家家泊泊松松(D.Poisson，17811840)首首次次提出提出2）用用于于描描述述在在一一指指定定时时间间范范围围内内或或在在一一定定的的长长度度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布面积、体积之内每一事件出现次数的分布3）泊松分布的例子）泊松分布的例子一定时间段内，某航空公司接到的订票一定时间段内，某航空公司接到的订票 数数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定时间内，到车站等候公共汽车的人数一定路段内，路面出现大损坏的次数一定路段内，路面出现大
46、损坏的次数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一定时间段内，放射性物质放射的粒子数一匹布上发现的疵点个数一匹布上发现的疵点个数一定页数的书刊上出现的错别字个数一定页数的书刊上出现的错别字个数376 给定的时间间隔、长度、面给定的时间间隔、长度、面积、体积内积、体积内“成功成功”的平均数的平均数e=2.71828x 给定的时间间隔、长度、面给定的时间间隔、长度、面积、体积内积、体积内“成功成功”的次数的次数4）概率分布函数）概率分布函数 XP()5）泊松分布的期望和方差均为）泊松分布的期望和方差均为 377【例例例例】假假定定某某航航空空公公司司预预订订票票处处平平均均每每小小时时接接到到424
47、2次次订订票票 ，那那么么1010分分钟钟内内恰恰好好接接到到6 6次次 的的概概率率是是多少？多少？解：解：解：解：设设X X=1010分钟内航空公司预订票处接到的分钟内航空公司预订票处接到的 次数次数 378（1）当当试试验验的的次次数数n很很大大，成成功功的的概概率率p很很小小时时，可可用用泊泊松松分分布布来来近近似似地地计计算算二二项项分分布的概率，即布的概率，即（2）实际应用中，当 P0.05，n20，近似效果良好6）泊松分布作为二项分布的近似）泊松分布作为二项分布的近似3794.超几何分布超几何分布1）采采用用不不重重复复抽抽样样，各各次次试试验验并并不不独独立立，成成功功的概率也
48、互不相等的概率也互不相等2）总总体体元元素素的的数数目目N很很小小，或或实实验验次次数数n相相对对于于N来来说说较较大大时时，样样本本中中“成成功功”的的次次数数则则服服从从超几何概率分布超几何概率分布3）概率分布函数为）概率分布函数为4）380【例例例例】假假定定有有1010支支股股票票，其其中中有有3 3支支购购置置后后可可以以获获利利，另另外外7 7支支购购置置后后将将会会亏亏损损。如如果果你你打打算算从从1010支支股股票票中中选选择择4 4支支购购置置，但但你你并并不不知知道道哪哪3 3支支是是获获利利的的，哪哪7 7支支是是亏亏损的。求：损的。求：(1)(1)有有3 3支能获利的股
49、票都被你选中的概率有多大？支能获利的股票都被你选中的概率有多大？(2)3(2)3支可获利的股票中有支可获利的股票中有2 2支被你选中的概率有多大？支被你选中的概率有多大？解：解：解：解：设设N N=1010，MM=3=3，n n=4=43.2.5概率密度函数与概率密度函数与连续型随机变量连续型随机变量1.连续型随机变量的特点连续型随机变量的特点1）连连续续型型随随机机变变量量可可以以取取某某一一区区间间或或整整个个实实数轴上的任意一个值数轴上的任意一个值2）它取任何一个特定的值的概率都等于）它取任何一个特定的值的概率都等于03）不能列出每一个值及其相应的概率）不能列出每一个值及其相应的概率4）
50、通常研究它取某一区间值的概率）通常研究它取某一区间值的概率5）用用概概率率密密度度函函数数的的形形式式和和分分布布函函数数的的形形式式来描述来描述2.概率密度函数概率密度函数1）设设X为为一一连连续续型型随随机机变变量量，x为为任任意意实实数数，X的概率密度函数记为的概率密度函数记为f(x)，它满足条件，它满足条件2）f(x)不是概率不是概率密度函数密度函数f(x)表示表示X 的所有取值的所有取值x及其频数及其频数f(x)值值(值值,频数频数)频数频数f f(x x)a ab bx x在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中画画出出f(x)的的图图形形，则则对对于于任任何何实实数数ab，P(aX