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1、回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法ab xyo第1页/共59页面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值第2页/共59页ab xyo提示提示面积元素第3页/共59页第4页/共59页元素法的一般步骤：第5页/共59页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。第6页/共59页二、平面图形的面积如何用元素法分析？第7页/共59页如何用元素法分析？第8页/共59页如何用元素法分析？第9页/共59页第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？第10页/共59页如何用元素法分析
2、？第11页/共59页如何用元素法分析？第12页/共59页第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？第13页/共59页解解两曲线的交点面积元素选 为积分变量第14页/共59页解解两曲线的交点选 为积分变量第15页/共59页于是所求面积积分变量只能选 x 吗？第16页/共59页oo1.基本型基本型第17页/共59页oo第18页/共59页X-型区域Y-型区域o2.组合型组合型第19页/共59页xyoxyo用元素法分析：用元素法分析：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？第20页/共59页xyoxyo选择合适的积分变量：选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？第21页/共59
3、页解解两曲线的交点选 为积分变量第22页/共59页解解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积第23页/共59页 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱三、旋转体的体积(volume of body)（1）第24页/共59页圆锥圆台（3）（2）请思考球体、椭球体如何得到？第25页/共59页xyo旋转体的体积为第26页/共59页解解直线 方程为第27页/共59页第28页/共59页解解旋转体的体积第29页/共59页第30页/共59页解解01xy例例 3 3 求由 =2
4、0cos,0,0p pxxyyx所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.第31页/共59页补充补充利用这个公式，可知上例中 园周长为2x厚为 dx第32页/共59页解解体积元素为第33页/共59页例例5.求圆形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.yxO312-2解.所求体积为:第34页/共59页 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积第35页/共59页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第36页/共59页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第37页/共59页五、小结定积分的元
5、素法定积分的元素法平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积第38页/共59页思考题思考题1第39页/共59页思考题思考题1解答解答xyo两边同时对 求导第40页/共59页积分得所以所求曲线为第41页/共59页曲线 y=f(x)及直线 y=kx+b ,所围成的曲边梯形,求D绕直线y=kx+b旋转所成立体的体积.上有连续导数,D为思考题思考题2第42页/共59页如右图示,L：NTM y=f(x)dlD曲线在M点处的切线MT为：思考题思考题2解答解答第43页/共59页应用定积分的元素法，考虑子区间x,x+dx.设相应于x,x+dx的
6、曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时,取切线MT上对应于右端点x+dx的点 到垂线 的距离为dl,则第44页/共59页而M点到直线L的距离为从而得所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为第45页/共59页思考题思考题3第46页/共59页思考题思考题3解答解答交点立体体积第47页/共59页练练 习习 题题！,.132/3已知平行截面面积的第48页/共59页二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：1.与直线 及解：求 的交点得(1,1),2.与直线 及解：求 的交点得(1,1),求 的交点得(2,4),1 2 x yO 1 2 x yO第49页/共59页三、曲线 y=x2与它两条
7、相互垂直的切线所围成平面图形的面积S,其中一条切线与曲线相切于点A(a,a2)(a0),求 a 为多少时?面积S最小.解：切线l1:y=2ax-a2由两切线相互垂直条件,可设切线l2:y=-(2a)-1x+b O x yA第50页/共59页求面积S最小时的a值当a=1/2面积S最小.第51页/共59页四、抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解：求两切线l1、l2，设其斜率为k1、k2 y 3 2-3O 1 2 3 x切线l1、l2交于第52页/共59页解：y 1O a xs1s2五、如图曲线 y=cosx2 与直线 y=1,x=a()所围成
8、图形的面积为s1，与直线 y=0,x=a所围成图形的面积为s2，试问 为何值时S=为最小.两边对a求导数：(负值不合题意，舍去)故当 时S最小。第53页/共59页解：双曲线 xy=1(y0)与直线 y=2交于 x=1/2.六、如图双曲线 xy=1(y0)与直线 y=2,x=2 所围成图形绕x轴旋转的旋转体体积.y 2O 2 x图形绕y轴旋转的旋转体体积怎样求？第54页/共59页解七、求x2+y2=a2绕x=-b(ba0)旋转所成旋转体的体积.-b-a O a x y a-a第55页/共59页八、过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(2003年研究生入学考试试题)(1)求D的面积A；(2)求D的绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.y 1O 1 e x解第56页/共59页第57页/共59页九、位于曲线 y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积A。O 1 x y e 1解第58页/共59页感谢您的观看！第59页/共59页