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1、三、多元函数的极限三、多元函数的极限二、多元函数的概念二、多元函数的概念四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性五、小结五、小结 思考题思考题第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一一 、区域、区域1.邻域邻域(neighborhood)一、区域(region)2.内点内点(inner point)、边界点和聚点边界点和聚点的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为)(boundaryEE举举 例例(point of accumulation)3.开集开集(opener)与闭集与闭集(closed set)例如例如即为开集；即为开集；即为闭集；即为闭集；即即非开集非开集也非闭
2、集也非闭集.4.有界集有界集(bounded set)与无界集与无界集一个集合如果不是有界集，就称为无界集一个集合如果不是有界集，就称为无界集.5.区域、闭区域区域、闭区域连通的开集称为区域连通的开集称为区域(region)或开区域或开区域例如，例如，例如，例如，注：注：n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：二、多元函数的概念(functions of several variables)定义例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）
3、二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,如右图，为球面如右图，为球面.单值分支单值分支:约定约定,凡用算式表达的多元函数凡用算式表达的多元函数,除另有说明除另有说明外外,其定义域是指的自然定义域其定义域是指的自然定义域与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域点集称为这个多元函数的自然定义域一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不
4、再适用，但有界性的定义定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍然适用仍然适用.三、多元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的，即的方式是任意的，即 ；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察播放播放确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：推广推
5、广:四、多元函数的连续性定义定义例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续 多元初等函数：由多元多项式及基本初等多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数。的可用一个式子表示的函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是
6、连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例解解闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理多元函数极限的概念及极限不存在的判定多元函数极限的概念及极限不存在的判定多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）五、小结区域、多元函数的概念区域、多元函数的概念思考题思考题思考题解答思考题解答有有.练练 习习 题题5、练习题答案练习题答案