第一讲实数与实函数.pdf

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1、第一讲实数与实函数第一讲实数与实函数1.11.1 实数与实函数的基本概念实数与实函数的基本概念一实数一实数pq实数包括有理数和无理数 有理数，就是能够表示成形式的数，其中 p 是整数，q 是不为零的整数如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数无理数，就是不能表示成 形式的数，也就是无限不循环的小数 如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=；也可以表示为 l=（注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节数 1 约定的表示为 l=，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数二、实数的性质二、实数的性质 1 1 实数集合实数集合

2、R R 是一个阿基米德有序域是一个阿基米德有序域(1）在实数集合 R 上定义加法“+”和乘法“”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元”;R成为一个“域”.pq(2）在集合 R 上定义了一种序关系“，且满足传递性：即对a,b,cR，若 a b,b c,则 a c；三歧性：即对a,b R,，关系 a b三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集(3)R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a,b，必存在自然数 n，使得 na b.2 2 实数集合实数集合 R R 是一个完备集是一个完备集定义定义

3、（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射:X X R，满足(1）非负性：对x,y X,x,y 0 x y;(2）对称性：x,yy,x；(3）三角不等式：x,yx,zz,y;则称是点集 X 上的一个距离 如果 X 是一个线性空间，称X,是一个距离空间。在实数集 R 上定义距离x,y x y（可以验证满足定义中的三条），则R,是一个距离空间定义定义 1 1.2 2 设xn是距离空间X,中的点列，若对 0,N 0，当m,n N 时，恒有xn,xm，则称xn是 X 中的柯西列定义定义 1.3 1.3 若距离空间 X 中的任意柯西列都在 X 中收敛，则称 X是完备的距离空间由柯西收敛准则很容易知道，作为

4、距离空间的实数集 R 是完备的 有6 个刻划实数集 R 完备性的且彼此等价的定理，它们分别是(1）确界原理：设 S 是非空数集若 5 有上界则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界(2）单调有界原理：单调有界点列（函数）必存在极限(3）区间套定理：若an,bn是一个区间套，则存在唯一的实数，使得an,bn,n 1,2,，即an bn,n 1,2,。(4）有限覆盖定理：设 H 是对闭区间巨，习的一个任意开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b(5）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点推论（致密性定理）：有界点列必有收敛子列(6）柯西收敛准则：数列an收敛

5、的充要条件是数列an是柯西列关于上述六个定理的等价性证明可参考文献1三、关于实数点集的一些重要概念三、关于实数点集的一些重要概念1 1 有界点集有界点集S 是一实数点集，若M 0使对xS恒有x M，则称 S 是有界点集2 2 无界点集无界点集S 是一实数点集若对M 0，xS使得x M，则称 S 是无界点集3 3 有界函数有界函数f(x）是定义在点集 I 上的函数，若M 0使对xI恒有fx M，则称 f(x）在 I 上有界4 4 无界函数无界函数f(x）是定义在点集 I 上的函数，若对M 0，xI使得fx M则称 f(x）在 I 上无界、例例 1.1 1.1 证明函数fx在0,1上无界证明：对M

6、 0，x0（0,1）上无界。5 5 上确界上确界设 E 为一个实数点集，a 为一是实常数，若满足：对xE，恒有x（即为 E 的上界）；对 0，存在x0 E，使得x0。（即是 E 的最小的上界），则称为 E 的上确界，记作1x110,1使得fx M 1 M故fx在M 1x supE6 6 下确界下确界设 E 为一个实数点集，为一是实常数，若满足：对xE，恒有x(即为 E 的下界）；对 0，存在两x0 E，使得x0（即是 E 的最大的下界），则称为 E 的下确界，记作 inf E注：点集 E 的上确界或下确界可以属于 E，也可以不属于 E命题命题（1)supE，则E maxE(2）inf E，则E

7、 min E.证明显然，请读者自证例例 1.2 1.2 设 A、B 皆为非空有界集，定义数集A B z|z x y,x A,yB证明：(1)sup(A+B)=supA+SupB;(2)inf(A+B）=InfA+infB.证明：(1）由已知，A、B 非空有界，可知 A+B 也是非空有界集 根据确界原理，它们的上、下确界都存在 对z A B，由定义,存在x A及yB使得z x y sup AsupB即实数 supA 十 supB 是数集 A+B 的上界；又对z A B，x A,y B，使得x sup A,，y supB x y sup AsupB 22记z x y A B则z sup Asup

8、B：由定义可得sup(A+B）=SupA+supB(2）证明与（1）类似，从略例例 1.3 1.3 设 f 在区间 I 上有界记M supfx,m inffx,xIxI证明：supfx fx M mxI证明：对x,x I，有m f x M,m f x M,则f x f x M m 又对 0，x1,x2 I使得fx1 M,fx2 m22可得fx1 fx2M m由式，式可知sup f x f x M mx x I 7.7.聚点聚点定义定义 1 1.4 4（点集的聚点）：设 E 是一个点集，是一个点，若在的任意邻域内都含有 E 的无穷多个点，则称为点集 E 的聚点命题命题设 E 是一个点集，是一个点

9、，下列说法等价：(1）为点集 E 的聚点(2）在的任意邻域内都含有 E 的异于的一个点(3）在 E 中存在互异的点列xn使得limxnn证明：(1）（2)显然(2)(3)取11，在;1）内，x1E，取2 min,x1 0，在;1内，x2E,.,一 般 地，取12n min,xn1 0在;n内，xn E,n 1,2,.,显 然1nxn EE，且是互异的，同时显然有limxnn(3)(1)对 0，N 0，当 n N时，xnU,注意到xn E,n 1,2,.,，即为点集 E 的聚点注：(1）从定义可知，有限点集必无聚点(2）点集 E 的聚点可以属于 E，也可以不属于 E 例如，设 A 是开区间（0,

10、1）中的所有有理点所构成的集合，则闭区间0,1中的所有点都是 A 的聚点定义定义 1 1.5 5（点列的聚点）：设xn是一个点列，是一个点，若在的任意邻域内都含有xn的无穷多项，则称为点列xn的聚点注意：点集的聚点与点列的聚点不同，例如xn=1n作为点列，它有两个聚点：-1 和 1，但是如果把它们看做点集，则它是一个仅含有两个元素的集合1,1，无聚点把点列的最大（小）聚点，叫做点列的上（下）极限，分别记作limxn和 xnnnlim8.8.覆盖覆盖设H a|a是一个开区间集，其中是一个指标集，a是开区间设 I 是一个点集，如果对xI，总存在a H，使得xa，称 H 覆盖了I，或称 H 是 I

11、的一个开覆盖如果 H 是有限集而覆盖了 I，则称 H 是 I 的一个有限开覆盖；如果 H 是一个无限集合而覆盖了 I，则称 H 是 I 的一个无限开覆盖前面提到的有限覆盖定理，是一个十分重要的定理它可以推广到一般的距离空间上去，这里就不多说了例例 1.4 1.4xn是单调数列，证明：若xn存在聚点，则必是唯一的，且是xn的确界证明：不妨设xn是单调递增数列假设 A,B 都是它的一个聚点，A B 0，在UA;，2A B含有xn的无穷多项，假设xn0 xnA,，则xn0 A A，2A B又根据xn是单调递增的，当n n0时xn，即在 UB;内至多2且不等不妨设A B，由聚点的定义，取含有xn的有限

12、项，与 B 是聚点矛盾再证A supxn：首先证明对n,xn A事实上，假设有某一项xn00 A，插人0，使xn0 A由xn的单 增性，当n n0时，xn0 xn00 A此与 A 为聚点矛盾与唯一性的证明类似，可以证明 A 必是最小的上界，即A supxn.注：此题可有一个推论：若xn是单调数列，且有聚点，则必收敛若xn是单调增，则limxn supxn；若xn是单调减的，则nlimxn inf xn.n四、实函数四、实函数(1）要理解函数的定义，一定要搞清楚映射的定义，而一元实函数实际上就是一个从实数集到实数集的映射，这里不去赘述确定一个函数的基本要素是定义域和对应法则，当然函数的值域也是函

13、数的要素之一，但它是随定义域与对应法则而定的(2）函数的运算包括：四则运算；复合运算；极限运算；微分运算；积分运算；取大（小）运算max f x,g x,min f x,g x等这里需要特别强调的是，要注意它们的定义域，使得上述运算有意义(3）几种具有特性的函数：有界函数（上节已给出定义）；单调函数；奇、偶函数；周期函数这些函数的基本概念不再赘述(4）初等函数与非初等函数六类基本初等函数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数 非初等函数：不是初等函数的函数，称为非初等函数1,x0一般的分段函数

14、，都是非初等函数，例如符号函数sgnx0,x01,x01,x0就是非初等函数，但是分段函数x0,x0可以看做初等函数，1,x0因为x x2是两个幂函数的复合下面几个非初等函数都很重要：1,x为有理数0，x为无理数狄利克雷（Dirichlet）函数Dx。1p pp,q N,为既约真分数,x qq黎曼（Riemann）函数Rxq0，x 0，1和0，1内的无理数取整函数x：不超过 x 的最大整数dnx21勒让德（Legendre）多项式Xnx Cndxnn它们的一些性质，将在后面详细讨论有些函数乍一看好像不是初等函数，例如了xx（x 0)，把它叫做幂指函数，利用对数恒等式，xx exln x是由一些

15、基本初等函数复合而成的，所以它也是初等函数1.21.2 实数与实函数的典型问题讨论实数与实函数的典型问题讨论例例 1.5 1.5 设函数fx在a,b月有定义，且在每一点处的极限存在，证明了fx在a,b上有界证法 1：对xa,b，因lim fx存在，由局部有界性，m 0及xx 0，使得当xUx;时，恒有fx m当 x 跑遍a,b，在每一点 x 处都具备上述性质令 H=Ux;x|xa,b，则 H 是a,b的一个开覆盖，据有限覆盖定理，必存在有限的子覆盖即存在a,b上的有限个点，不妨设为x1,x2,.,xk这k个点就有昌UUxi;ia,b注意到i1k对每个Uxi;i都存在相应的Mi 0，使当xUxi

16、;i时，恒有fx Mii 1,2,.,k记M maxM1,M2,.,MK，则对xa,b恒有fx M，即函数fx在a,b上有界证法 2:（反证法）假设fx在a,b上无界，则对M 0，xa,b，使 得fx M让M=1,2,，N，则 相 应 地 x1,x2,.,xn,.a,b，使得fxn n因xna,b为有界数列，据聚点定理，必有收敛子列，即存在子列xn，使limxn x0a,b 由已知，kkkfx在x0点的极限存在，记lim fx A，由归结原则，应有xlim f xnk A，但是由xn的取法可知f xnk nk,k ，矛盾，x 即fx在a,b上有界例例 1.6 1.6 试用有限覆盖定理证明聚点定

17、理证明：设 S 是一个有界无穷点集下面用有限覆盖定理证它必有 聚 点 因S 有 界，必 有 一 个 闭 区 间a,b S对 0，xa,b Ux;a,b S，由有限覆盖定理，必有有限的子覆盖，即存在k有限个点x1,x2,.,xka,b，使UUxi;a,b S 又因 S 是无穷点集，i1在这 k 个点中，至少有一个点一邻域内含有 S 的无穷多个点，若记该点为xx1,x2,.,xk，则x就是 S 的聚点例例 1.7 1.7 讨论狄利克雷函数的周期性解：狄利克雷函数以任意有理数为周期的周期函数，因为没有最小的正有理数，所以它没有基本周期事实上，任取一个有理 r，当 x 是有理数时，r+x 还是有理数；

18、当 x 是无理数时，r+x是无理数，因此1，x为有理数Dx r Dx0，x为无理数例例 1.8 1.8 证明定义在对称区间l,l上的任何函数fx都可以唯一地表示成一个偶函数与一个奇函数之和证明：令Hx1fx f x,Gx1fx f x22则fx HxGx，且容易验证H x Hx,Hx是偶函数；G x Gx,Gx是奇函数下面证明唯一性假设还存在偶函数H1x和奇函数G1x，使得fx H1xG1x，则有Hx H1x GxG1x用 x代x得H x H1 x G xG1 x，即Hx H1x G1xGx将式、式相加，得Hx H1x，再由式可得，Gx G1x，唯一性得证1 x,x 0,求ffx.1,x 0例

19、例 1.9 1.9 设fx解：ffx1 fx,fx 0，而x 1时，fx 0;x 1时，1,fx 0fx 0）故有2 x,x 1ffx1,x 1例例 1.10 1.10 设 f 和 g 为区间（a,b）上的增函数，证明：x maxfx,gx；x minfx,gx都是a,b上的增函数证明：任取x1,x2a,b且x1 x2，由于 f,g 在a,b上单调递增，所以有fx1 fx2,gx1 gx2即有x1 maxfx1,gx1 maxfx2,gx2 x2即x在（a,b）上单调递增x的单调性证法类似，从略例例 1.11 1.11 函数f在a,b月上无界，求证存在一点ca,b，使对任意的 0，f在c,c

20、a,b上无界证法 l（反证法）：假设结论不成立，即对ca,b，0，使f在c,c a,b上 有 界，即 存 在 常 数Mc 0，使 当xc,c a,b时，有fx Mc。让 c 跑遍a,b，这样每一点的相应的邻域就构成a,b的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在有限个点：记为x1,x2,.,xka,b，它们的ii 1,2,.,k邻域之并就覆盖了a,b因为在每 一个xi;ia,b上都存在相 应的Mi 0，使得xxi;ia,b时，fx Mii 1,2,.,k，令M maxM1,M2,.,Mk，则对xa,b，恒有fx M，即fx在a,b上有界与已知矛盾证法 2(直接证法)：由已知f在a,b上无界，将a,b二

21、等分，得两个子区间a,a ba ba,，则f至少在其中一个子区间上无界，22把它记为a1,b1再将a1,b1二等分，选其中一个使得f无界的那个子区间记为a2,b2将上述步 骤一直进行 下去，就得到一 闭区 间列an,bn,n 1,2,.,满足：(1）它是一个区间套，实因：an,bnan1,bn1，n 1,2,.,bn anb na 0n (2)f在每个an,bn2can,bna,b,n 1,2,.,，上都是无界的 由区间套定理：且对 0，N 0，当n N时，恒有an,bnc,c 由（2）知f在其上无界例例 1.12 1.12 举出一个函数的例子，它在0,1上每一点都有定义，且取有限值，但是函数

22、在0,1上每一点的任意邻域内都是无界的pq,x,p,q为互质的正整数q解：令fx则显然 f 为定义在0,1且，0，x为无理数，或x 0,x 1每一点都取有限值的函数下面证明它在0,1上的每一点的任意邻域内都是无界的事实上，对x00,1，0，由有理数的稠密性，在邻域x0;内总有有理点，不妨取r0p0 x0;，其中p0,q0都是q0互质的正整数对M 1，总有某一个自然数 k，使得有理数r p0kMkMr0 x0;（因为limr r0）且注意到 r 的分子kkM1q0kM q0和分母是互质的，这时fr q0kM q0 M，即fx在x0;内无界例例 1 1.1313 若数集 A 有上界，但无最大数，证

23、明在 A 中必能找到严格单调增加的数列xn使得limxn sup An证明：根据确界原理，sup A存在，记a sup A。由己知a A，由上确界的定义，对11 0,x1 A，使得a x1 a 1，对2 0，必存在x2 A，使得a x2 maxa,x1一般地，对n1n12121 0n 1,2,.,存n在xn A，使得a xn maxa,xn1，易知这样选取的数列xn即满足要求 例例证明函数fx x3ex在,上有界3x3ex 0所以1，存在G 0，当x G时，恒有证明:因limx3fx1，又fx在G,G上连续，从而有界，即存在M 0，使当X G,G时，有fx M，取K max1,M，则对x,，恒

24、有fx K，即 f 在,上有界例例设函数fx在a,b上单调递增（未必连续），若fa a,fb b,则必存在x0a,b，使得fx0 x0证 明：若 了fa a或fb b，则 问 题 已 经 得 证，不 妨 设fa a,fb b 作直线L:y x，则点a,fa在 L 的上方，而点b,fb在 L 的下方取c a b考查c,fc点，若在 L 上，则问题得证；2否则若c,fc在 L 的上方，就记c,ba1,b1若c,fc在 L 的下方，记a,ca1b1，使得点a1,fa1与b1,fb1位于 L 的两侧这个过程一直进行下去，若有某一步得到an fan（即（an fan）在 L 上），则 问 题 得 证，否

25、 则 就 得 到 一 闭 区 间 套an,bn，满 足：an1,bn1an,bnn 1,2,.bnan1 0n an,fan2n在L 的上方，而bn,fbn 在 L 的下方由闭区间套定理，存在唯一的:an bn，一 方 面，由f单 增fan f fbn，且 由 于liman limbn，单调 函数 在每一 点的 单侧 极限存 在，从 而nnlim fan f0 f f0 lim fbnnn另一方面，由 fan an f0;fbn bn f 0，故必有f了.习题习题 1.1 1.11.设a,bR，证明：(1)maxa,b(2)mina,b1a b a b；21a b a b；2122 设f x

26、1 x，求fxx3 设 f,g 为 D 上的有界函数，证明：fx gx inf fxsupgx,(1）infxDxDxDfxinf gx supfx gx(2）infxDxDxD(3）sup fx inf fxxDxD fx sup fx(4）infxDxD4 证明函数fx ln x在区间0,1上无界5 证明关于取整函数y x有如下不等式：1(1）当x 0时，1 x x 1x1(2）当x 0时，1 x 1 xx6 设函数f在,上是奇函数，f1 a，且对任何 x 均有fx 2 fx f2 (1）试用 a 表示 f(2）与 f(5);(2)a 为何值时 f 是以 2 为周期的周期函数7 试用确界原理证明：在闭区间a,b上连续函数的介值定理和取最大（小）值定理8 试用有限覆盖定理或致密性定理证明：在闭区间a,b上连续函数的有界性定理和一致连续性定理9 试用柯西收敛准则证明确界原理