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1、1专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质必记公式1三角函数的图象与性质函数图象在22k，2单调性在2k，ysinxycosxytanx在 2k，22k (kZ Z)上单调2k(kZ Z)上单调递增；在22k， 递增；在 2k，k )(kZ Z)上单调递2k(kZ Z)上单3 增22k (kZ Z)上调递减(单调递减对称中心：对称性(k，0)(kZ Z)；对称轴：x2k(kZ Z)对称中心：k，0(k2对称中心：k，0(kZ Z)2Z Z)；对称轴：xk(kZ Z)2.三角函数的两种常见图象变换重要结论1三角函数的奇偶性(1)函数 yAsin(x)是奇函数k(kZ Z)，是偶函数k2
2、(kZ Z)；(2)函数 yAcos(x)是奇函数k2(kZ Z)， 是偶函数k(kZ Z)；(3)函数 yAtan(x)是奇函数k(kZ Z)2三角函数的对称性(1)函数 yAsin(x)的图象的对称轴由 xk2(kZ Z)解得，对称中心的横坐标由 xk(kZ Z)解得；(2)函数 yAcos(x)的图象的对称轴由 xk(kZ Z)解得，对称中心的横坐标由 xk2(kZ Z)解得；k(3)函数 yAtan(x)的图象的对称中心由x2(kZ Z)解得失分警示1忽视定义域求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域2重要图象变换顺序在图象变换过程中， 注意分清是先相
3、位变换， 还是先周期变换 变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3忽视 A， 的符号在求 yAsin(x)的单调区间时，要特别注意 A 和 的符号，若 0，A0， 0) 若 f(x)在区间6，2上具有单调性， 且 f2f3f6， 则 f(x)的最小正周期为_答案 ，解析由 f(x)在区间62上具有单调性，且f2f6知，f(x) 21 27有对称中心3，0，由 f2f3知 f(x)有对称轴 x2(23)12. 127T记 f(x)的最小正周期为 T，则2T26，即 T3.故12344，解得 T.考点典例示法题型 1利用图象
4、求 yAsin(x)的解析式三角函数的图象及应用典例 3函数 f(x)2sin(x)0，22的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是()A2，3C4，6B2，6D4，333 25解析从图中读出此函数的周期情况为4T412353，2，代入解析式 f(x)，所以 2.又读出图中最高点坐标为412552sin(2x)，得到 22sin212，所以 2122k2(kZ)，则 2k3.因为20，|2的最小正周期是 ，若将其图象向右平移3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f(x)的图象()A关于直线 x12对称C关于点12，0对称5B关于直线 x12对称5D关于点12，0对称2解析f(x)的最小正周期
5、为 ，2，f(x)的图象2 向右平移3个单位后得到 g(x)sin2x3sin2x3的图 象，又 g(x)的图象关于原点对称，222k3k，kZ Z，3k，kZ Z，又|2，32，k1，3，f(x)sin2x3，当x12时，2x356，A，C 错误，当 x12时，2x32，B 正确，D 错误答案B本例中条件不变，若平移后得到的图象关于 y 轴对称，则 f(x)的图象又关于谁对称？()答案D2解析g(x)的图象关于 y 轴对称，则32k，kZ Z，可k求 6，f(x)sin 2x6，2x6k，可得 x212，令 k1，5则 x12，故选 D.1函数表达式 yAsin(x)B 的确定方法2.三角函
6、数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看yAsin(x)中 的正负和它的平移要求(3)看移动单位：在函数 yAsin(x)中，周期变换和相位变换都是沿 x 轴方向的，所以 和 之间有一定的关系， 是初相，再经过 的压缩，最后移动的单位是.3研究三角函数图象与性质的常用方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)的形式，然后再求解(2)对于形如 yasinxbcosx 型的三角函数， 要通过
7、引入辅助ab角化为 y a b sin(x)cos22，sin22的形a ba b22式来求全国卷高考真题调研120 xx全国卷若将函数 y2sin2x 的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()kAx26(kZ Z)kCx212(kZ Z)答案B解析函数 y2sin2x 的图象向左平移12个单位长度，得到的图 象对应的函数表达式为 y2sin2x12， 令 2x12k2(kZ Z)， kBx26(kZ Z)kDx212(kZ Z)kk解得 x26(kZ Z)，所以所求对称轴的方程为x26(kZ Z)，故选 B.220 xx全国卷函数 f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则
8、f(x)的单调递减区间为()13A.k4，k4，kZ Z13B.2k4，2k4，kZ Z13C. k4，k4，kZ Z13D.2k4，2k4，kZ Z答案D53解析由图象可知422m，422m，mZ Z，所以 ，42m，mZ Z，所以函数 f(x)cosx42m1cosx4的单调递减区间为 2kx42k，kZ Z，即 2k43x0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin2x的图象上，则()1At2，s 的最小值为63Bt2，s 的最小值为61Ct2，s 的最小值为33Dt2，s 的最小值为3答案A解析因为点 P4，t在函数 ysin2x3的图象上，所以 t11sin 243sin62.又 P
9、4s，2在函数 ysin2x 的图象上，所 15以2sin24s，则 24s2k6或 24s2k6，kZ Z， 得 sk6或 sk6，kZ Z.又 s0，故 s 的最小值为6.故选A.420 xx陕西高考如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6xk.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5C8答案C解析由题图可知3k2，k5，y3sin6x5，ymaxB6D10358.05 20 xx湖南高考将函数f(x)sin2x的图象向右平移2个单位后得到函数 g(x)的图象 若对满足|f(x1)g(x2)|2 的 x1， x2， 有|x1x2|min3
10、，则 ()5A.12C.4答案D解析由已知得 g(x)sin(2x2)，满足|f(x1)g(x2)|2，不妨B.3D.6设此时 yf(x)和 yg(x)分别取得最大值与最小值，又|x1x2|min3，令 2x12，2x222，此时|x1x2|23，又00，|0)个单位长度，得5，0到 yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为12，求 的最小值解(1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6.数据补全如下表：xxAsin(x)0120235712032565213120且函数表达式为 f(x)5sin2x6.(2)由(1)知 f(x)5sin 2x6，得 g(x)5sin2x26.因为 ys
11、inx 的对称中心为(k，0)，kZ Z.k令 2x26k，解得 x212，kZ Z.5k由于函数 yg(x)的图象关于点12，0 成中心对称， 令2125k12，解得 23，kZ Z.由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值6.一、选择题120 xx贵阳监测下列函数中，以2为最小正周期的奇函数是()Aysin2xcos2xCysin2xcos2x答案C解析A 中，ysin2xcos2x 2sin 2x4，为非奇非偶函数，故 A 错；B 中，ysin4x2cos4x，为偶函数，故 B 错；C 中，y4xBysin2Dysin22xcos22x1sin2xcos2x2sin4x，最小正周期为2且
12、为奇函数，故 C 正确；D 中，ysin22xcos22xcos4x ，为偶函数，故 D 错，选 C.2 20 xx唐山统考将函数 y 3cos2xsin2x 的图象向右平移3个单位长度，所得图象对应的函数为 g(x)，则 g(x)()A2sin2xB2sin2xC2cos2x6答案AD2sin2x6解析因为 y 3cos2xsin2x2sin32x2sin(2x3 )，将 其图象向右平移3个单位长度得到g(x) 2sin2x33 2sin(2x)2sin2x 的图象，所以选 A.x3 20 xx武昌调研已知函数 f(x)2sin61(0)的图象向2右平移3个单位后与原图象重合，则 的最小值是
13、()A34C.3答案A2解析将 f(x)的图象向右平移3个单位后得到图象的函数解析式222为 2sin x3612sin x361，所以32k，kZ Z，所以 3k，kZ Z，因为 0，kZ Z，所以 的最小值为 3，故选 A.420 xx沈阳质检某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是()3B.22D.335Aysin6x536Cysin5x526Bysin5x535Dycos6x5答案C解析不妨令该函数解析式为 yAsin(x)(0)，由图知 AT352561，44312，于是3，即 5，3是函数的图象递减时63经过的零点，于是532k，kZ Z，所以 可以是5，选 C.3，5 20
14、xx广州模拟已知 sin5， 且 2， 函数 f(x)sin(x)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2， 则 f4的值为 ()3A53C.5答案B解析由函数 f(x)sin(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2， 得到其最小正周期为 ， 所以 2， f4sin24 4cos 1sin 5.24B54D.5620 xx重庆测试设 x0为函数 f(x)sinx 的零点，且满足|x0|1fx0233，则这样的零点有()A61 个C65 个答案CB63 个D67 个解析依题意，由 f(x0)sinx00 得，x0k，kZ Z，x0k，11 kZ Z.当 k 是奇数时，fx02sink2s
15、ink21，|x0| 1fx02|k|133，|k|34，满足这样条件的奇数k 共有 34 个；当111 k 是偶数时，fx02sink2sink21，|x0|fx02|k| 133，|k|32，满足这样条件的偶数k 共有 31 个综上所述，满足题意的零点共有 343165 个，选 C.二、填空题7函数 f(x)sin(x)(xR )0，|2的部分图象如图所示，如果 x1，x26，3，且 f(x1)f(x2)，则 f(x1x2)_.3答案263T解析由题图可知，则 T， 2， 又22362，12，f(x)的图象过点12，1，即 sin 212 1，得 3，f(x)sin 2x3.2 2 而 x
16、1x2636，f(x1x2)f6sin63sin3 32.820 xx贵阳监测为得到函数 ysinx3的图象，可将函数 ysinx 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移 n 个单位长度(m，n 均为正数)，则|mn|的最小值是_2答案3解析由题意可知，m32k1，k1为非负整数，n32k2，2k2为正整数，|mn|32k1k2，当 k1k2时，|mn|min23.920 xx湖南岳阳质检已知函数 f(x)sin x4的图象向左平移6个单位后与函数 g(x)sinx6的图象重合， 则正数 的最小值为_23答案2解析将 f(x)sinx4的图象向左平移6个单位后，得到函数f1(x)sinx6
17、4的图象(x4的图象与 g(x)sin x )的图象重合，又 f1(x)sin 661故 x642kx6， kZ Z.所以 12k2(kZ Z) 又 0，123故当 k1 时， 取得最小值，为 1222.三、解答题1020 xx山东高考已知向量 a a(m，cos2x)，b b(sin2x，n)，函2数 f(x)a ab b，且 yf(x)的图象过点12， 3和点3，2.(1)求 m，n 的值；(2)将 yf(x)的图象向左平移 (0)个单位后得到函数 yg(x)的图象， 若 yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间解(1)由题意知 f(x)a
18、ab bmsin2xncos2x.2因为 yf(x)的图象过点12， 3 和3，2，3msin6ncos6，所以442msin3ncos3，即312m22n，(2)由(1)知1332m2n，m 3，解得n1.f(x) 3sin2xcos2x2sin2x6.由题意知 g(x)f(x)2sin 2x26.设 yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知 x2011，所以 x00，即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2)将其代入 yg(x)得 sin 261，因为 0，所以 6，因此 g(x)2sin 2x22cos2x.由 2k2x2k，kZ Z 得 k2xk，kZ Z，所
19、以函数 yg(x)的单调递增区间为 k2，k，kZ.Z.111 20 xx天津五区县调考已知函数f(x) 3sinxcosxcos x2(x2R R)(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)函数 f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向右平移6个单位长度，得到 g(x)的图象，求函数 yg(x)在 x0，上的最大值及最小值131解(1)f(x) 3 sinxcosx cos x 22sin2x 2cos2x 2sin2x6由 2k22x62k2得 k6xk3(kZ Z)，所以函数 f(x)的单调递增区间为k6，k3(kZ Z)(2)函数 f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到
20、原来的 2 倍，再向右平移6个单位，得 g(x)sin x3，2因为 x0，得：x33，3，3所以 sinx3，123所以当 x0 时，g(x)sin x3有最小值2，5当 x6时，g(x)sinx3有最大值 1.11220 xx福建质检已知函数 f(x)sinxcosx2cos2x.(1)若 tan2，求 f()的值；(2)若函数 yg(x)的图象是由函数 yf(x)的图象上所有的点向右平移4个单位长度而得到，且 g(x)在区间(0，m)内是单调函数，求实数 m 的最大值解(1)因为 tan2，11所以 f()sincos2cos2sincos2(2cos21)sincoscos21sincoscos21tan1112sin2cos22tan21210.(2)由已知得f(x)1sin2x1222cos2x2sin2x4.依题意，得 g(x)2 2sin2x44，即 g(x)22sin2x4.因为 x(0，m)，所以 2x44，2m4.又因为 g(x)在区间(0，m)内是单调函数，所以2m42，即m3，故实数 m 的最大值为388.