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1、 坐标系与参数方程 【要点知识】一、坐标系 1。平面直角坐标系中得伸缩变换 设点就是平面直角坐标系中得任意一点,在变换得作用下,点对应到点,我们把称为平面直角坐标系中得坐标伸缩变换,简称伸缩变换、2、极坐标系(1)极坐标系得概念 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点;自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样我们就建立了一个极坐标系。(2)极坐标 设点就是平面内一点,极点与点得距离叫做点得极径,记为;以极轴为始边,射线为终边得叫做点得极角,记为。我们把有序数对叫做点得极坐标,记为、(3)极径、极角得取值范围 一般地,极径,极
2、角、。极坐标与直角坐标之间得互化 如图所示,设点就是平面内任意一点,记点得直角坐标为,极坐标为、我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系:()直角坐标化极坐标:,;()极坐标化直角坐标:,()、【注】上面两类关系式就是我们进行极坐标与直角坐标互化得重要关系式、解题时,大家要根据题意灵活选用、4、几个简单曲线得极坐标方程()圆得极坐标方程:圆心在(),半径为得圆得极坐标方程为;(2)直线得极坐标方程:经过极点,从极轴到直线得角就是得直线得极坐标方程为与、5、柱坐标系与球坐标系(1)柱坐标系 如图所示,建立空间直角坐标系,设点就是空间中任意一点,它在平面上得射影为点,用(,)表示点在平面上得极坐标
3、,这时点得位置可用有序数组()表示。我们把建立上述对应关系得坐标系叫做柱坐标系;相应地,把有序数组叫做点得柱坐标,记作,其中,、【注】直角坐标与柱坐标互化得变换公式:(2)球坐标系 如图所示,建立空间直角坐标系,设点就是空间中任意一点,连结,记,与轴正向所夹得角为,设点在平面上得射影为点,轴按逆时针方向旋转到时所转过得正角为,这样点得位置就可以用有序数组表示、我们把建立上述对应关系得坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系);相应地,把有序数组叫做点得球坐标,记作,其中,、【注】直角坐标与球坐标互化得变换公式:二、参数方程、参数方程得概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点得坐标,都就是
4、某个变数得函数,并且对于得每一个允许值,由方程组所确定得点都在这条曲线上,那么我们就把方程组叫做这条曲线得参数方程,而把联系变数,得变数叫做参变数,简称参数、2。参数方程与普通方程之间得互化 曲线得参数方程与普通方程就是曲线方程得两种不同形式、一般地,可以通过消去参数,由参数方程得到普通方程;反之,如果已知变数,中得一个与参数得关系,例如,则我们可以通过把它代入普通方程,求出另一个变数与参数得关系,由此得到得方程组就就是该曲线得参数方程、【注】在解决参数方程与普通方程互化得问题时,必须要使,得取值范围保持一致。3、几个简单曲线得参数方程(1)圆得参数方程:圆心在原点,半径为得圆得参数方程为(为参数);(2)椭圆得参数方程:中心在原点,焦点在轴上得椭圆得参数方程为(为参数);(3)双曲线得参数方程:中心在原点,焦点在轴上得双曲线得参数方程为(为参数),这里,就是得正割函数,并且;(4)抛物线得参数方程:以原点为顶点,以轴为对称轴,开口向右得抛物线()(不包括原点)得参数方程为(为参数);(5)直线得参数方程:过点,倾斜角为()得直线得参数方程为(为参数);(6)渐开线得参数方程:(为参数);()摆线得参数方程:(为参数)。