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1、第 5 讲 等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。知识梳理讲解用时：20分钟 B C 等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。2、等腰三角形的性质：（1）等
2、腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）A 课堂精讲精练【例题 1】如图，点 D、E在ABC的 BC边上，AB=AC，AD=AE 求证：BD=CE 等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边
3、三角形。2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.A B C【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A 作 BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及 BC的中点，线段相减即可得证证明：如图，过点A作 AP BC于 PAB=AC，BP=PC；AD=AE，DP=PE，BP DP=PC PE，BD=CE 讲解
4、用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】如图，在 ABC 中，AB=AC，AD是 BC边上的高，过点 C作 CE AB交 AD的延长线于点 E，求证：CE=AB【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到 BAE=CAE，再根据平行线的性质，得到 E=CAE，最后根据等量代换即可得出结论证明：AB=AC，AD是 BC边上的高，BAE=CAE CE AB，E=BAE E=CAE CE=
5、AC AB=AC，CE=AB 讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 2】如图，在 ABC中，AB=AC，点 D，点 E分别是 BC，AC上一点，且 DE AD 若BAD=55，B=50，求 DEC 的度数【答案】115【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到C=50，进而得到BAC=80，由 BAD=55，得到 DAE=25，由 DE AD，进而求出结论解：
6、AB=AC，B=C，B=50，C=50，BAC=180 5050=80，BAD=55，DAE=25，DE AD，ADE=90，DEC=DAE+ADE=115 讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和 15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得
7、到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验解：如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，AD=DC，AB=AC，2AD+AD=6cm，AD=2cm，AB=4cm，BC=13cm，AB+AC BC，不能构成三角形，故舍去；如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，AB+AC BC，AB AC BC，能构成三角形，腰长为 10cm，底边为 1cm 故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各
8、种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】如图，在 ACB 中，AC=BC，AD为ACB的高线，CE为ACB 的中线求证：DAB=ACE【答案】DAB=ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可证明：AC=BC，CE为ACB的中线，CAB=B，CE AB，CAB+ACE=90，AD为ACB的高线，D=90 DAB+B=90，DAB=ACE.讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.
9、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】如图，在ABC中，AB=AC，AD是 BC边上的中线，E是 AC 边上的一点，且CBE=CAD 求证：BE AC【答案】BE AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD BC，再得出 CBE+C=90 证明：AB=AC，AD是 BC边上的中线，AD BC，CAD+C=90，又 CBE=CAD，CBE+C=90，BE AC 讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度：3 适应场景：当堂练习例
10、题来源：无年份：2018【例题 4】如图所示，已知 ABC 中，AB=AC，BAD=30，AD=AE，求 EDC的度数【答案】15【解析】可以设 EDC=x，B=C=y，根据 ADE=AED=x+y，ADC=B+BAD即可列出方程，从而求解解：设 EDC=x，B=C=y，AED=EDC+C=x+y，又因为 AD=AE，所以 ADE=AED=x+y，则ADC=ADE+EDC=2x+y，又因为 ADC=B+BAD，所以 2x+y=y+30，解得 x=15所以 EDC 的度数是 15讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角 正确确定相等关系列出方程是解题的关键教学建议：
11、熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】在ABC 中，AB=AC，AD BC，BAD=40，AD=AE，求 CDE 的度数【答案】20【解析】根据等腰三角形的性质得到CAD=BAD=40，由于 AD=AE，于是得到 ADE=70，根据三角形的内角和即可得到CDE=90 70=20解：AB=AC，AD BC，CAD=BAD=40，ADC=90，又AD=AE，ADE=70，CDE=90 70=20讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键教学建
12、议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】如图，在 ABC 中，AB=AC，D为 BC上一点，B=30，连接 AD（1）若 BAD=45，求证：ACD 为等腰三角形；（2）若 ACD 为直角三角形，求 BAD的度数【答案】（1）ACD为等腰三角形；（2）60或 30【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出B=C=30，根据三角形内角和定理求出 BAC=120，求出 CAD=ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：当 ADC=90 时，当 CAD=90 时，求出即可（1）证明：AB=AC，B=30
13、，B=C=30，BAC=180 3030=120，BAD=45，CAD=BAC BAD=120 45=75，ADC=B+BAD=75，ADC=CAD，AC=CD，即ACD 为等腰三角形；（2）解：有两种情况：当ADC=90 时，B=30，BAD=ADC B=9030=60；当 CAD=90 时，BAD=BAC CAD=120 90=30；即BAD 的度数是 60或 30讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：
14、无年份：2018【练习 5.1】如图，ABC 中 BA=BC，点 D是 AB延长线上一点，DF AC于 F交 BC于 E，求证：DBE 是等腰三角形【答案】DBE 是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到A=C，再根据等角的余角相等得 FEC=D，同时结合对顶角相等即可证明DBE 是等腰三角形证明：在 ABC 中，BA=BC，BA=BC，A=C，DF AC，C+FEC=90，A+D=90，FEC=D，FEC=BED，BED=D，BD=BE，即DBE 是等腰三角形讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性
15、质来判定三角形是否为等腰三角形教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】如图：已知等边 ABC 中，D是 AC的中点，E是 BC延长线上的一点，且CE=CD，DM BC，垂足为 M，求证：M是 BE的中点【答案】M是 BE的中点【解析】要证 M是 BE的中点，根据题意可知，证明BDE 为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证证明：连接 BD，在等边 ABC，且 D是 AC的中点，DBC=ABC=60=30，ACB=60，CE=CD，CDE=E，ACB=CDE+E，E=30，DBC=E=30，BD=ED，BDE 为等腰
16、三角形，又DM BC，M是 BE的中点讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60的知识辅助线的作出是正确解答本题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】如图，等边三角形 ABC中，D为 AC上一点，E为 AB延长线上一点，DE AC交 BC于点 F，且 DF=EF（1）求证：CD=BE；（2）若 AB=12，试求 BF的长【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作 DM AB，交 CF于 M，可得 CDM
17、为等边三角形，再判定 DMFEBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据 ED AC，A=60=ABC，可得 E=BFE=DFM=FDM=30，由此得出 CM=MF=BF=BC，最后根据 AB=12即可求得 BF的长解：（1）如图，作 DM AB，交 CF于 M，则 DMF=E，ABC 是等边三角形，C=60=CDM=CMD，CDM 是等边三角形，CD=DM，在DMF 和EBF中，DMF EBF（ASA），DM=BE，CD=BE；（2）ED AC，A=60=ABC，E=BFE=DFM=FDM=30，BE=BF，DM=FM，又 DMF EBF，MF=BF，CM=MF
18、=BF，又AB=BC=12，CM=MF=BF=4讲解用时：5 分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图所示，BO平分 CBA，CO平分 ACB，过 O作 EFBC，若 AB=12，AC=8，求AEF的周长【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得OBE=OBC，OCF=OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得OBC=BOE，
19、OCB=COF，然后求出 OBE=BOE，OCF=COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证解：BO平分 CBA，EBO=OBC，CO 平分 ACB，FCO=OCB，EF BC，EOB=OBC，FOC=OCB，EBO=EOB，FOC=FCO，BE=OE，CF=OF，AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，AB=12，AC=8，CAEF=12+8=20 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等
20、腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】在ABC 中，AB=AC，DE BC，若 M为 DE上的点，且 BM平分 ABC，CM 平分 ACB，若ADE 的周长为 20，BC=8，求 ABC 的周长【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC 把求ABC 的周长转化为 ADE的周长+BC边的长解：BM平分 ABC，ABM=CBM，DE BC，CBM=DMB，ABM=DMB，DB=DM同理可证 EM=CE AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE ADE
21、的周长为 20 AB+AC=20 ABC 的周长=AB+AC+BC=20+8=28答：ABC的周长为 28讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将ABC的周长转化为 ADE的周长+BC边的长教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 8】如图，D为等边三角形 ABC内一点，将 BDC绕着点 C旋转成 AEC，则CDE 是怎样的三角形？请说明理由【答案】CDE 是等边三角形【解析】因为 ABC 为等边三角形，所以 BDC绕着
22、点 C旋转 60成 AEC，则DCE=60，DC=EC，故可判定 CDE 是等边三角形解：CDE 是等边三角形理由：ABC 为等边三角形，ACB=60 将 BDC 绕着点 C旋转成 AEC，旋转角为 60DCE=60 DC=EC CDE 是等边三角形讲解用时：3 分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题 考查学生综合运用数学知识的能力教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 8.1】已知，如图，ABC 是正三角形，D，E，F 分别是各边上的一点，且 AD=BE=CF请你说明 DEF
23、是正三角形【答案】DEF是正三角形【解析】根据等边 ABC中 AD=BE=CF，证得 ADE BEF CFD即可得出DEF是等边三角形解：ABC 为等边三角形，且AD=BE=CF，AE=BF=CD，又 A=B=C=60，ADE BEF CFD（SAS），DF=ED=EF，DEF是等边三角形讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出 ADE BEF CFD 是解答此题的关键教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业 1】如图，D，E在ABC的边 BC上，AB
24、=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定 ABEACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD 解：BE=CD 理由如下：AB=AC，AD=AE，B=C，ADE=AED 在ABE与ACD 中，ABE ACD，BE=CD 故答案为 CD 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】如图，已知 BAC=60，D是 BC边上一点，AD=CD，ADB=80，求B的度数【答案】80【解析】先根据三角形外角的性质求出C 的度数，再根据三角形内角和定理即可得出 B的度数
25、解：ADB=80 又AD=CD DAC=C=40，B=180 BAC C=1806040=80讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】已知：如图，AB=BC，A=C 求证：AD=CD【答案】AD=CD【解析】连接 AC，根据等边对等角得到 BAC=BCA，因为A=C，则可以得到CAD=ACD，根据等角对等边可得到AD=DC 证明：连接 AC，AB=BC，BAC=BCA BAD=BCD，CAD=ACD AD=CD 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，在 ABC中，ABC、ACB的平分线相交于F，过 F
26、作 DE BC，分别交AB、AC于点 D、E判断 DE=DB+EC 是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据 BF和 CF分别平分 ABC和ACB，和 DE BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC 然后即可得出答案解：DE=DB+EC成立理由如下：在 ABC中，FB和 FC分别平分 ABC 和ACB，DBF=FBC，ECF=FCB，DE BC，DFB=FBC=DBF，EFC=FCB=ECF，DB=DF，FE=EC，DE=DF+FE，DE=BD+EC讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】如图，等边 ABC 中，点 D在延长线上，CE平分 ACD，且 CE=BD 说明：ADE 是等边三角形【答案】ADE 是等边三角形【解析】由条件可以容易证明 ABD ACE，进一步得出 AD=AE，BAD=CAE，加上 DAE=60，即可证明 ADE为等边三角形证明：ABC 为等边三角形，B=ACB=60，AB=AC，即ACD=120，CE平分 ACD，ACE=DCE=60，在ABD 和ACE中，ABD ACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，又 BAC=60，DAE=60，ADE 为等边三角形讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018