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1、 第1页（共23页）2017 年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求 1（5 分）若复数 z 满足（3+4i)z=25，则复平面内表示 z 的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2（5 分）已知集合 A=x|x2x0，则（)AAB=BAB=R CB A DA B 3（5 分)若函数，则 f（f（2)）=(）A1 B4 C0 D5e2 4（5 分）一个几何体的三视图如图所示,则其体积为（)A+2 B2+4 C+4 D2+2 5(5 分）在ABC 中,B=90
2、，则=（）A1 B1 C D4 6(5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S4=4，S6=6，则 S5=（)A1 B0 C2 D4 7（5 分）已知双曲线的右顶点为 A,过右焦点 F 的直线 l 与 C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B,则 SABF=（)A B C D 第2页（共23页）8（5 分）二项式（xa）7的展开式中,含 x4项的系数为280,则dx=（）Aln2 Bln2+1 C1 D 9（5 分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图,若输入的 n 为 6 时，输出结果为 2.45，则 m 可以是（）A0.6 B0.1 C0。01 D
3、0.05 10(5 分）已知 0，将函数 f(x）=cosx 的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 的最小值是(）A B3 C D 11(5 分）在一次比赛中某队共有甲,乙，丙等 5 位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A B C D 12（5 分）已知 ab0，ab=ba，有如下四个结论：be；be;a，b 满足 abe2；abe2 则正确结论的序号是(）A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上 第3页（共23页）13(5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最小值是
4、14(5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，且,若 a4=32，则 a1=15（5 分)已知抛物线 C：y2=2px（p0)的焦点为 F,，抛物线 C 上的点 B 满足 ABAF,且BF|=4，则 p=16（5 分）在三棱锥 PABC 中，PA，PB,PC 两两互相垂直，且 AB=4，AC=5，则BC 的取值范围是 三、解答题：本大题共 70 分，其中 1721 题为必考题，22、23 题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12 分）已知ABC 的内角 A,B，C 的对边分别为 a,b,c,a2+b2=ab（1）若,，求 sinA；（2)若=4,AB 边上的高为，求 C
5、 18（12 分）某市春节期间 7 家超市的广告费支出 xi(万元）和销售额 yi（万元）数据如下：超市 A B C D E F G 广告费支出 xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额 yi 19 32 40 44 52 53 54（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）用二次函数回归模型拟合 y 与 x 的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的 R2分别约为 0。75 和 0.97，请用 R2说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测 A 超市广告费支出为 8 万元时的销售额 参 数 数 据 及 公 式：,，第4页
6、（共23页）,ln20。7 19(12 分）如图,三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 ABC，ACB=90，AC=CB=2，M、N 分别是 AB、A1C 的中点（1)求证：MN平面 BB1C1C；（2）若平面 CMN平面 B1MN，求直线 AB 与平面 B1MN 所成角的正弦值 20（12 分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O 为坐标原点（1）求椭圆 C 的方程;（2）已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形,证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值 21（12 分）已知函数 f（x）=sinx+tanx2x（1）证明:函数 f（x）在(,）
7、上单调递增；（2)若 x（0，)，f（x）mx2，求 m 的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22(10 分)已知直线 l 的参数方程为（t 为参数，0）,以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=1,l与 C 交于不同的两点 P1，P2(1）求 的取值范围；（2）以 为参数，求线段 P1P2中点轨迹的参数方程 第5页（共23页）23已知 x，y（0，+）,x2+y2=x+y（1）求的最小值;(2）是否存在 x，y,满足（x+1)（y+1）=5?并说明理由 2017 年河北省唐山市高考数学一模试卷(理科)参考答案
8、与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题,每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求 1（5 分）(2017唐山一模）若复数 z 满足(3+4i）z=25,则复平面内表示 z 的点位于(）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：(3+4i）z=25，(34i）（3+4i）z=25（34i)，z=34i 则复平面内表示 z 的点（3，4)位于第四象限 故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2（5 分）(2017唐山一模）已知集合 A=x|x
9、2x0，则（）AAB=BAB=R CB A DA B【分析】先分别求出集合A 和 B,由此得到 AB=R【解答】解：集合 A=xx2x0=x|x1 或 x0，,AB=x或 1x，AB=R 第6页（共23页）故选：B【点评】本题考查并集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题,注意并集、交集定义的合理运用 3(5 分）（2017唐山一模）若函数，则 f(f（2）=（)A1 B4 C0 D5e2【分析】由函数的解析式先求出 f（2)的值，再求出 f（f(2）的值【解答】解：由题意知，则 f（2）=54=1,f(1)=e0=1，所以 f（f（2）)=1,故选 A【点评】本题考查分段函数的函数值
10、,对于多层函数值应从内到外依次求值,注意自变量的范围，属于基础题 4（5 分）（2017唐山一模）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为(）A+2 B2+4 C+4 D2+2【分析】由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，由图中数据，可得体积【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+=+2，故选 A 第7页（共23页）【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键 5(5 分）（2017唐山一模）在ABC 中，B=90，,则=（）A1 B1 C D4【分析】根据平面向量的三角形法则求出,再由得出=0，列出方程求出 的值【解答】解：A
11、BC 中，,，=（2，+2），又B=90，=0，即 22(+2)=0，解得=1 故选：A【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题目 6(5 分）（2017唐山一模)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S4=4，S6=6，则 S5=(）A1 B0 C2 D4【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为 d,S4=4，S6=6,d=4，d=6，解得 a1=4，d=2 则 S5=5（4）+2=0,故选：B【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第8页（共23页）7（5 分)(2017唐山一模）已知双曲线的右顶
12、点为 A，过右焦点 F的直线 l 与 C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点 B，则 SABF=(）A B C D【分析】根据题意，由双曲线的方程可得 a、b 的值，进而可得 c 的值,可以确定A、F 的坐标，设 BF 的方程为 y=（x2），代入 y=x，解得 B 的坐标，由三角形的面积公式，计算可得答案【解答】解:由双曲线，可得 a2=1，b2=3，故 c=2,A（1，0），F(2，0），渐近线方程为 y=x,不妨设 BF 的方程为 y=（x2)，代入方程 y=x，解得：B（1，）SAFB=AF|yB|=1=故选：B【点评】本题考查双曲线方程的运用,注意运用渐近线方程，关键求出 B 的坐
13、标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算 8（5 分）（2017唐山一模）二项式（xa）7的展开式中，含 x4项的系数为280，则dx=（)Aln2 Bln2+1 C1 D【分析】在（xa）7的展开式的通项中,令 x 的指数为 4，求出 r 值，再表示出x4项的系数，解关于 a 的方程即可求出 a，利用定积分可得结论【解答】解：（xa）7的展开式的通项为（1）r a r C7rx7r，令 7r=4 得 r=3,第9页（共23页）展开式中 x4项的系数（1)3 a3C73=35a3=280，a=2,dx=lnx=1 故选：C【点评】本题考查二项式定理的应用，解
14、决指定项的系数问题 牢记定理是前提，准确计算是关键 9（5 分）(2017唐山一模）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图,若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是(）A0。6 B0。1 C0。01 D0。05【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行，可得：|2。53m，且2。452.5m，解得 m 的取值范围，比较各个选项即可得解【解答】解:模拟程序的运行，可得 n=6，a=3 b=2.5，不满足条件|bam，执行循环体，a=2.5,b=2。45，由题意,此时应该满足条件|ba|m，退出循环，输出 b 的值为 2.45 可得：|2。53m，且|2。4
15、52.5|m,解得:0。05m0。5，第10页（共23页）故选：B【点评】本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题 10（5 分）（2017唐山一模）已知 0,将函数 f（x）=cosx 的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 的最小值是(）A B3 C D【分析】利用诱导公式化简和同名函数,根据三角函数平移变换规律,建立关系 即可求 的最小值【解答】解：由函数 f（x）=cosx=sin（x)图象向右平移个单位后得到：sin（），由题意可得：,（kZ)解得：，0，当 k=0 时，的值最小值为 故选 A【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+
16、）的图象变换规律，属于基础题 11（5 分)（2017唐山一模）在一次比赛中某队共有甲,乙,丙等 5 位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A B C D【分析】先求出基本事件总数 n=120，再求出乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数 m=+AA=24,由此能求出乙、丙都不与甲相邻出场的概率【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等 5 位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，第11页（共23页）基本事件总数 n=120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数 m=+=24，乙、丙都不与甲相邻出场的概率 p=故选：B【点评】本题考查概率的
17、求法，是中档题，解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用 12（5 分)（2017唐山一模)已知 ab0,ab=ba，有如下四个结论：be；be；a，b 满足 abe2；abe2 则正确结论的序号是（）A B C D【分析】根据题意，得出=，f（x）=，x0,利用导数判断 0 xe时 f（x）增,xe 时 f(x）减；x=e 时 f(x）取得最大值；根据 f（a）=f（b）得出 aeb，判断正确错误；由eb 得出 f（b)f（）且 f（a）f(），即 abe2,判断正确错误【解答】解：ab0,ab=ba，blna=alnb,=,设 f（x）=,x0，f（x）=,当 0 xe 时,
18、f（x）0，函数 f（x）单调递增，当 xe 时，f(x）0，函数 f(x）单调递减，当 x=e 时，f（x）max=f(e)=;f（a）=f（b），aeb0,正确，错误；第12页（共23页）eb,f（b)f（），f（a）f（），ae，abe2，正确，错误；综上，正确的命题是 故选：C【点评】本题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 13(5 分）（2017唐山一模）若变量 x，y 满足约束条件,则 z=x+y 的最小值是 2 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式
19、，数形结合定点最优解,联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得 A（1，1）,化目标函数 z=x+y 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 第13页（共23页）11=2 故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题 14(5 分）(2017唐山一模）设数列an的前 n 项和为 Sn，且,若 a4=32，则 a1=【分析】利用，a4=32，可得=32，即可得出结论【解答】解：，a4=32，=32，a1=，故答案为【点评】本题考
20、查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础 15(5分）（2017唐山一模）已知抛物线C:y2=2px(p0）的焦点为F,抛物线 C 上的点 B 满足 ABAF，且|BF=4，则 p=2 或 6 【分析】求出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，求出 B 的横坐标，利用抛物线的定义,即可得出结论【解答】解：由题意,kAF=,直线 AB 的方程为 y=x+，代入 y2=2px，可得 p2x212px+36=0,x=，|BF=4，+=4，p=2 或 6，第14页（共23页）故答案为 2 或 6【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题 16(5 分）（2017唐
21、山一模）在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，且 AB=4，AC=5,则 BC 的取值范围是（1，)【分析】如图设 PA、PB、PC 的长分别为 a、b、c，BC=m由 PA，PB，PC 两两互相垂直，得 a2+b2=16，a2+c2=25，b2+c2=m2m2=412a2，在ABC 中,1m【解答】解：如图设 PA、PB、PC 的长分别为 a、b、c，BC=mPA，PB，PC两两互相垂直，a2+b2=16，a2+c2=25,b2+c2=m2m2=412a2 在ABC 中，1m 故答案为（1，）【点评】本题考查了空间位置关系,关键是把空间问题转化为平面问题,属于中档题 三、解
22、答题：本大题共 70 分,其中 1721 题为必考题，22、23 题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(12 分）（2017唐山一模)已知ABC 的内角 A,B，C 的对边分别为 a，b，c,a2+b2=ab 第15页（共23页）（1)若，求 sinA；（2）若=4，AB 边上的高为，求 C【分析】（1）由已知结合正弦定理得:，结合范围可求，即可得解sinA 的值（2)由题意及三角形面积公式可求，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得,结合范围，可求 C的值【解 答】解：(1）由 已 知，结 合 正 弦 定 理得:，于是 因为，所以，可得（2)由题意可知，得：从而有：，
23、即,又因为，所以，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18（12 分）(2017唐山一模）某市春节期间 7 家超市的广告费支出 xi（万元)和销售额 yi（万元）数据如下:第16页（共23页）超市 A B C D E F G 广告费支出 xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额 yi 19 32 40 44 52 53 54（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）用二次函数回归模型拟合 y 与 x 的关系,可得回归方程：，经计
24、算二次函数回归模型和线性回归模型的 R2分别约为 0。75 和 0。97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测 A 超市广告费支出为 8 万元时的销售额 参 数 数 据 及 公 式：,，,ln20。7【分析】（1）求出回归系数，可得 y 关于 x 的线性回归方程；（2）对数回归模型更合适当 x=8 万元时,预测 A 超市销售额为 47.2 万元【解答】解：（1），所以，y 关于 x 的线性回归方程是（2）0。750。97，对数回归模型更合适 当 x=8 万元时，预测 A 超市销售额为 47.2 万元【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，比较基础 19（12 分）(20
25、17唐山一模）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 ABC,ACB=90，AC=CB=2，M、N 分别是 AB、A1C 的中点（1）求证：MN平面 BB1C1C；（2）若平面 CMN平面 B1MN，求直线 AB 与平面 B1MN 所成角的正弦值 第17页（共23页）【分析】（1）连接 AC1，BC1，则 NAC1且 N 为 AC1的中点，证明：MNBC1,即可证明 MN平面 BB1C1C;（2）以 C 为原点，分别以 CB，CC1,CA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 B1MN，即可求直线 AB 与平面 B1MN 所成角的正弦值【解答】（1）
26、证明：连接 AC1，BC1，则 NAC1且 N 为 AC1的中点，又M 为 AB 的中点，MNBC1，又 BC1 平面 BB1C1C,MN平面 BB1C1C，故 MN平面 BB1C1C(4 分)（2）解:由 A1A平面 ABC,得 ACCC1，BCCC1 以 C 为原点,分别以 CB，CC1，CA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 CC1=2（0），则 M（1，0，1），N（0，1）,B1（2,2,0）,，=（1，0），取平面 CMN 的一个法向量为，第18页（共23页）由,得：，令 y=1，得，同理可得平面 B1MN 的一个法向量为,平面 CMN平面 B1M
27、N，解得,得，又，设直线AB 与平面 B1MN 所成角为，则 所以,直线 AB 与平面 B1MN 所成角的正弦值是【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角,考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题 20（12 分）（2017唐山一模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O 为坐标原点（1）求椭圆 C 的方程;（2）已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值,并求该定值【分析】(1)由椭圆的离心率得出 a、c 的关系,再由 a、b、c 的平方关系,把点 Q 的坐标代入椭圆 C 的方程，求出 b、a 的值，写
28、出椭圆 C 的方程；（2)讨论直线 PN 的斜率 k 不存在和斜率 k 存在时，分别计算四边形 OPMN 的面积 S，即可得出四边形 OPMN 的面积为定值【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，=第19页（共23页），a2=2b2；将 Q 代入椭圆 C 的方程，得+=1，解得 b2=4，a2=8,椭圆 C 的方程为；(2）当直线 PN 的斜率 k 不存在时,PN 方程为：或，从而有，所以四边形 OPMN 的面积为；当直线 PN 的斜率 k 存在时，设直线 PN 方程为：y=kx+m（m0），P（x1，y1），N（x2，y2）；将 PN 的方程代入 C 整理得:（1+2k2）x2+4kmx+2
29、m28=0,所以,，由得:，将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得：m2=1+2k2;点 O 到直线 PN 的距离为，四边形 OPMN 的面积为 综上，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的 第20页（共23页）应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目 21（12 分）（2017唐山一模）已知函数 f（x）=sinx+tanx2x(1）证明：函数 f（x）在（，）上单调递增;（2)若 x（0,），f（x）mx2，求 m 的取值范围【分析】（1）利用导函数的性质证明即可（2)利用导函数求解 x（0，
30、），对 m 进行讨论，构造函数思想，结合导函数的单调性，求解 m 的取值范围【解答】解：（)函数 f（x）=sinx+tanx2x 则，cosx（0，1,于是（等号当且仅当x=0 时成立）故函数 f（x）在上单调递增（)由（）得 f（x）在上单调递增，又 f（0）=0，f（x)0,（）当 m0 时，f（x）0mx2成立（）当 m0 时,令 p（x）=sinxx，则 p（x）=cosx1，当时，p（x）0，p（x）单调递减，又 p（0）=0，所以 p（x）0，故时，sinxx（*）由(）式可得 f（x)mx2=sinx+tanx2xmx2tanxxmx2，令 g(x)=tanxxmx2,则 g（
31、x）=tan2x2mx 由（）式可得，第21页（共23页）令 h（x）=x2mcos2x,得 h(x）在上单调递增，又 h（0)0，存在 使得 h(t)=0，即 x(0，t）时，h（x)0，x（0，t)时，g（x）0，g(x）单调递减，又g（0）=0，g(x）0，即 x(0，t)时，f（x）mx20,与 f（x)mx2矛盾 综上，满足条件的 m 的取值范围是（,0【点评】本题主要考查导函数的性质来解决三角函数的问题，构造函数,利用导函数求单调性讨论m 解决本题的关键属于难题 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。22（10 分）（2017唐山一模）已知直线
32、l 的参数方程为（t 为参数，0），以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为=1，l 与 C 交于不同的两点 P1，P2（1）求 的取值范围；（2)以 为参数,求线段 P1P2中点轨迹的参数方程【分析】（1）求解曲线 C 的直角坐标方程，将直线 l 的参数方程（t为参数,0），带入,得到关于 t 的一元二次方程的关系式，由题意判别式大于 0，可得 的取值范围(2）利用参数的几何意义即可求线段 P1P2中点轨迹的参数方程【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为=1，根据 2=x2+y2可得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=1,将代入 x2+y2=1
33、 得 t24tsin+3=0（*)由 16sin2120，得，又 0，所求 的取值范围是;（)由（1)中的（）可知，代入中，第22页（共23页）整理：得 P1P2的中点的轨迹方程为（为参数,）故 得 线 段 P1P2中 点 轨 迹 的 参 数 方 程 为 为（为 参 数，）【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换和参数方程的几何意义的运用 23（2017唐山一模）已知 x，y（0，+），x2+y2=x+y(1)求的最小值；（2）是否存在 x,y,满足（x+1)（y+1）=5?并说明理由【分析】（1)根据基本不等式的性质求出的最小值即可；（2)根据基本不等式的性质得到（x+1）（y+
34、1）的最大值是 4,从而判断出结论即可【解答】解：（1)，当且仅当 x=y=1 时，等号成立 所以的最小值为 2（2)不存在 因为 x2+y22xy，所以（x+y）22（x2+y2）=2（x+y),（x+y）22（x+y）0，又 x，y（0，+）,所以 x+y2 从而有（x+1）（y+1)=4，因此不存在 x，y，满足(x+1）（y+1）=5【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道中档题 第23页（共23页）参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；zlzhan;gongjy；lcb001；742048；双曲线；w3239003；左杰；sxs123；陈远才；刘老师（排名不分先后）菁优网 2017 年 3 月 16 日