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1、- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形角形 4-74-7 正弦定理和余弦定理学案理正弦定理和余弦定理学案理考纲展示 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题考点 1 利用正、余弦定理解三角形正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式_a sin A_2Ra2_；b2_；c2_续表定理正弦定理余弦定理常见变形(1)a2Rsi
2、n A，b_，c_；(2)sin A，sin B_，sin a 2RC；c 2R(3)abc_；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A_；cos B_；cos C_- 2 - / 15答案： b2c22bccos A c2a22cacos B a2b22abcos C 2Rsin B 2Rsin C sin Asin Bsin C c2a2b2 2ac(1)教材习题改编在ABC 中，已知 a5，b7，c8，则AC( )A90 B120 C135 D150答案：B(2)教材习题改编在ABC 中，已知A60，B75，c20，则 a_.答案：10
3、6解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边(1)在ABC 中，已知 a5，b2，C30，则 c_.答案：7解析：由余弦定理，得 c2a2b22abcos C52(2)2252cos 307，所以 c.(2)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若B，sin A，b，则 a_.答案：6 5解析：由正弦定理，得 a.(3)在ABC 中，已知 abc243，则 cos C_.答案：11 16解析：设 a2k，b4k，c3k(k0)，- 3 - / 15则 cos C.典题 1 2017山师大附中一模设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b
4、sin Aacos B.(1)求角 B 的大小；(2)若 b3，sin C2sin A，求 a，c 的值解 (1)bsin Aacos B，由正弦定理得 sin Bsin Asin Acos B.在ABC 中，sin A0，即得 tan B，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得 c2a，由余弦定理 b2a2c22accos B，即 9a24a22a2acos ，解得 a，c2a2.点石成金 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2三角形解的个数的判断
5、：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin(AB)的值解：(1)由余弦定理，得- 4 - / 15cos B，即 a2c24ac.(ac)22ac4ac，ac9.由得 ac3.(2)在ABC 中，cos B，sin B.由正弦定理，得，sin A.又 AC，0A，cos A，sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.考点 2 利用正弦、余弦定理判定三角形
6、的形状三角形中的角的关系判断误区：角的大小比较的误区；角的个数的误区(1)在ABC 中，若 sin Asin B，则 A 与 B 的大小关系是_答案：AB解析：由正弦定理，得 sin A，sin B.若 sin Asin B，则，即 ab，故 AB.(2)在ABC 中，若 A60，a4，b4，则 B 等于_答案：45解析：由正弦定理，有，则 sin B.又 ab，所以 AB，故 B45.注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况- 5 - / 15判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径实现：(1)把角的条件转化为边，通过边的关系判断；(2)把边的条件转化
7、为角，通过计算角的大小进行判断典题 2 (1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 2c22a22b2ab，则ABC 是( )B直角三角形A钝角三角形 D等边三角形C锐角三角形 答案 A解析由 2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以 cos C0，所以 90C180，即ABC 为钝角三角形(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为( )B直角三角形A锐角三角形 D不确定C钝角三角形 答案 B解析 依据题设条件的特点，由正弦定理，得 sin Bcos Ccos Bsin Csin2A
8、，有 sin(BC)sin2A，A(0，)，sin A0.从而 sin(BC)sin Asin2A，解得 sin A1，A，故选 B.题点发散 1 若将本例条件改为“若 2sin Acos Bsin C” ，- 6 - / 15那么ABC 一定是( )B等腰三角形A直角三角形 D等边三角形C等腰直角三角形 答案：B解析：解法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即 sin(AB)0，因为0)，由余弦定理可得cos C0，于是有 cos B0，B 为钝角，ABC 是钝角三角形考点 3 与三角形面积有关的问题三角形中常用的面积公式(1
9、)Sah(h 表示边 a 上的高)；- 10 - / 15(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r 为三角形的内切圆半径)教材习题改编在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 a2，b3，SABC，则角 C 的值为_答案：60或 120解析：由 SABCabsin C23sin C，得 sin C，因为C 为三角形 ABC 的内角，所以 C60或 C120.三角形面积公式利用正余弦定理三角形的面积还可以写成：S2R2sin Asin Bsin C，S.典题 3 2017河北衡水模拟如图，在ABC 中，sin ABC，AB2，点 D 在线段
10、AC 上，且 AD2DC，BD.(1)求 BC 的长；(2)求DBC 的面积解 (1)因为 sin ABC，所以 cosABC12.在ABC 中，设 BCa，AC3b，则由余弦定理可得，9b2a24a，在ABD 和DBC 中，由余弦定理可得，cosADB，cosBDC.因为 cosADBcosBDC，所以有，所以 3b2a26.- 11 - / 15由可得，a3，b1，即 BC3.(2)由(1)得ABC 的面积为S232，所以DBC 的面积为.点石成金 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式 Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的
11、问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.2017湖北武汉质量预测在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 a2b2c2bc0,2bsin Aa，BC 边上中线AM 的长为.(1)求角 A 和角 B 的大小；(2)求ABC 的面积解：(1)由 a2b2c2bc0，得b2c2a2bc，cos A，A，由 2bsin Aa，得 ba，BA.(2)设 ACBCx，由余弦定理，得 AM2x22x(1 2)()2，解得 x2，故 SABC222.真题演练集训 12014新课标全国卷钝角三角形 ABC 的面积是，AB1 ，BC，则 AC( )B. A5 - 12 - / 15
12、D1C2 答案：B解析：由题意可得 ABBCsin B，又 AB1 ，BC，所以 sin B，所以 B45或 B135.当 B45时，由余弦定理可得AC1，此时 ACAB1，BC，易得 A90，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去所以 B135.由余弦定理可得AC.22014新课标全国卷已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_答案：3解析：2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C 可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.A
13、BC 中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(当且仅当 bc 时等号成立)，SABCbcsin A4.32016新课标全国卷ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 cos A，cos C，a1，则 b_.答案：21 13- 13 - / 15解析：解法一：因为 cos A，cos C，所以 sin A，sin C，从而 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得 b.解法二：因为 cos A，cos C，所以 sin A，sin C，从而 cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C.由正弦定理，
14、得 c.由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b.解法三：因为 cos A，cos C，所以 sin A，sin C，由正弦定理，得 c.从而 bacos Cccos A.解法四：如图，作 BDAC 于点 D，由 cos C，aBC1，知 CD，BD.又 cos A，所以 tan A，从而 AD.故 bADDC.42016新课标全国卷ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c，ABC 的面积为，求ABC 的周长解：(1)由已知及正弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin
15、 C，2cos Csin(AB)sin C，- 14 - / 15故 2sin Ccos Csin C，C(0，)可得 cos C，所以 C.(2)由已知，absin C.又 C，所以 ab6.由已知及余弦定理，得 a2b22abcos C 7，故 a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5.课外拓展阅读 转化与化归思想在解三角形中的应用典例 2016新课标全国卷ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求 C；(2)若 c，ABC 的面积为，求ABC 的周长审题视角 (1)利用正弦定理进行边角互化求解；(2)
16、利用三角形的面积公式得出 ab，再结合余弦定理联立方程求出 ab，进而求得ABC 的面积解 (1)由已知及正弦定理得，2cos Csin Acos Bsin Bcos Asin C，2cos Csin(AB)sin C故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C，所以 C.(2)由已知，得 absin C.又 C，所以 ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故所以ABC 的周长为 5.满分心得- 15 - / 151(1)题中处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类(2)题中处不能结合余弦定理将(ab)视为整体进行求解而走入误区2转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性