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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形角形 4-64-6 正弦定理余弦定理教师用书理新人教正弦定理余弦定理教师用书理新人教1正弦定理、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra sin Ab sin Bc sin Ca2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin a 2Rb 2RC；
2、c 2R(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；b2c2a2 2bccos B；c2a2b2 2accos Ca2b2c2 2ab2.在ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Ab解的个数一解两解一解一解2 / 173.三角形常用面积公式(1)Saha(ha 表示边 a 上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r 为三角形内切圆半径)【知识拓展】1三角形内角和定理：在ABC 中，ABC；
3、变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(4)cos sin .3三角形中的射影定理在ABC 中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比( )(2)在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB.( )(3)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素( )(4)当 b2c2a20 时，三角形 ABC 为锐角三角形( )(5)在ABC 中，.( )(6)在三角
4、形中，已知两边和一角就能求三角形的面积( )1(2016天津)在ABC 中，若 AB，BC3，C120，则 AC 等于( )3 / 17A1 B2 C3 D4答案 A解析 由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得 AC23AC40，解得AC1 或 AC4(舍去)故选 A.2(教材改编)在ABC 中，A60，B75，a10，则 c 等于( )A5 B102C. D56答案 C解析 由 ABC180，知 C45，由正弦定理得，即，c.3在ABC 中，若 sin Bsin Ccos2，且sin2Bsin2Csin2A，则ABC 是( )A等边
5、三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案 D解析 sin Bsin C，2sin Bsin C1cos A1cos(BC)，cos(BC)1，B、C 为三角形的内角，BC，又 sin2Bsin2Csin2A，b2c2a2，综上，ABC 为等腰直角三角形4(2016辽宁五校联考)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，若 bc2a,3sin A5sin B，则角 C .4 / 17答案 2 3解析 因为 3sin A5sin B，所以由正弦定理可得 3a5b.因为 bc2a，所以 c2aaa.令 a5，b3，c7，则由余弦定理 c2a2b22abcos C，得
6、49259235cos C，解得 cos C，所以 C.5(2016济南模拟)在ABC 中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为 答案 43解析 cos C，00)，a sin A则 aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，变形可得cos A ksin A sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin(C)sin C所以 sin Asin Bsin C.解 由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以 sin A.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos As
7、in B，所以 sin Bcos Bsin B.故 tan B4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式 a，b，c或其他相应变形公式求解(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A，sin B，sin C或其他相应变形公式求解(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解(4)灵活利用式子的特点转化：如出现 a2b2c2ab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理(1)ABC 的三个内角 A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则等于( )6 / 17A2 B22C. D.2(2)在ABC 中，内角
8、 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，已知a2c2b，且 sin(AC)2cos Asin C，则 b 等于( )A6 B4C2 D1答案 (1)D (2)C解析 (1)(边化角)由 asin Asin Bbcos2Aa 及正弦定理，得sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，即 sin Bsin A，所以.故选 D.(2)(角化边)由题意，得 sin Acos Ccos Asin C2cos Asin C，即 sin Acos C3cos Asin C，由正弦、余弦定理，得a3c，整理得 2(a2c2)b2，又 a2c2b，联立得 b2，故选 C.题型二 和三角形面积
9、有关的问题例 2 (2016浙江)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC 的面积 S，求角 A 的大小(1)证明 由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos 7 / 17Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB)又 A，B(0，)，故 0AB，所以 B(AB)或BAB，因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2B.(2)解 由 S，得 absin C，故有 sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos
10、B，由 sin B0，得 sin Ccos B.又 B，C(0，)，所以 CB.当 BC时，A； 当 CB时，A.综上，A或 A.思维升华 (1)对于面积公式 Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC 的面积是( )A3 B.9 32C. D33答案 C解析 c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.8 / 17由得ab60，即 ab6.SABCabsin
11、 C6.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用命题点 1 判断三角形的形状例 3 (1)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若0，所以 cos B0，sin A1，即 A，ABC 为直角三角形引申探究9 / 171例 3(2)中，若将条件变为 2sin Acos Bsin C，判断ABC 的形状解 2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Bsin A，sin(AB)0，又 A，B 为ABC 的内角AB，ABC 为等腰三角形2例 3(2)中，若将条件变为 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C，判断AB
12、C 的形状解 a2b2c2ab，cos C，又 01.角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在5已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，则 B 等于( )A. B. C. D.3 4答案 C解析 根据正弦定理2R，得，即 a2c2b2ac，得 cos B，故 B，故选 C.6ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知b2，B，C，则ABC 的面积为( )A22 B.1C22 D.114 / 17答案 B解析 b2，B，C.由正弦定理，得 c2，A()，sin Asin()sin cos cos sin 3.则 SABCbcsin A221.7(2016全国
13、甲卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A，cos C，a1，则 b .答案 21 13解析 在ABC 中，由 cos A，cos C，可得 sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得 b.8在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角 B 的值为 答案 或2 3解析 由余弦定理，得cos B，结合已知等式得 cos Btan B，sin B，B或.9在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC的面积为 3，bc2，cos A，
14、则 a 的值为 答案 8解析 cos A，0A，sin A，15 / 17SABCbcsin Abc3，bc24，又 bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得 a2b2c22bccos A5222464，a8.*10.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 asin Bbcos A若 a4，则ABC 周长的最大值为 答案 12解析 由正弦定理，可将 asin Bbcos A 转化为 sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC 中，sin B0，sin Acos A，即 tan A.0A，A.由余弦定理得 a216b2c22bccos A(bc)2
15、3bc(bc)23()2，则(bc)264，即 bc8(当且仅当 bc4 时等号成立)，ABC 周长abc4bc12，即最大值为 12.11(2015湖南)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，abtan A.(1)证明：sin Bcos A；(2)若 sin Csin Acos B，且 B 为钝角，求 A，B，C.(1)证明 由正弦定理知2R，a2Rsin A，b2Rsin B，代入 abtan A 得sin Asin B，又A(0，)，sin A0，1，即 sin Bcos A.16 / 17(2)解 由 sin Csin Acos B知，sin(AB)sin Acos B
16、，cos Asin B.由(1)知，sin Bcos A，cos2A，由于 B 是钝角，故 A，cos A，A.sin B，B，C(AB).12(2015陕西)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m(a，b)与 n(cos A，sin B)平行(1)求 A；(2)若 a，b2，求ABC 的面积解 (1)因为 mn，所以 asin Bbcos A0，由正弦定理，得 sin Asin Bsin Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A，由于 0A，所以 A.(2)方法一 由余弦定理，得 a2b2c22bccos A，而由 a，b2，A，得 74c22c，即 c2
17、2c30，因为 c0，所以 c3，故ABC 的面积为 Sbcsin A.方法二 由正弦定理，得，从而 sin B，又由 ab，知 AB，所以 cos B，故 sin Csin(AB)sin(B 3)sin Bcos cos Bsin .所以ABC 的面积为 Sabsin C.*13.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2(bc)17 / 172(2)bc，sin Asin Bcos2，BC 边上的中线 AM 的长为.(1)求角 A 和角 B 的大小；(2)求ABC 的面积解 (1)由 a2(bc)2(2)bc，得 a2b2c2bc，cos A，又 0A，A.由 sin Asin Bcos2 ，得 sin B，即 sin B1cos C，则 cos C0，即 C 为钝角，B 为锐角，且 BC，则 sin(C)1cos C，化简得 cos(C)1，解得 C，B.(2)由(1)知，ab，由余弦定理得 AM2b2()22bcos Cb2()2，解得 b2，故 SABCabsin C22.