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1、- 1 - / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8-98-9 直线直线与圆锥曲线的位置关系课时提升作业理与圆锥曲线的位置关系课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016晋中模拟)已知任意 kR,直线 y-kx-1=0 与椭圆+=1(m0)恒有公共点,则实数 m 的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)【解析】选 C.直线 y=kx+1 过定点(0,1),只要(0
2、,1)在椭圆+=1 上或其内部即可.从而 m1,又因为椭圆+=1 中 m5,所以 m 的取值范围是1,5)(5,+).2.经过椭圆+y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l,交椭圆于 A,B 两点.设O 为坐标原点,则等于 ( )A.-3B.-C.-或-3D.【解析】选 B.依题意,当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y-0=tan45(x-1),即 y=x-1,代入椭圆方程+y2=1 并整理得 3x2-4x=0,解得 x=0 或 x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),所以=-,- 2 - / 12同理,直线 l 经过椭圆的左焦点时,也可得=-.3.设 F1,F2 是
3、椭圆 E:+=1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x=上一点,F2PF1 是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为 ( )A.B.C.D.【解析】选 C.因为F2PF1 是底角为 30的等腰三角形,所以|PF2|=|F2F1|.因为 P 为直线 x=上一点,所以 2=2c,所以 e=.4.设直线 l:2x+y-2=0 与椭圆 x2+=1 的交点为 A,B,点 P 是椭圆上的动点,则使PAB 面积为的点 P 的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 D.直线 l 经过椭圆的两个顶点(1,0)和(0,2),故|AB|=.要使PAB 面积为,即h=,则 h=.联立 y=-2x+m
4、与椭圆方程,得 8x2-4mx+m2-4=0,令 =0,解得 m=2,即平移直线 l 到 y=-2x2 时,与椭圆相切,它们与 l 的距离 d=,均大于,故点 P 有 4 个.5.(2016衡水模拟)设 A,B 为抛物线 y2=2px(p0)上不同的两点,O 为坐标原点,且OAOB,则OAB 面积的最小值为 ( )A.p2B.2p2C.4p2D.6p2【解析】选 C.当直线 AB 的斜率存在时,- 3 - / 12设直线 AB 方程为 y=kx+b,由消去 y 得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=,y1y2=,由 OAOB,
5、=x1x2+y1y2=+=0,得 b=-2pk,代入直线 AB 方程得 y=k(x-2p),所以直线过定点(2p,0),再设直线 l 方程为 x=my+2p,代入 y2=2px 得 y2-2pmy-4p2=0,所以 y1+y2=2pm,y1y2=-4p2,|y1-y2|=,所以 S=2p2,所以当 m=0 时,S 的最小值为 4p2.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C:+=1(ab0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 .【解析】设 A(x1,y1),B(
6、x2,y2),则所以+=0,所以=-.因为=-,x1+x2=2,y1+y2=2,- 4 - / 12所以-=-,所以 a2=2b2.又因为 b2=a2-c2,所以 a2=2(a2-c2),所以 a2=2c2,所以=.答案:【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:依题设可知:直线 AB 的方程为 y-1=-(x-1),即 x+2y-3=0,该直线方程与椭圆方程联立,消去 x 得:(4b2+a2)y2-12b2y+9b2-a2b2=0,由根与系数的关系可知:y1+y2=,又因为 AB 的中点为 M(1,1),所以=2,解得 a2=2b2,所以 a2=2(a2-c2),所以 a2=2c2,所以=
7、.答案:7.(2016郑州模拟)已知双曲线 x2-=1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线 y2=18x 上,则实数 m 的值为 .【解析】设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0),则由-得:(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),显然 x1x2.所以=3,即 kMN=3,- 5 - / 12因为 M,N 关于直线 y=x+m 对称,所以 kMN=-1,所以 y0=-3x0,又因为 y0=x0+m,所以 P,代入抛物线方程得:m2=18,解得 m=0 或-8,经检验都符合.答案:0 或-88.与抛物线 y2
8、=8x 相切,倾斜角为 135的直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别是A,B,那么过 A,B 两点的最小圆截抛物线 y2=8x 的准线所得的弦长为 .【解析】由题意易知切点在 x 轴下方,由 y2=8x 得 y=-2,则 y=-.令-=tan135,解得 x=2.代入 y=-2,得 y=-4,所以切点为(2,-4).故切线方程为 y-(-4)=-(x-2),即 x+y+2=0.故 A(-2,0),B(0,-2).因为过 A,B 两点的最小圆即为以 AB 为直径的圆,即(x+1)2+(y+1)2=2,抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,圆心到准线的距离为d=1,所以过 A,B 两点的
9、最小圆截抛物线 y2=8x 的准线所得的弦长为 l=2=2.答案:2三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )- 6 - / 129.(2016鹤壁模拟)已知椭圆 E:+=1(ab0)的离心率 e=,并且经过定点 P.(1)求椭圆 E 的方程.(2)问是否存在直线 y=-x+m,使直线与椭圆交于 A,B 两点,满足=,若存在,求 m的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意:e=且+=1,又 c2=a2-b2,解得 a2=4,b2=1,即椭圆 E 的方程为+y2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆方程得x2+4(m-
10、x)2-4=05x2-8mx+4m2-4=0.(*)所以 x1+x2=,x1x2=,y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2-m(x1+x2)+x1x2=m2-m2+=,由=,得(x1,y1)(x2,y2)=,x1x2+y1y2=,+=,m=2,又方程(*)要有两个不等实根,=(-8m)2-45(4m2-4)0,-b0)的左,右焦点,过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x=于点 Q.(1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程.- 7 - / 12(2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.【解题提示】(1)
11、可利用已知条件得出关于椭圆中的 a,b,c 的方程组,解方程组即得 a,c(或 b)的值,进而得出椭圆方程.(2)求出直线 PQ 的方程,与椭圆方程联立,求出方程组的解或消元转化为一元二次方程,利用判别式即可判断直线与椭圆的交点个数.【解析】(1)由条件知,P,故直线 PF2 的斜率为=-.因为 PF2F2Q,所以直线 F2Q 的方程为 y=x-,故 Q.由题设知,=4,2a=4,解得 a=2,c=1.故椭圆 C 的方程为+=1.(2)直线 PQ 的方程为=,即 y=x+a.将上式代入+=1,得 x2+2cx+c2=0,解得 x=-c,y=.所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.【一题多解
12、】解答本题,还有以下解法:(1)设直线 x=与 x 轴交于点 M.由条件知,P.因为PF1F2F2MQ,所以=,即=,解得|MQ|=2a.所以解得- 8 - / 12故椭圆 C 的方程为+=1.(2)直线 PQ 的方程为=,即 y=x+a.将上式代入+=1,得 x2+2cx+c2=0 ,又因为其 =(2c)2-4c2=0,即只有一个解.所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)(2016衡水模拟)已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 F 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点,且|AB|=6,则弦 AB 中点的横坐标为 ( )
13、A.1B.2C.4D.无法确定【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义知|AB|=x1+x2+2,所以有6=x1+x2+2,即 x1+x2=4,故弦 AB 中点的横坐标为 2.【加固训练】分别过椭圆+=1(ab0)的左、右焦点 F1,F2 所作的两条互相垂直的直线 l1,l2 的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是 .【解析】由已知得交点 P 在以 F1F2 为直径的圆 x2+y2=c2 上.又点 P 在椭圆内部,所以有 c22 或 x0),故曲线 C 表示椭圆+y2=1 的上半部分和双曲线-y2=1 的上半部分,双曲线一条渐近线斜率为,如图所示,l
14、与这条渐近线平行,当 l 恰经过椭圆长、短轴端点时,斜率也为,此时,曲线 C 与 l 只有 2 个公共点,当 m1 时,l 与曲线 C 至多有两个公共点,所以 m1.当 l 与椭圆相切时得到另一个临界值,此时,m=,故 m(1,).4.(12 分)(2015福建高考)已知椭圆 E:+=1(ab0)过点(0,),且离心率 e=.(1)求椭圆 E 的方程.(2)设直线 l:x=my-1(mR)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由已知得,所以椭圆的方程为+=1.(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 H(x
15、0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2=,y1y2=-,从而 y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=- 11 - / 12=(m2+1)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(m2+1)y1y2+=-+=0,所以|GH|,故 G 在以 AB 为直径的圆外.【一题多解】解答本题(2)还有以下方法:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2=,y1y2=-,从而=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=-+=0,所以 cos0,又,不共线,所以AGB 为锐角.故点 G 在
16、以 AB 为直径的圆外.5.(13 分)(2016秦皇岛模拟)设椭圆 C:+=1,F1,F2 为左、右焦点,B 为短轴端点,且=4,离心率为,O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程.(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点M,N,且满足=?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由.【解析】(1)因为椭圆 C:+=1(ab0),由题意得=2cb=4,e=,a2=b2+c2,解得所以椭圆 C 的方程为+=1.(2)假设存在圆心在原点的圆 x2+y2=r2,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有- 12 - / 12两个交点 M,N,因为=,所以有=0,设 M
17、(x1,y1),N(x2,y2),当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 y=kx+m,解方程组得 x2+2(kx+m)2=8,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则 =16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,即 8k2-m2+40,所以 x1+x2=-,x1x2=.y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=,要使=0,需 x1x2+y1y2=0,即+=0,所以 3m2-8k2-8=0,所以 k2=0,又 8k2-m2+40,所以所以 m2,即 m或 m-,因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 r=,r2=,r=,所求的圆为 x2+y2=,此时圆的切线 y=kx+m 都满足 m或 m-,而当切线的斜率不存在时,切线为 x=与椭圆+=1 的两个交点为或满足=0,综上,存在圆心在原点的圆 x2+y2=满足条件.