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1、- 1 - / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8-6-28-6-2 直直线与椭圆的综合问题课时提升作业理线与椭圆的综合问题课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016芜湖模拟)若椭圆+=1,且此椭圆的焦距为 4,则实数 a= ( )A.4 B.8C.4 或 8D.以上都不对【解析】选 C.若椭圆的焦点在 x 轴上,则 10-a-(a-2)=4,解得 a=4.若椭圆的焦点在 y 轴上,则 a-2-(10-
2、a)=4,解得 a=8,综上可知:a=4 或 8.2.(2016秦皇岛模拟)已知 F 是椭圆+=1(ab0)的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,PFx 轴.若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是 ( )A.B.C.D.【解析】选 B.RtPFA 中,|PF|2+|FA|2=|PA|2,|FA|=a+c,|PF|=,又|PF|=|AF|,即=(a+c),即=(a+c),得 4c2+ac-3a2=0,所以=.3.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 ( )A.3 B.2 C.2 D.4【解析】选 C.设椭圆方程为 m
3、x2+ny2=1(0b0),以 O 为圆心,短半轴长为半径作圆 O,过椭圆的长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,B,若四边形 PAOB 为正方形,则椭圆的离心率为 .【解析】如图,因为四边形 PAOB 为正方形,且 PA,PB 为圆 O 的切线,所以OAP是等腰直角三角形,故 a=b.所以 e=.答案:8.已知动点 P(x,y)在椭圆+=1 上,若 A 点坐标为(3,0),|=1,且=0,则|的最小值是 .【解析】因为=0,所以.所以|2=|2-|2=|2-1.因为椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小,故|min=2,所以|min=.答案:三、解答题三、解答题( (每小题每小题
4、1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.已知在ABC 中,点 A,B 的坐标分别为(-,0),B(,0),点 C 在 x 轴上方.(1)若点 C 坐标为(,1),求以 A,B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程.- 4 - / 9(2)过点 P(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交(1)中曲线于 M,N 两点,若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径的圆上,求实数 m 的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),c=,2a=|AC|+|BC|=4,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)直线 l 的方程为 y=-(x-m),设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组,消去 y
5、得3x2-4mx+2m2-4=0.所以若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上,则=-1,即 m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0,解得 m=.【加固训练】已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,其中左焦点为 F(-2,0).(1)求椭圆 C 的方程.(2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆x2+y2=1 上,求 m 的值.【解析】(1)由题意,得解得所以椭圆 C 的方程为+=1.(2)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),由消去 y 得,3x2+4m
6、x+2m2-8=0,=96-8m20,所以-2b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率.(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率.【解析】(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0),由|AB|=|F1F2|,可得 a2+b2=3c2,又 b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率 e=.(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为+=1.设 P(x0,y0),由 F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),
7、=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0,又 c0,故有 x0+y0+c=0.又因为点 P 在椭圆上,故+=1.由和可得 3+4cx0=0,而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=-c,代入得 y0=,即点P 的坐标为.设圆的圆心为 T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径 r=c.- 6 - / 9设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx,由 l 与圆相切,可得=r,即=c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4.所以,直线 l 的斜率为 4+或 4-.(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)(2016大同模拟)已知直线
8、x=t 与椭圆+=1 交于 P,Q 两点.若点 F 为该椭圆的左焦点,则使取得最小值时,t 的值为 ( )A.- B.- C. D.【解析】选 B.易知椭圆的左焦点 F(-4,0).根据对称性可设 P(t,y0),Q(t,-y0),则=(t+4,y0),=(t+4,-y0),所以=(t+4,y0)(t+4,-y0)=(t+4)2-.又因为=9=9-t2,所以=(t+4)2-=t2+8t+16-9+t2=t2+8t+7,所以当 t=-时,取得最小值.【加固训练】(2016合肥模拟)如图,焦点在 x 轴上的椭圆+=1 的离心率e=,F,A 分别是椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,则的最大
9、值为 .【解析】设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2,因为 e=,所以 c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.所以-2x02,-y0.因为 F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),- 7 - / 9所以=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.即当 x0=-2 时,取得最大值 4.答案:42.(5 分)直线 l:x-y=0 与椭圆+y2=1 相交于 A,B 两点,点 C 是椭圆上的动点,则ABC 面积的最大值为 .【解析】设与 l 平行的直线方程为 x-y+a=0,此直线与椭圆的切点为 C 时,ABC的面积最大,将 y=x+
10、a 代入+y2=1 中整理得,3x2+4ax+2(a2-1)=0,由 =16a2-24(a2-1)=0 得,a=,两平行直线 x-y=0 与 x-y+=0 的距离 d=,将 y=x 代入+y2=1中得,x1=-,x2=,所以|AB|=,所以 SABC=|AB|d=.答案:3.(5 分)已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为 F1(1,0),离心率为 e.设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点,AF1 的中点为 M,BF1 的中点为 N,原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上.设直线 AB 的斜率为 k,若 0b,所以 a2=b2+c2.设 A(x,y),- 8 - / 9由得.因为 01,所以 1
11、0)的焦点在 x 轴上,其右顶点(a,0)关于直线 x-y+4=0 的对称点在直线 x=-上(c 为半焦距长).(1)求椭圆的方程.(2)过椭圆左焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交直线 x=-于点 C.设 O 为坐标原点,且+=2,求OAB 的面积.【解析】(1)椭圆的右顶点为(2,0),设(2,0)关于直线 x-y+4=0 的对称点为(x0,y0),则解得 x0=-4,所以=4,所以 c=1,所以 b=,所以所求椭圆的方程为+=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(-4,y3),过椭圆的左焦点 F 的直线 l 的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程得:(3+4k
12、2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以 x1+x2=-,x1x2= .因为+=2,所以(x1,y1)+(-4,y3)=2(x2,y2),所以 2x2-x1=-4 .由得:x2=-,x1=,代入整理得:4k4-k2-5=0.所以 k2=,所以 x2=-,x1=.由于对称性,只需求 k=时,OAB 的面积,- 9 - / 9此时,y1=,y2=-,所以OAB 的面积为|OF|y1-y2|=.5.(13 分)(2016石家庄模拟)给定椭圆 C:+=1(ab0),称圆 C1:x2+y2=a2+b2为椭圆 C 的“伴随圆”.已知椭圆 C 的离心率为,且经过点(0,1).(1)请求出椭圆 C 的标准方
13、程.(2)若过点 P(0,m)(m0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2,求实数 m 的值.【解析】(1)记椭圆 C 的半焦距为 c,由题意,得 b=1,=,c2=a2-b2,解得 a=2,b=1,故椭圆 C 的标准方程为:+y2=1.(2)由(1)知,椭圆 C 的方程为+y2=1,圆 C1 的方程为 x2+y2=5.显然直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0.因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,故方程组(*)有且只有一组解.由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.从而 =(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0.化简,得 m2=1+4k2.因为直线 l 被圆 x2+y2=5 所截得的弦长为 2,所以圆心到直线 l 的距离 d=.即=.由,解得 k2=2,m2=9.因为 m0,所以 m=3.