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1、4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角1 .如图，已知正三棱柱ABC-A山Q的棱长均为2,则异面直线A归与B6夹角的余弦值是（）.（第1题）ATBi4D.o解析:如答图，以AC的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系。中z,则Ai（0,- 1,2）乃（百,0,0）乃1（百,0,2）,C（0,1,0）,（第1题答图）所以不二（8,-2）,瓦Q=（一8,-2）, 所以 cos- 答案:c.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-8C,若=1,4。二百4。=#,则平面ABD与平面3CZ)的夹角为().A.30B.60C.120D.90解析:过点A作AE_LBD过点。作。凡L5Z)(
2、图略)，则 AE=,BE= 22所以EF=.因为前=AE +EF + FC, - C c 1 - j 2.所以 |/C|2二|AE|2+|T|2+|FCT+2|4E|FCTcosmae = fc=,ef = i,2所以 cos=-1,所以平面ABD与平面BCD的夹角是60。,故选B.答案:B.如图，已知P为菱形ABC。外一点，且PAJ_平面ABCD/A=AD=AC/为尸C的中点，则二面角 C-BF-D的平面角的正切值为（）.（第3题）B.理4D竽解析:设AC,相交于点O,连接OF,如答图.（第3题答图）四边形A8CQ为菱形， 。为AC的中点4C_L3D:F为PC的中点,，OF/PA.又平面AB
3、CD,：.OFL 平面 ABCD.以0为原点,03,0C,。尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。xyz.设PA=AO=AC=1,则瓦）=信5（冬0,0）4（0优）,。（0,扣），必争）,0）.瓦二（0,扣），且沆 为平面BDF的一个法向量.由正二卜出二0）,而=（竺可求得平面8C尸的一个法向量为n=（l，V3,V3）. 2 22”/. cos =而 sin =, /. tan =. 773由图形知二面角C-BF-。的平面角为锐角，其正切值为数.3答案:D4 .如图，已知P是二面角a-AB/棱上的一点,分别在平面内引射线PM,PN,如果/BPM=/ BPN=45o,NMPN=60
4、。,那么二面角a-ABf的平面角等于（）.（第4题）A.60B.70C.80D.90解析:如答图，设PM=a,PN=b，过点M作MELAB于点区过点N作NFLAB于点F,则因/BPM= /BPN=45。,故 PE=PF=.（第4题答图）于是前. FN=（PM - PE（PN - PF）=PM -PN-PM-PF-PE-PN + PE- -PF=abcos600- b.a.ababababab6?xcos45 -x/?cos45x - =0,所以EM 1 FN.y2y/2V2V22222因为EM,bN分别是a，内的与棱4?垂直的两条直线，所以向量前与雨的夹角就是平面a与少 的夹角，即为90.答案
5、:D.在正四棱锥尸-ABC。中，高为1,底面边长为2,E为BC的中点，则异面直线PE与08的夹角为. （第5题答图）解析:如答图,建立空间直角坐标系，则B（ 1,0）Q（-1 1,0）,E（0,0）,P（0Q 1）,丽=（2,2,0）屈=（0,-1）. DR.PF 21 tt：.cos=rrl =：.=-.| 叫 |PE| V8xV2 23：.PE与DB的夹角为答案三 3.在空间直角坐标系O-xyz中，平面a过点(3Q0)和(0,4,0)及z轴上一点(0Qq)(q0),若平面。与 平面xOy的夹角为45。,则a=.解析:平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).设平面a的法向量为u=(x,y
6、,z),ni 七卜3% + 4y = ,则有Qn(-3% + az = 0,从而3x=4y=az,取z=l,得u=(以右1)为平面a的一个法向量,所以|cosvn,u|= 1 1=.gs； 2 Y 9 16又因为40,所以。二1 答案子.在正方体中,二面角A-BDBx的平面角大小为.(第7题答图)解析:如答图，以。为原点,BCCDCG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设 正方体的棱长为a,则 A(a,a,0),3(。,0,0),Z)i (0,a,a),3i/. BA =(0,a,0),BZ)iBBi =(0,0,。).设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则 nB?l=(
7、x,y,z)(0,4,0)=4y=0,iiN)i=(x,y,z)(y )=-6ir+ay+4z=0.存0,.y=0=z.取x=z=l,则n=(l,0,l)为平面ABD的一法向量.同理可得平面BiBDi的一个法向量为m=(l,l,0).cosnmnm=60.而二面角A-BO-B为钝角，故为120.答案：120。6 .如图，在多面体A-PCBE中,四边形PCBE是直角梯形，且PCJ_8cp七BC,平面PCBE_L平面 ABCACLBE.M是AE的中点,N是PA上的点.(第8题)若MN平面A5c求证:N是PA的中点;(2)若且AC=BC=PC,求二面角E-AB-C的平面角的余弦值.(1)证明:.p石
8、3cp或平面ABC,BCu平面ABC, 二PE平面 ABC.TA 平面ABCA 平面PEA, 令平面ABCn平面PEA=l,：.ALTPEu 平面 PEA,：. PE/I.已知MN/平面ABC,同理可证,MN l.：. MN/ PE.是AE的中点,是PA的中点.(2)角牛 :平面平面 48c平面 PCBECl平面 ABC=BQPCBQ A PC ABC,灰布 PCAC.在梯形 PCBE 中,PE/ BC, ：. PC 与 BE 相交.4。，8旦4。，平面PCBE.BCu平面 PCBE,：.AC.LBC.C4,C氏CP两两垂直.如答图，以。为原点,CA,C氏CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Crz(第8题答图)设 303%则 E(0,a,3a),A(3a,0,0),B(0,3Q,0),C(0Q0),P(0,0,3。)， /. EA =(3a,-a,-3a),EB =(0,2。,-3。).已知而二(0,0,3。)是平面43c的一个法向量.设u=(x,y,z)是平面EAB的法向量.南仅源=0(3ax-ay-3az = 0, 丽=0,付 M仪3az = 0.不妨取u=(3,3,2). / 方胃、wCP 6a V22.C0S=-7=r = 7= = .|u|CP| 3a2211由图形知,二面角E-A8-C的平面角为锐角，二面角E-A3.C的平面角的余弦值为虎.11