《2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4.3第1课时空间中的角课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4.3第1课时空间中的角课后篇巩固提升训练含解析北师大版选择性必修第一册.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角课后篇巩固提升合格考达标练1.若平面的一个法向量为n1=(1,0,1),平面的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面与所成二面角的平面角等于()A.30B.45C.60D.90答案D解析因为n1n2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以,即平面与所成二面角的平面角等于90.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266B.-52266C.52222D.-52222答案A解析AB=(2,-2,-
2、1),CD=(-2,-3,-3),而cosAB,CD=ABCD|AB|CD|=5322=52266,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90答案A解析取AB的中点D,连接CD,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),故AB1=(-2
3、,0,3),AC1=(-1,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),AA1与平面A1B1C1所成角为,根据mAB1=0,mAC1=0,可得m=(3,-3,2),cos=mAA1|m|AA1|=12.sin=|cos|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30,故选A.4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为()A.30B.45C.60D.90答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),AD=(0,1,0).取PD的中点E,
4、则E0,12,12,AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cos=22,故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为45.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()A.16B.14C.-16D.-14答案A解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),MN=(-1,1,2),OD1=(-1,-
5、2,1).则cos=MNOD1|MN|OD1|=166=16.异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16,故选A.6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为.答案49解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,-1,-2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),设平面A1ED
6、的法向量为n=(x,y,z),则nDA1=2x+4z=0,nDE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为,则sin=|cos|=EAn|EA|n|=499=49.直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为.答案23解析建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则nA1D
7、=0,nA1E=0.则2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos=nm|n|m|=23.设平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为,则cos=|cos|=23.8.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,ABC=BAD=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),AB平面SAD
8、,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设直线SC与平面ASD所成的角为,则sin=|cos|=|SCAB|SC|AB|=33,故cos=63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为63.(2)易知平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SCn=0,SDn=0,可得x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD所成锐二面角的平面角为,则cos=|mn|m|n|=63,即平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值为63.9.如
9、图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF平面ABCD,DE平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.(1)求证:平面BDM平面EFC;(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.(1)证明连接AC,交BD于点N,连接MN,则N为AC的中点,又M为AE的中点,所以MNEC.因为MN平面EFC,EC平面EFC,所以MN平面EFC.因为BF,DE都垂直底面ABCD,所以BFDE.因为BF=DE,所以四边形BDEF为平行四边形,所以BDEF.因为BD平面EFC,EF平面EFC,所以BD平面EFC.又MNBD=N,所以平面BDM平面EFC.(2)解因为DE平面ABCD,
10、四边形ABCD是正方形,所以DA,DC,DE两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz.设AB=2,则DE=4,从而D(0,0,0),B(2,2,0),M(1,0,2),A(2,0,0),E(0,0,4),所以DB=(2,2,0),DM=(1,0,2),设平面BDM的法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nDM=0,即2x+2y=0,x+2z=0.令x=2,则y=-2,z=-1,从而n=(2,-2,-1)为平面BDM的一个法向量.因为AE=(-2,0,4),设直线AE与平面BDM所成的角为,则sin=|cos|=nAE|n|AE|=4515,所以直线AE与平面BDM所成角的正弦值为451
11、5.等级考提升练10.如图,在三棱锥C-OAB中,OAOB,OC平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分别为AB,BC的中点,则异面直线DF与OE所成角的余弦值为()A.1010B.61025C.3030D.3020答案B解析以O为坐标原点,以OA,OB,OC为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz,则D(3,4,0),F(0,4,4),E(0,2,6),DF=(-3,0,4),OE=(0,2,6),cos=DFOE|DF|OE|=245210=61025,异面直线DF与OE所成角的余弦值为61025.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点
12、,F为B1C1上靠近点B1的四等分点,则直线AC1与平面EFD1所成角的正弦值为()A.2613B.22613C.27839D.47839答案D解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则E(1,2,0),F32,2,2,D1(0,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),EF=12,0,2,D1F=32,2,0,AC1=(-2,2,2).设平面EFD1的法向量n=(x,y,z),则nEF=0,nD1F=0,即12x+2z=0,32x+2y=0,取x=4,得n=(4,-3,-1),设直线AC1与平面EFD1所成角为,则sin=|
13、cos|=47839.12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,E为侧棱BB1上的一点,且B1EB1B=13,则直线AE与平面A1ED1所成角的余弦值为()A.255B.1010C.31010D.55答案B解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,A1(2,0,3),E(2,2,2),D1(0,0,3),A(2,0,0),A1E=(0,2,-1),D1E=(2,2,-1),EA=(0,-2,-2).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则A1En=0,D1En=0,即2y-z=0,2x+2y-z=0,取
14、z=2,则n=(0,1,2),cos=nEA|n|EA|=-2-44+41+4=-6210=-31010,设直线AE与平面A1ED1所成角大小为,则sin=|cos|=31010,所以cos=1-910=1010.13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22答案B解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),所以有
15、A1Dn1=0,A1En1=0,即y-z=0,x-12z=0,令x=1,解得y=2,z=2,n1=(1,2,2).平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=231=23,即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.14.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AC长为23,A1B1长为3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧,则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.6B.4C.3D.2答案B解析以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,-12,0.所以AA1=(
16、0,0,1),B1C=(0,-1,-1),所以cos=AA1B1C|AA1|B1C|=00+0(-1)+1(-1)102+(-1)2+(-1)2=-22,所以=34,所以异面直线B1C与AA1所成的角为4.15.如图,在三棱锥P-ABC中,ABC为等边三角形,PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为.答案24解析取AC的中点O,连接OP,OB,因为PA=PC,所以ACOP.因为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,所以OP平面ABC,所以OPOB.又因为AB=BC,所以ACOB.于是以O为坐标原点,建立如图所
17、示的空间直角坐标系O-xyz,则A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,6,0),所以AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-22),所以cos=ACPD|AC|PD|=-8424=-24.故异面直线AC与PD所成角的余弦值为24.16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的正弦值为.答案223解析以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0
18、),EF=(-1,0,1),EB=(1,2,0).设平面EFC1B的一个法向量n=(x,y,z),则nEF=-x+z=0,nEB=x+2y=0,取x=2,得n=(2,-1,2).平面BCC1B1的一个法向量m=(0,1,0),设平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的平面角为,则|cos|=|nm|n|m|=13,所以sin=223.17.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ABC=90,且侧面ABB1A1为菱形.(1)证明:A1B平面AB1C1;(2)若A1AB=60,AB=2,直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为55,求三棱锥C-ABA1的体积.(1)证明四边
19、形ABB1A1是菱形,则A1BAB1,平面ABB1A1平面ABC,且AB为交线,BCAB,BC平面ABB1A1,BCA1B.BCB1C1,A1BB1C1.又AB1B1C1=B1,A1B平面AB1C1.(2)解取A1B1的中点M,连接BM,A1AB=60,BMA1B1,即BMAB,从而BM平面ABC,且ABBC,则BM,AB,BC两两垂直,则建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=t,则A(2,0,0),A1(1,0,3),C(0,t,0),AA1=(-1,0,3),AC=(-2,t,0),四边形A1ACC1为平行四边形,则AC1=AA1+AC=(-3,t,3),平面ABC的一个法向量为n=(0,
20、0,1),|cos|=|AC1n|AC1|=312+t2=55,解得t=3.由等体积法可知,VC-ABA1=VA1-ABC=1331223=1.新情境创新练18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45?如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.(1)证明取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,
21、则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).点N为PC的中点,N(0,0,1),DN=(1,0,1).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0),DNn=0.又DN平面PAB,DN平面PAB.(2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).设直线AC与PD所成的角为,则cos=226=66.(3)解存在.设M(x,y,z),且PM=PD,01,x=-,y+1=,z-2=-2,M(-,-1,2-2).设平面ACM的一个法向量为m=(x,y,z),由AC=(0,2,0),AM=(-,2-2),可得m=(2-2,0,),由图知平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),|cos|=12+(2-2)2=22,解得=23或=2(舍去).M-23,-13,23,BM=-83,23,23,m=23,0,23.设直线BM与平面MAC所成的角为,则sin=|cos|=-12922322=12,=30.故存在点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45,此时BM与平面MAC所成的角为30.12