《2022-2023学年北师大版选择性必修第一册第3章4.3第1课时空间中的角作业.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年北师大版选择性必修第一册第3章4.3第1课时空间中的角作业.docx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角1 .(2021山东泰安肥城高二上学期期中)若两异面直线/i与h的一个方向向量分别是m 二(1,0,-1),H2=(0,-1,1),则直线 与 /2 的夹角为0A.30B.60C.120D.1502 .(2021山西吕梁贺昌高二上学期期中)如图，在正三棱柱A8C-4BG中,A8=4A=2,MN 分别是和BiCi的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于()A.B.V5223C.-D.-55.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，底面A8C,44i=3,A3=AC=8C=2,则A4与平面ABiC所成角的大小为()A.30B.45。C.60
2、D.90.已知正方形ABC。所在平面外一点P,PAL平面A3CO,若PA=A氏则平面PA3与平面 PCO所成的锐二面角的平面角为()A.30B.45C.60D.90.(多选题)如图,AE,平面 A5CD,CbA,AO3C,AOJ_ASA=3C=2,AB=AD=l,CT=* 贝A.BD1EC.8/平面C,二面角足B。孑的平面角的余弦值为:D.直线CE与平面3OE所成角的正弦值为J96 .在长方体A5CD4BCQ1中，已知。4=。=4,。|=3,则异面直线45与8。所成角 的余弦值为.7 .在正方体ABCD-ABCD中，点E为BB的中点，则平面AED与平面ABCD所成的锐 二面角的平面角的余弦值为
3、.8 .如图，在长方体ABCD-ABCD中，&F分别是棱3CCC上的点，。/=AB=2C&45 ：AD ：AAi = l ：2 ：4.证明:Ab,平面4ED;求二面角4-EZXF的平面角的正弦值.关键能力提升练.如图，在三棱锥 C-OAB 中,OA_LO氏OC_L平面 OAB,OA=6,OB=OC=8,CE.CB,D,F分4别为ABIC的中点，则异面直线DF与0E所成角的余弦值为()D 6同D.25.在正方体ABCQ-AiBCiDi中,E为8。的中点/为81。上靠近点8的四等分点，则直 线ACi与平面EFD所成角的正弦值为02V26D.132V7839c 4V78JJ.39.已知长方体ABCO
4、-AiBGDi中,A8=8C=2,A4i=3,为侧棱BB上的一点，且里=:B】B 3则直线AE与平面AxEDx所成角的余弦值为()A 2追V10心 3V10c V5A. D. C.U.一51010512.(2021山东师范大学附属高二月考)如图,三棱柱ABC-4BG的侧棱与底面垂直,441j45三4。=145,4。N是5。的中点,点尸在43上，且满足不？二见不瓦,当直线PN与平面ABC所成的角取得最大值时，的值为0A2C 成D.公2225.如图，在三棱锥P-43c中,ABC为等边三角形,为等腰直角三角形,PA=PC=4, 平面B4C_L平面A3C,。为A5的中点，则异面直线AC与PD所成角的余
5、弦值为.13 .(2021福建龙岩高二上学期联考)在长方体ABCD/iBiCOi中,43=14。三44,且CiD 与底面AiBiCiDi所成角为60 ,则直线CiD与平面CBiDi所成角的正弦值为.15.如图,梯形48。中/3=8。=14。=2,/。巳4=/区4。=90。，沿对角线4?将443。折 起，使点B在平面ACD内的投影。恰在AC上.求证:A3,平面BCD;(2)求异面直线与AO所成的角；求二面角B-AD-C的平面角的余弦值.学科素养创新练16.如图，在四棱锥 P-ABCD 中,PA J_平面 A3CD,AOBCAD，CD,且 AD=CD=6,BC=2a,PA=2.取PC的中点N,求证
6、:OV平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.(3)在线段PD上,是否存在一点M使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为 45 ?如果存在，求出与平面M4C所成角的大小;如果不存在,请说明理由.答案：1.B由题意，两异面直线/1与，2的一个方向向量分别是111=(1,0,-1),112=(0,-1,1),可得 |ni|二VX|n2|=Vmii2=-l,设异面直线/i与，2所成的角为仇则cos0= |cos|= p又因为 0。=60 ,即直线/i与/2的夹角为60。.故选B.2 .D取AC的中点0,过点2作20iA4i,交4G于点01,连接。氏以OB,OC,OOi所在直线分别为
7、x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则 4。,-1,0),加(8,0,1 )C(0,1,0),G(。,2),8 (8Q2),N 倬六2), 乙 乙所以病=(遮),而二(鼻),设直线 与 CN所成角为。，则 cos=|cos=2V3 + l + lxJ /+45故选D.3 .A4,B5.BC以点A为坐标原点,A3,AO,A所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标 系(图略),则 A(0,0,0),B( 1,0,0),C( 1,2,0),2)(0,1,0),E(0,0,2),F( 1,2,?,所以丽=(-1,1,0),阮=(12-2),因为丽阮=1M,则BD与EC不垂直，故选项
8、A错误；因为荏二(1。0)为平面AOE的法向量，又因为前二(02?,则前荏=0,又因为直线BFt平面AOE,所以B/平面AOE,故选项B正确；由题意，前二(-1,0),丽二(-1,0,2),谓=(-1,22),设平面3。厂的一个法向量为m=(,b,c),mBD = 0,-a + b = 0, 2b + -c = 0, 7令 b=l,则 Q=1,C=, 4故 m=( 1,1)， 77，74设平面3QE1的一个法向量为n=(x,y,z),则卜变=。,即产：厂之(n-BE = 0,(-% + 2z = ，令 z=l,则 x=y=2,故 n=(2,2)，故 cos-二面角孑的平面角为锐角，因此其余弦值
9、为二3故选项C正确；设直线CE与平面3QE所成的角为4则sin9=|cos|=P =CEn9故选项D错误.故选BC.6二如图，以Di为坐标原点QiAiQiGQi。所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直 2 5角坐标系.由已知得 4(4,0,0),3(4,4,3),囱(4,4,0)0(0,4,3).,.砧二(0,4,3)豌=(-4,0,3),9: cos=.7|8.(1)证明以点A为坐标原点,AAO,44i所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角|,4),前 =(-1，0).于是希两=0,而,丽=0.因此,4尸_1EAi.AFED.又因为4口。二瓦所以AbJL平面AED.(2)解设平面E
10、FD的一个法向量为u=(x,y,z),u,EF = 0,、u,ED = 0,又因为丽前故有一y + z = 0,21 不妨令x=l,可得u=(12-l).-x + -y = 0,由(1)可知，*为平面AED的一个法向量，于是 cos=j4j = |,从而 sinu,彳二学所以二面角Ai-ED-F的平面角的正弦值为它.39.B10.D以。为坐标原点,DAQCQDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标 系，设 A8=2,则 E(l,2,0),尸(|,2,2),01(0,0,2)2(2,0,0),Ci(0,2,2),设平面EFD的法向量n=(x,y,z),nl (wEF 0, 口门则 ,
11、即n-D1F = 09-x + 2z = 0,取x=4,得n=(4,-3,-1),设直线AC与平面EFDi所成角为-x + 2y = 0,仇则 sine=|cos|=.3 91LB以。为原点,D4QCQD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如 图,Ai(2,0,3),(2,2,2), 01(0,0,3)4(2,0,0),&E =(0,2,-1)二(2,2,-EA =(0,-2,-2).(a *27 n ，Dn = 0,即2： + 2y-z = 0,取 z=2,则 n=(0,l,2),厂 j n EA-2-4-6341O.COS一间钢-a/44xa/1+4 2V10i 10，设直
12、线AE与平面A1ED1所成角大小为4则sin6= |cos|所以 cos6= I1-=q 101012.A如图，以A为坐标原点,AB,AC,AAi所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，：.PN = Q：.PN = Q”转，-1)，易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0,l), 设直线PN与平面ABC所成的角为仇J (叶)+1J (叶)+1贝1 sin8=|cosv巨礼 11|二粤31PN| 同当丸二工时,sin9=2,此时角。最大,故选A. 25.立取AC的中点O,连接OP,OB, 4因为PA=PC,所以ACLOP.因为平面P4C_L平面ABC,平面P4CA平面ABC=AC,所
13、以OP,平面A3C,所以OP工OB.又因为43=3。，所以AC OB.于是以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,则A(2&Q0),CG 2金,0,0)/(0,0,2鱼),。(方,遥,0),所以就=(-4& Q0),丽=(鱼,乃,-2加)，设AC与PO所成角为所以 cos= |cos I = AC Pl =._, 4y2x4 4ACPD I故异面直线AC与P。所成角的余弦值为纪413 .叵由题意得NOCQ1即为与底面48c所成的角，NQGOi=60.5VAB=CiDi = l,/.Z)Z)i=V3,以。为原点,D4QCQD1所在直线分别为龙轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐
14、 标系.则。(0,0,0)6(0,1，遮)C(0,1 90),Bi(V391,V3),i(0AV3)9则西=(0,1，同福=(百 qB),E=(。，-1，百)，设平面CBiDi的一个法向量为1=(%,%2),则卜?=,即8%+产=0，(n-CD1 = 0, l-y + 岛=0,令 x=l,则 y=-V,z=-l,即 n=(l,-V3,-l),设直线Ci。与平面CBQi所成的角为仇 则sin| 二 |翡/=|蒸| =?,即直线CO与平面CBiDi所成角的正弦 值为退.5.(1)证明在梯形 ABCD 中，易得 AC=DC=JX 又 AO=2,，AC2+oc2=ad2,，ac，)C.由题意得50JL
15、平面ACDSCu平面ACD,：.BOAC,又AB=CB.：.。为AC的中点.取AQ的中点2连接O5则ACLOE.以。为坐标原点,04,0208所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则 A 佟,0,0),5( 0,0,9,C(-y,0,0)Q(弓,VX0),.荏=(-冬。爷.荏=(-冬。爷，丽二(0,加,0),：.AB -CD=Q,：.AB.LCD.又3aBenco=c，A3,平面 BCD.(2)解由可得品=(-/,0,-分亚=(-VX互0),设异面直线3C与AO所成的角为仇/. cos=|cos | =/. cos=|cos | =ADBCADBC - 2,。=60 ,即异面直线
16、3C与AO所成的角为60.(3)解易知平面ACQ的一个法向量为赤=(0,0,y).n-AB = 0 叱 = 0,即Tz= 9= 0,-y2x + V2y = 0,取 z=l,则 x=y=l,，n=(l/，l).V2 _贝U cosn =,2易知二面角B-AD-C的平面角为锐角，余弦值为经 316.(1)证明取BC的中点工连接DE,交AC于点、。连接ON,建立如图所示的空间直角坐 标系，则 A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).丁点N为PC的中点、,可(0,。),，丽二(1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由而=()
17、Q2),荏=(2,0,0),可得ii=(01,0),而n=0.又DNU平面平面PAB.(2)解由知冠二(02。),而二(,-2).设直线AC与PD所成的角为仇则 cose=cosvZC,PO = 解存在.设 Af(xJ,z), JLPM =APD,0A 1,X -4+ 1 =4，用(-九加122力.设平面ACM的一个法向量为m=3,p,zi),由 z-2 = -2A,4C=(0,2,0),4M=(-/U,2-22),可得 m=(2-22,0,A),由图知平面ACD的一个法向量为n=(0,0),A |cos| =4_ V21- Ia2+(2-2A)22解得2/或2=2(舍去). 3rr372 - 38 - 3rr372 - 38 - 3设直线与平面M4C所成的角为则 sin夕=|cos|=-则 sin夕=|cos|=-12乎X2鱼9=30 .故存在点M,使得平面MAC与平面ACZ）所成锐二面角的平面角为45 ,此时与平面肱4c所成的角为30 .