人教B版选择性必修第一册2.5.2椭圆的几何性质学案.docx

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1、【标题】2. 5. 2椭圆的几何性质今日头条1 .已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式要先化成标准形式,再确定焦点的位置,找准、从椭圆中有 “两轴”(两条对称轴),“六点”(两个焦点、四个顶点),注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等) 及相互间的距离等.2 .利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3 .求离心率e时,注意方程思想的运用.椭圆的简单几何性质隹占的八、八、H J位置标准方程隹占的八、八、H J位置标准方程焦点在X轴上焦点在y轴上+=1 a2 1b2(ah0)图形对称性-+=1 a2 1b2对称轴工轴和.y轴,对称中心(0, 0)范围y b, ba, a顶点轴长(4

2、, 0) , Bt (0, 4 (0, 一), A2 (0, ), Bi (b, 0), 及 Qb, 0)-b) , & (0, b)短轴四比|=%,长轴|4人2|=四n . F (c, 0 ) , Fi焦点Fi (0, c) , F2 (0, c)(c, 0)焦距|FiF2| = 2c离心率(OVeVl)一、思考判断(正确的打“Y”,错误的打“X”)22.椭圆三+4=1 (/?。)的长轴长等于(X) az bz1 .椭圆上的点到焦点的距离的最小值ac.(4)2 .椭圆上的离心率e越小,椭圆越圆.()二、思考题1 .椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么?答案:最大距离为a+c;最小距

3、离为4c.2 .椭圆的离心率与椭圆扁圆程度间的关系是什么?答案:当椭圆的离心率越接近于1,则椭圆越扁;当椭圆的离心率越接近于0,则椭圆越圆.探究1椭圆的几何性质1 .已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类 型.2 .焦点位置不确定的要分类讨论,找准。与儿 正确利用2= + /求出焦点坐标,再写出顶点坐标.提醒:长轴长、短轴长、焦距不是。,b, c,而应是m江c的两倍.【例1】求椭圆9f+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.思路点拨化为标准方程,确定焦点位置及mc的值,再研究相应的几何性质.22解析:把已知方程化成标准方

4、程苒+3=1, 169于是 q=4, b=3, c=V16-9=V7,椭圆的长轴长和短轴长分别是2。=8和2/7=6,离心率e= =叱, a 4两个焦点坐标分别是(一位,0)、(V7, 0),四个顶点坐标分别是(一4, 0)、 (4, 0)、 (0, 3)、 (0, 3).【针对训练】.求椭圆9/+25产=225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 22解析:将椭圆的方程化为标准形式得差十卷=1,得 =5, b=3,则c=V3=4.因此,长轴长2=10,短轴长2b=6,离心率e= = 上 a 5焦点为 Fi (-4, 0)和放(4, 0),顶点 4 (-5, 0) , A2 (5, 0)

5、 , B (0, -3) , & (0, 3) .1 .设椭圆方程如2+4y2=4加(m0)的离心率为,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.22解析:椭圆方程小+4)?=4/% (m0)化为标准方程为 十器=1 (20) .(1)当。VzV4时,椭圆的长轴长和短轴长分别是4、2V3,焦点坐标为乃(-1, 0)、/2 (1, 0),顶点坐标为 4 (-2, 0)、A2 (2, 0)、Bi (0, -V3)、& (0, V3).(2)当相4时,椭圆的长轴长和短轴长分别为竽、4,焦点坐标为尸i(0,一零)、F2(0,亭),顶点坐标为4(0,-) 42(0, ) Bl (-2, 0)、Bl

6、(2, 0). 33探究2利用几何性质求椭圆的标准方程利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)用儿何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:求出。2,廿的值;确定焦点所在的坐标轴;写出标准方程.(3)在求解/、庐时常用方程(组)思想,通常由已知条件与关系式后=从+2, e=等构造方程(组)力口 a以求解.提醒:解答此类问题时容易忽视焦点的位置而漏解.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是6,离心率是|;(2)中心在原点,焦点在

7、x轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,焦距为6.思路点拨首先确定焦点位置,然后设出椭圆标准方程,求出。2, ,写出标准方程.2222解析:(1)设椭圆的方程为号+ 9=1 (ab0)或4 + =1 (ab0).由已知得2=6,,=3, a2 az bzaz bz=9.又 e=-=-,c2,kr c945.a 32222椭圆的标准方程为曰+1或5+言=1.(2)由题意可设椭圆的标准方程为号+青=1 (/)(),口两焦点为尸(一3, 0) , F (3, 0) a2 bz如图所示, 4以2为等腰直角三角形,。为斜边44的中线,且0尸| =。|AiA2| = 2。,。二匕=?, b2=9

8、, /.6r2=Z?2+c2= 18.22椭圆的标准方程为3+5=1,189【针对训练】.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)与椭圆以2+坊2=36有相同的焦距,且离心率为f; (2)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2, 4).1 2解析:将方程4x2+92 = 36化为会+ :=1, 可得椭圆焦距为2c=26.又因为离心率e=心, 即立=在,所以q=5,从而庐=2。2=25 5 = 20.5 a22若椭圆焦点在X轴上,则其标准方程为裴+=1;22若椭圆焦点在y轴上,则其标准方程为七十高=1.(2)依题意 2q=2X24 即 q=2422若椭圆焦点在X轴上,设其方程垮+ *1 (QQ0),则有

9、则有a = 2b,22所以标准方程为表+卷=1.22若椭圆焦点在y轴上,设其方程为左+标=1 (b0),则有a = 2b, 164 解得获+记=1a232,b2 = 8.所以标准方程为1+三=1.832222.已知椭圆的标准方程为?+一=1.49(1)求椭圆的长轴长和短轴长;(2)求椭圆的离心率;(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点,并且经过点P(4, 1)的椭圆方程.解析:(1)椭圆的长轴长为2=6,短轴长为2=4.(2) c=Va2-b2=V5,所以椭圆的禺心率e=-手.a 3(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点,则=3,可设椭圆方程为1 + 1=1,又椭圆过点尸(一4, 1), a9将点P

10、 (-4, 1)代入得笠+卜1, a2922解得屋2=18.故所求椭圆方程为3+ 5=1.189探究3求椭圆的离心率求椭圆离心率的方法(1)直接求出和的 再求e=,也可利用6= 后求解.a7 a2(2)若。和。不能直接求出,则看是否可利用条件得到。和。的齐次等式关系,然后整理成的形式,并将其 a视为整体,就变成了关于离心率e的方程,进而求解.【例3】已知F2是椭圆的两个焦点,过乃且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A, 3两点,若A8F2是正三角形,求该椭圆的离心率.思路点拨由题设求得A、3点坐标,根据 ABB是正三角形得出。,b, c的关系,从而求出离心率.22解析:设椭圆的方程为号+冬=1(。2

11、0),焦点坐标为乃(-C, 0) , Fl (c, 0). a2 b2依题意设A点坐标为(c,?),则3点坐标为2b2A AB=.a由4是正三角形得2c=义竺2 a即 V5/?2 = 2qc,又= / /.V3tz273c22ac=0,2两边同除以/得百C) +2|-V3=0,解得e=-= a 3【针对训练】221 .已知椭圆9+3=1(。)的三个顶点 B(0, 一 ), B1 (0, b) , A (m 0),焦点/(c, 0),且 az bzBFLABi,则椭圆的离心率是与. 乙解析:直线8尸的斜率为kB1F=2直线A&的斜率为kAB2 = -2 1 cz a* BF.i_AB29 kgi

12、pkg2 = - 19* BF.i_AB29 kgipkg2 = - 19即工一e=l, c ae/.e2 + 1 =0, 解得或 e=.229:Qeb0)的四个顶点,尸为其右焦 a2 b2点,直线A及与直线B尸相交于点7,线段。7与椭圆的交点M恰为线段。7的中点,则该椭圆的离心率为之反解析:设尸(的0),则,=/从.由题意,得直线A及的方程为二十 *=1,直线Bb的方程为2 + 4=1.将两 -a bc -b个方程联立,解得7(丝也为,则M(X等,又点M在椭圆m+卷=1 (ab0)上一二+ 号= a-c a-c 7a-c 2(a-c) Ja2 b2(a-c)24(a-c)21,整理得 M+i

13、Oqc32=o,即/+i0e3=0,解得 =2夕一5 或2夕一5 (舍去)221.椭圆+9=1的离心率(A)916A.马2416C. - D.-34解析:6z2= 16,庐=9, c2=7,从而 e= =立. a 42.若中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是(A)二2A. -二2A. -8172y2%2匕=1B.-81C. -+=1D. -+8145日=1 9y2 t8136解析:由已知得 =9, 2c=:X2a,,c=% = 3, h2 = crc2 = 12.22又焦点在X轴上一椭圆方程为林+卷=1.3.椭圆f+myZni的焦点在y轴上

14、,长轴长是短轴长的2倍,则根的值为(C)A. - B. 2 2C. - D. 4 4解析:椭圆f +殁2=1的标准形式为12 +空=. m因为焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,所以5=4,所以加=%4.若一个椭圆长轴的长度,短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是|. 解析:由题意有2a+2c=2 (2b),即a+c=2A, 又/ = / 匕2,消去b整理得5c2 = 32 2g 即5e2 + 2e3 = 0, e=1e= 1 (舍去) 5.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6;(2)过点(3, 0),离心率6=渔. 3(2a + 2b = 18,

15、 解析:(1)设椭圆的长轴长为2m短轴长为2。,焦距为2的由题意可知2c = 6, 解得(a2 = b2 + c2, 因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以所求椭圆的标准方程为三十三=1或三+悬=1.25161625(2)当椭圆的焦点在x釉上时,设椭圆的标准方程为马+=1 (。人0),由题意得。=3,因为e=,所以 a2 b2322c=V6,从而炉=屋一,=3,所以椭圆的标准方程为白+ =1;当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为马+卷=1 (abQ),由题意得=3,因为 吁理 所以鼻 a d3a=,把8=3代入,得层=27,所以椭圆的标准方程为,+ ?=1.综上可知,所求椭圆的标准方程为9+ 9=1或,+9= L

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