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1、第三章3椭圆的几何性质课后提能训练A级基础过关练i.i.椭圆4f+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A.A.72芈B. 14,4,平C.7,2,D. 14,4, 一当【答案】B72【解析】将椭圆方程化为标准形式为金+1=1,可知/?=2,。=7,c=3市,那么可得长轴长2。=14,短轴长2。=4,离心率e2.? 2i假设焦点在x轴上的椭圆与+5=1的离心率为最 4 f! L乙那么m等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为。2=2, l）2=m, e1b2 了=1 ml “ ，1一爹=所以3 m=T3.?2椭圆为+5=1的离心率yio那么m的值为（）A.3或25B.C.D.
2、 3【答案】D【解析】当焦点在x轴上时，/=5, b2=m9所以c2=a2b2=5m.又因为 eVio“ 5 m 所以三一,解得机=3.当焦点在y轴上时，a1=m, b2=59所以c2=一反=加一5,又因为e=手，所以金jm、右焦点，P为直线x=4.设*, F2是椭圆E：a25., 解得m=. 故772=3或m=25T,一点，FzPFt是底角为30。的等腰三角形，那么E的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】如图，F2PF1是底角为30。的等腰三角形，所以|PF2| = |F2Q|,即2W v25.椭圆8+方=1（480）的左、右焦点分别为Q, 出,过点尸1作长轴的垂线与 椭圆的一个
3、交点为P,假设tanZPF2Fi=1,那么椭圆的离心率为（）A.；B.gc 1D 1J 45【答案】A【解析】如图，把尸一c代入，+方=1,可得=土，不妨取P（c,那么|PFi| =/?2CL 廿 /一3,而|Fi&| = 2c,所以 tanN?BB=9= 2。=不 那么 2c2+3c2a2=0,即 2/+3e2=0,解得e= -2（舍去）或e=.A.(1,2)C. (2,46 .椭圆的短半轴长为1,离心率e满足00,所以/i,所以1VW2,故长轴长的取值范围为2V2aW4.7 .（多项选择）椭圆C 16f+4y2=1,那么以下结论不正确的选项是（）A.长轴长为JB.焦距为坐C.短轴长为；D.
4、离心率为坐【答案】ABCY2 v211【解析】椭圆C： 16f+4y2= 1,化为标准形式丁+宁=,可得。=5，/?=-,那么长轴长 JL JL乙一I讳4近为 2a= 1,短轴长为 2Z7=5, c= h-焦距 2c可得离 心率为 6?= 乙 /1 U 乙Ct JL 428 . （2021年滨海期中）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必 在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该72椭圆的蒙日圆.假设椭圆,+方=1的蒙日圆为f+y2=10,那么该椭圆的离心率为.【答案】W 72【解析】因为蒙日圆半径的平方等于椭圆的长半轴、短半轴的平方和
5、，而,+%=1的蒙日圆为f+）,2= 0,其半径的平方为10,故有6+/?2=10,故b2=4Oc=也,那么e= 6近3729.与椭圆会+=1有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为.2【答案】一+1= 199【解析】由椭圆5+=1,可知焦点在y轴上，焦点坐标为（0, 75）,故可设所求椭圆22方程为，+，=1（20）,那么c=小.又因为2。=2,即b=l,所以层=/?2+/=6.故所求椭圆的标准方程为f+Q 1.9210.焦点在x轴上的椭圆的方程为作+=1,点尸（后，1）在椭圆上.求椭圆的标准方程;依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.解：（1）由题意，点尸（加，1）在椭圆上，代
6、入得哗+=1,解得2=2.72所以椭圆的标准方程为7+3= 1.（2）由（1）知 4=2, b=p,所以 c=45.椭圆的长轴长为2。=4,短轴长为2。=2吸，焦距为2c=2吸，离心率为e=*=号.a ，B级能力提升练9211 .6是椭圆也+方=1（。匕0）的左、右两个焦点，假设椭圆上存在点P使得PF11PF2,那么该椭圆的离心率的取值范围是（）D.尹0,坐A.芳坐,1B.涔,1,C.芳0,坐【答案】B【解析】因为尸1,歹2是椭圆，+丫2在=1（。0）的左、右两个焦点，所以Fi（-c,0）,F2（c,0）,产+丁2 = 02, 立方程组与+g=l,c2=a2b2.设点 P(x, y),由 PF
7、4PF2,得(x+c, y)-(xc9 y) = 09 化简得 f+Vnc2.联整理得F = （2c2q2320,解得e三乎.又因为0VeVi,所以坐1.12 .（多项选择）以下说法正确的选项是（）A.长轴长是10,离心率是与的椭圆的标准方程为a+卷=1 3Z3 37B.在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方 程嘘+AC.焦点在x轴上，长轴长是短轴长的5倍，且过点A（5,0）的椭圆的标准方程为W+y2 =13_丫？ JD.焦点在y轴上，离心率为彳，焦距为12的椭圆的标准方程为盅+互=1【答案】BCD? ? ? ?【解析】对于A,设椭圆的方程为方=1（Q8。）或
8、力+5=l（b。），由得 q A丫2 、,22a=109 a=5,又因为=-=卓 所以c=4, b及 + / 2的顶点为椭圆短轴端点，所以S=5人0）的左、右顶点为A, B, P是椭圆上不同于A, 3的 一点，设直线AP,反的斜率分别为/n, ，那么当一意一弟+5取得最小值时，$； 椭圆C的离心率为.【答案】2坐【角翠析】4一。,0）, B（6Z,O）,设 p（xo, yo）,那么 .=匕2 焉）,那么 m= 七， =） , aX。十 qxoa2a=109 a=5,又因为=-=卓 所以c=4, b及 + / 2的顶点为椭圆短轴端点，所以S=5人0）的左、右顶点为A, B, P是椭圆上不同于A,
9、 3的 一点，设直线AP,反的斜率分别为/n, ，那么当一意一弟+5取得最小值时，$； 椭圆C的离心率为.【答案】2坐【角翠析】4一。,0）, B（6Z,O）,设 p（xo, yo）,那么 .=匕2 焉）,那么 m= 七， =） , aX。十 qxoa=crc1=256=9,椭圆方程为去+标=1或乐+5=1, A错误.对于B,设椭圆方程为+5=1（/70）,如图，冏2为一等腰直角三角形，0尸为斜边44的中线（高），且|OF| = c, |442| = 2/?,那么c=/?=3, q2=+c1 2=18,故所求椭圆的方程为表+，= 1，c1 2=18,故所求椭圆的方程为表+，= 1，B正确.(2
10、4=5X2。,/ v1212所以如日京雪=一庐 那么一嬴一专+5=一专+5,令=1时，那么危）=一期+5 = 0 2）2+1,当，=2时，加）的最小值为12）,此时=2,所以6=亭./ v1212所以如日京雪=一庐 那么一嬴一专+5=一专+5,令=1时，那么危）=一期+5 = 0 2）2+1,当，=2时，加）的最小值为12）,此时=2,所以6=亭.解得=1 ，对于C,设椭圆的标准方程为了+方=1（。/?0）,由题意得人0）,那么当三角形面积最大时，三角形在椭圆上(2)求证：PQ3的面积只与椭圆的短轴长有关.72解：设椭圆方程为a+方=1(人。)，PF = m, PF = n,那么 m-n=2a.2在PF1F2中,由余弦定理可知4c2=m2+n22/7incos60 = (m+n)23mn=443mn 三 4a13 dII= 42 3/ = q2(当且仅当m = n时取等号).所以三三I，即又因为OVV1,所 a,I乙以e的取值范围是3，1)(2)证明：由知=所以 S/PF F2=ymnsin60 =所以 S/PF F2=ymnsin60 =故PF1F2的面积只与短轴长有关.