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1、 9.9 曲线与方程 考纲要求 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 1一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的_；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_ 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题 2求曲线方程的基本步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0
2、；(4)化方程f(x，y)0 为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 1方程y 9x2表示的曲线是()A抛物线的一部分 B双曲线的一部分 C圆 D半圆 2 若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足PMPN0，则P点的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 3方程(2x3y1)(x31)0 表示的曲线是()A两条直线 B两条射线 C两条线段 D一条直线和一条射线 4已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足APBPx26，则P点的轨迹方程是_ 5过圆x2y24 上任一点P作x轴的垂线PN，N为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为_ 一、直接法求轨迹方程【例
3、 11】已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2y21，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【例 12】已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MNMP6|PN|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x2y120 的距离的最小值 方法提炼 建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点的坐标，找出动点满足的等量关系，化简即得所求曲线方程 请做演练巩固提升 1 二、用定义法求轨迹方程【例 2】已知点A12，0，点B是圆F：x122y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹
4、方程 方法提炼 若由题意能判断出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则只需设出标准方程并确定出方程中的基本量即可，这也是求轨迹方程的首选方法 请做演练巩固提升 2 三、代入法求点的轨迹方程【例 3】已知ABC的两个顶点为A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y 3x21 上移动，求ABC重心的轨迹方程 方法提炼 若A点的运动与B点的运动相关，且B点的运动有规律，则找出两点坐标间的关系，用A点坐标表示出B点坐标，代入B点所满足的方程，整理即得A点的轨迹方程 请做演练巩固提升 4 曲线轨迹方程的求解【典例】(14 分)(2012 湖北高考)设A是单位圆x2y21 上的任意一点，l是过点A与
5、x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|m|DA|(m0，且m1)当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由 规范解答：(1)如图 1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0 x，|y0|1m|y|.因为A点在单位圆上运动，所以x
6、20y201.将式代入式即得所求曲线C的方程为x2y2m21(m0，且m1)(4 分)因为m(0,1)(1，)，所以 当 0m1 时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(1m2，0)，(1m2，0)；(6 分)当m1 时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，m21)，(0，m21)(8 分)(2)方法一：如图2,3，k0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(x1，kx1)，N(0，kx1)，直线QN的方程为y2kxkx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2x21m20.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由韦达定理可得x1x2
7、4k2x1m24k2，即x2m2x1m24k2.(10 分)因为点H在直线QN上，所以y2kx12kx22km2x1m24k2.于是PQ(2x1，2kx1)，PH(x2x1，y2kx1)4k2x1m24k2，2km2x1m24k2.而PQPH等价于PQPH42m2k2x21m24k20，(13 分)即 2m20.又m0，得m 2，故存在m2，使得在其对应的椭圆x2y221 上，对任意的k0，都有PQPH.(14 分)图 1 图 2(0m1)图 3(m1)方法二：如图 2,3，x1(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(x1，y1)，N(0，y1)因为P，H两点在椭圆C上，所以
8、m2x21y21m2，m2x22y22m2，两式相减可得 m2(x21x22)(y21y22)0.(10 分)依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合 故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得 y1y2y1y2x1x2x1x2m2.(12 分)又Q，N，H三点共线，所以kQNkQH，即2y1x1y1y2x1x2.于是由式可得kPQkPHy1x1y1y2x1x212y1y2y1y2x1x2x1x2m22.而PQPH等价于kPQkPH1，即m221.又m0，得m 2.故存在m2，使得在其对应的椭圆x2y221 上，对任意的k0，都有PQPH.(14 分)答题指导：解决轨迹的
9、问题时，要注意以下几点：(1)当动点(或动直线)的位置不确定时，要注意对它们所有可能的情形进行必要的分类讨论，以防以偏概全或遗漏一种或几种情况；(2)解决直线与曲线的交点问题，不仅仅要考虑方程解的个数，还要注意数形结合 1在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OPOA4，则点P的轨迹方程是 _ 2 设F1，F2是双曲线x2y24 的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引F1QF2平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹方程是_ 3如图，已知点A在x轴上，点B在y轴上，且|AB|2，点M分有向线段AB的比为，求点M的轨迹方程，并说明曲线的类型 4已知点M是抛物线y2x上一
10、动点，以OM为一边(O为原点)作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1(1)解(2)曲线上的点 基础自测 1D 解析：由y 9x2得x2y29，因为x2y29 表示一个圆，所以y 9x2表示一个半圆 2 A 解析：以MN的中点为原点建立直角坐标系，并设M(3,0)，N(3,0)，P(x，y)，则PMPN(3x，y)(3x，y)(x29)y20，即x2y29，故P点的轨迹是圆 3D 解析：由(2x3y1)(x31)0 可得 2x3y10 或x31，即 2x3y10 或x4(x3)4y2x 解析：AP(x2，y)，BP(x3，y)，APBP(x2)(x3)y2x2
11、6，整理得y2x.5x24y21 解析：设点M(x，y)，P(x0，y0)，则N(x0,0)，xx0，yy02.x0 x，y02y.又点P(x0，y0)在圆x2y24 上，x02y024.x24y24，即x24y21.考点探究突破【例 11】解：如图所示，设直线MN切圆于N点，则动点M组成的集合是：PM|MN|MQ|(0)因为圆的半径|ON|1，所以|MN|2|MO|2|ON|2|MO|21.设点M的坐标为(x，y)，则x2y21(x2)2y2，整理，得(21)(x2y2)42x(142)0，当1 时，方程化为x54，它表示一条直线；当1 时，方程化为x22212y2132(21)2，它表示圆
12、心为2221，0，半径为132|21|的圆【例 12】解：(1)设动点P(x，y)，则MP(x4，y)，MN(3,0)，PN(1x，y)，由已知得3(x4)6(1x)2(y)2，化简得：3x24y212，即x24y231.点P的轨迹C的方程是：x24y231.(2)设椭圆C的与直线l平行的切线l：x2yD0，将其代入椭圆方程消去x，化简得 16y212Dy3(D24)0.144D2192(D24)0，解得D4.l和l的距离最小值为|124|58 55.点Q到直线l的距离的最小值为8 55.【例 2】解：如图，连接PA，依题意可知|PA|PB|.|PA|PF|PB|PF|BF|21.P点轨迹为以
13、A12，0，F12，0 为焦点，长半轴长为 1 的椭圆 其方程可设为x21y2b21.又c12，a1，b2a2c234.故P点的轨迹方程为x243y21.【例 3】解：设ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)，则 xx023，yy023，即 x03x2，y03y2.点C在y3x21 上，y03x021.3y23(3x2)21，整理得y9x212x3.ABC重心的轨迹方程为y9x212x3.演练巩固提升 1x2y40 解析：OP(x，y)，OA(1,2)，则OPOAx2y4.点P的轨迹方程为x2y40.2x2y24 解析：如图，延长F1P交QF2于F1点，连接PO.则在F1F2F1中，|PO
14、|12|F2F1|12(|QF1|QF2|)12(|QF1|QF2|)2，即|PO|2，P点的轨迹方程为x2y24.3解：设M点坐标为(x，y)，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，b)，则a2b24，又 xa1，yb1，当0 时，即 a(1)x，b1y，(1)2x212y24.(1)若1，则x2y21 表示以原点为圆心半径为 1 的圆；(2)若1 或1，则x24(1)2y242(1)21 表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；(3)若 01 或10，则x24(1)2y242(1)21 表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；(4)若0，则 xa，y0.又2a2，即y0，2x2，则M点的轨迹表示线段 4解：设动点P(x，y)，M(x0，y0)，在正方形MNPO中，|OM|OP|，OPOM，有 x02y02x2y2，yxy0 x01.又点M(x0，y0)在抛物线y2x上，得y02x0.由得y0 x0 xy，代入得x0 x02x2y2，x0y2x2.将代入，得x02x0 x2y2，将代入，得y4x4y2x2x2y2，化简，得y2x4，x2y(y0)为所求轨迹方程