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1、第1页/共63页 在 连续第2页/共63页定义 3.7（单侧连续）左连续；右连续。若若第3页/共63页定义 3.8注:在定义域上连续的函数称为连续函数.第4页/共63页例1证第5页/共63页第6页/共63页二、连续函数的四则运算设则（1）（这里为常数）;（2）（3）第7页/共63页三、复合函数的连续性定理 3.14第8页/共63页三、不连续点的类型第9页/共63页不连续点的分类 第一类不连续点(跳跃间断点)跃度。跳跃间断点。第10页/共63页 例:符号函数1-1xyo 是第一类间断点。第11页/共63页 第二类间断点 第12页/共63页 例:第13页/共63页狄利克雷函数在定义域R内每一点处都
2、间断,且都是第二类间断点.第14页/共63页 可去间断点 第15页/共63页例解：第16页/共63页如上例中,第17页/共63页初等函数的连续性定理3.15 一切初等函数在其定义域上都是连续的.第18页/共63页（1）三角函数.反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它们的连续性。为此我们需要闭区间上连续函数的介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。（2）指数函数.第19页/共63页设一组实数的闭区间序列(i)定义3.10满足：(ii)则 构成一个区间套 第20页/共63页（区间套定理）设 是一个区间套，则必存在唯一的实数r,使得r属于所有闭区间 即
3、 且 定理3.16证明：用单调有界原理证明区间套定理：第21页/共63页定理3.17 连续函数介值定理 若 在 连续，则存在，使得 证明：用区间套定理。记用二等分，若，则定理证完。否则，若则取；若 则取 用 二等分，如此继续下去，得一区间套，满足 根据区间套定理，知存在，有 由 在 r 连续，知 故 定理证完。第22页/共63页反函数的连续性定理3.18(反函数存在、连续性定理)第23页/共63页（3）反三角函数.应用反函数连续性定理，继续证明定理3.15。反三角函数在其定义域内皆连续.第24页/共63页（4）对数函数.（5）幂函数.总结 初等函数的连续性一切初等函数在其定义域上都是连续的.注
4、：一般可用函数的连续性用代入法求极限。第25页/共63页5无穷小量与无穷大量的比较第26页/共63页一、无穷小量的比较（一）无穷小量定义 1第27页/共63页（二）无穷小量的比较极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限第28页/共63页 高阶无穷小量 第29页/共63页 同阶无穷小量 第30页/共63页第31页/共63页 等价无穷小量 定义第32页/共63页定理 1第33页/共63页常用的等价无穷小:第34页/共63页第35页/共63页第36页/共63页第37页/共63页第38页/共63页第39页/共63页第40页/共63页（三）无穷小量的阶:第41页/共63页（四）无穷
5、小量的性质:第42页/共63页问题:任何两个无穷小都可以比较吗？不一定 例当 时都是无穷小量，故当 时,第43页/共63页二、无穷大量的比较（一）无穷大量定义 2第44页/共63页（二）无穷大量的比较 高阶无穷大量 第45页/共63页 同阶无穷大量 第46页/共63页第47页/共63页 等价无穷大量 定义第48页/共63页定理 2第49页/共63页内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则柯西准则第50页/共63页4.函数极限的或定义及应用5.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理6.无穷小
6、量与无穷大量的定义7.无穷小量与函数极限的关系8.无穷小量与无穷大量的关系第51页/共63页9.无穷小量的比较设 ,对同一自变量的变化过程均为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小第52页/共63页在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在第53页/共63页习题习题1.设函数提示提示:在 x=0 连续,则 a=,b=.第54页/共63页有第二类间断点及可去间断点解解:为第二类间断点,所以为可去间断点,极限存在2.设函数试确定常数 a 及 b.第55页/共63页3.求下列极限：提示提示:无穷小有界第56页/共63页令第57页/共63页第58页/共63页5.当时,是的几阶无穷小?解解:设其为的阶无穷小,则因故第59页/共63页补充题补充题1.求解解:令则利用夹逼准则可知第60页/共63页 2.求解:原式=1(2000考研)第61页/共63页证证:3.证明:若 令对任意当时,有又根据有界性定理,使取则在内连续,存在,则必在内有界.第62页/共63页感谢您的观看。第63页/共63页