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1、第三章第三章 极限与函数的连续性极限与函数的连续性一一 割圆术：割圆术：刘徽（公元 3 世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为 Sn当 n 越来越大时，Sn 越接近于圆的面积。即：求圆的面积就要看当 n无限增大时，Sn 的变化趋势这就是数列的极限。11 极限问题的提出极限问题的提出如图所示,可知二二 瞬时速度瞬时速度 以前（中学）一般讨论平均速度：需以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻讨论一个运动的物体在某一时刻 t 的速度的速度（设为瞬时速度）（设为瞬时速度）的变化趋势，的变化趋势，思想：时间段思想：时间段 t,t+h上的平均
2、速度上的平均速度 ，让时间段越来越小，让时间段越来越小，就越来越接近于就越来越接近于 v让让 h 无限变小，研究无限变小，研究这就是函数的极限。这就是函数的极限。2 数列的极限数列的极限 定义域为正整数的函数称为数列，记为xn即有xn 是数列的第 n 项，也叫做数列的通项。数列也可表示为写出来就是 写出来就是 1，4，9，16，写出来就是 0，2，0，2，关心的是：当无限增大时，的变化趋势。写出来就是 写出来就是 例如例如1、极限的概念=容易看出，当无限增大时，无限接近于0，因而的极限为0。=当的极限也是 0。无限增大时，它的值时而为正，时而为负，但总的趋势仍然是无限的接近于0这个数，因此例例
3、1例例2无限增大时，越变越小，无限的接近于1，因此的极限是1。=即当例例3=并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。当无限增大时，也无限增大，一个常数，因此也没有极限。它在0和2两个数中不停的跳动，前三个数列的特点：当无限增大时，的值无限地接近某个数 .例4，例5中的数列没有极限。“当无限增大时，无限接近于”是什么意思?例例5 5例例4 4也不是无限地接近以数列以数列为例：当为例：当无限增大时，无限增大时，无限接近于无限接近于0与与0可以任意接近，要多近有多近可以任意接近，要多近有多近可以任意小，要多小有多小可以任意小，要多小有多小总能小于总能小于任给一个正数任给一个正数，无论多么小，无论多么
4、小，只要只要n足够大足够大(充分大充分大)无限用任意性无限用任意性来反映来反映分别对分别对(只要只要n 10),0.001(只要只要n 1000)尽管尽管“很小很小”，但毕竟是确定的数。要描述，但毕竟是确定的数。要描述可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到，才行。这也能够做到。从才行。这也能够做到。从可知只要可知只要即可。也就是说即可。也就是说 取取，当，当时，时，即从第即从第项以后的所有项都满足项以后的所有项都满足例：例：都可以做到都可以做到.综上：“当无限增大时，无限接近于0”的实质是：对任意给定的（无论它多么小），总存在
5、一个正整数（例取），时，.将上面的语言抽象化，有下面定义：正数当是一数列，是一实数，若对于任意给定的正数 ,存在正整数，当时，都有 ,则称 为数列收敛，且收敛于 ,记为 或的极限。或数列没有极限的数列称为发散数列。的极限为 ”的几何意义“数列（不一定去找满足要求的最小的 ）几点说明：几点说明：1.使用邻域概念：开区间称为的邻域，记为对任意给定的，存在，当时，定义中 必须具有任意性：这样才能保证与但为表明渐近过程的不同阶段，又具有相对固定性。即是通过无限多个相对固定性表现出来的。的无限接近，的任意性这就是任意与固定的辨证关系。的某个函数也可有同样作用。3.2.定义中，自然数 不是唯一的。若存在满
6、足要求，任一自然数都能起到的作用，则比大的所以强调自然数的存在性4.下面看几个例子：证明 证明：对任意给定的，要使，只要.取,则当的极限为0.时，有故例例6，证明证法1：若，结论显然成立。故不妨设对任意给定的，不妨设，要使，即只要 ，令，则当时，有.这就证明了设证法2：由知存在，使得，从而 对任给的，要使，只要放大后的.因此取，则当时，有这就证明了 .不妨设例例7极限为0的数列称为无穷小量。下面给出非常重要的定义：的极限为 的充要条件是：是无穷小量。值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数.由极限的定义显然有,以a为极限等价于数列以0为极限.我们把它写成下面的命题从前面的例子可见，
7、的过程，出发，看满足条件的是否存在。我们只要找到一个就可以了，不管用的是什么方法。适当放大到于是我们很容易找到当然放大要适当，要保证把放大后仍然是无穷小量。整个证明过程实际上是找采用的是反推法，即从证明2用的是适当放大法，它将证明证明：若结论显然成立。.记，则 因此对任意给定的，不妨设，取，则当时，有最后设。这时存在使，因此由于，故对任意给定，存在，当时，有这样我们证明了当时，总有设例例8证明证明：当时，对任意给定的，取则当即时，有例例92、极限的四则运算与性质寻找求极限的方法则 定理实际上说的是：极限运算和四则运算可以交换次序。设给出收敛数列的两个性质：称数列有界，若存在正数对一切的成立，等
8、价于：若存在，使得，又称分别为的下、上界。，使得（有界性）有极限存在的数列必有界。若无界，则发散。证明设数列有极限a.由定义，对 则存在N,当，时有因此令则这就证明了是有界的。证明：由知对，存在N,当 nN时，有，从而证毕。（保号性）若，则存在N，当时，有 设若则存在，当时，有若则存在，当时，有证明：由知对存在当 时，有即有 定理3.1的证明：对任意，有任给，由及由定理3.2，知存在，使又知存在，当时，有并存在，当时，令则当时，有这就证明了有根据极限定义，由，根据推论3.2，存在，当时，有从而当时，有已知由极限定义，对任意给定的存在，当时，有存在，当时，有若，是常数，则若是无穷小量，是有界数列
9、，则是无穷小量。由定理3.1知，无穷小量的代数和、积仍是无穷小量。令则当时，有这就证明了 求解 因为，是有界数列，例例1010而所以求解 例例1111更一般的，若是正整数，则 （保序性）若，且则存在当时，有（用定理3.3的证明方法）对，由知存在当时，有则有 又由 知存在，当时，有则有，则当时，有令，则 由定理 3.3 知,存在当时，有即 ，这又证明了定理3.5 证法2证法1,令（用定理3.3的结论）取或如何?定理3.6（极限不等式）若对任意的正整数 n，有且则证明 用反证法。如果不然,设，当，与假设条件矛盾，故必有则由定理3.5，存在时,有如果条件注意到数列的前有限项并不影响数列的极限，因此定
10、理3.6的条件可以减弱为“存在 ，当 时,有改为并不能得到的结论。例如，可见结论也只能得到定理3.6表明，在极限存在的前提下，可以在不等式两边取极限，但千万不要忘记“带上等号”。但定理3.7（唯一性）若数列极限存在，则极限是唯一的证明用反证法。如果不然，设有极限a和b，不放设对，存在，当有时同样存在，当时有故当时，有这是不可能的，这就证明了极限的唯一性。定理定理3.8.夹迫性夹迫性证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有故 例12设其中求证证明由于而由定理3.8即得例13证明证法1当时，令其中这时因此故已知由定理3.8得时，由平均值不等式得 而由定理3.8得当证法2（单调有界原理单调有界数
11、列存在极限）(要证有极限，到目前只能用定义才可能可行，然后再证这个数就是的极限.)单调上升有上界的数列必有极限。单调下降有下界的数列必有极限证明：设数列单调上升有上界一个合适的数如何确定?想到实数基本定理。故要先确定需要构造实数得一个分划：A|B令B B是全体上界组成的集合，即取A=RB,则A|B是实数R的一个分划：事实上,不空：有上界，知B不空，又单调上升，故不是的上界,所以任取（往证 ),因 a不是的上界，所以存在使，又b为的一个上界，故，所以由，即A也不空由A=RB 知A，B不漏不漏：不乱：根据实数基本定理，存在，使得对任意，有 下证任给（要证：，当时，）由于，即不是的上界，故存在N，使
12、，又单调上升,所以当又，即为的一个上界，故对任意 n，有所以当时，有，即这就证明了单调有界原理只断言极限存在，而没有给出如何求出极限。但即使只给出极限的存在性，有时已能提供计算的方法。设求的极限。例14解 显然单调上升，下面用数学归纳法证明有上界.若则,故从而必有极限。设极限为a，由令，即得解得或由于，故必有。舍去故单调上升有上界，显然注:上述例14中的数列是一个递推数列（迭代数列），一般定义在求此数列的极限时，极限存在性的前提是非常重要的。，它的极限不存在，但是它满足，令两边取极限，使得即最后看单调有界原理的一个重要结果，例如考察数列，这显然是荒谬的结论证明数列的极限存在.记这一极限为e，即
13、例15证明见45页注:前面从几个方面（特别是定义）叙述的极限是 如何用肯定的语气叙述“不是以为极限”对照极限的定义，根据任意与存在的对应规则，逐步分解来找：对任给，存在N，当时，不成立存在某个不存在N，使当时，存在存在，满足但总之：存在，对任意的N，存在使不成立”?对任意的N，或“无穷大量3、在发散的数列中，有一种特殊的数列 ：当无限增大时，也无限增大。例如：我们称这种数列为无穷大量，仿语言，有定量化的定义。定义 3.4设是一数列，若对于任意给定的G0，时，有 则称是无穷大量,或存在正整数N，当记为从几何上看，无穷大量是指任意给定区间必然从某项起，后面的所有项都落在区间之外。换句话说，数列至多
14、有N项落在区间之中。证明对任意给定的G0,不妨设G2，要使即,只要令，则当时，有，即是无穷大量.和的定义，分别称为正穷大量和负无穷大量.例16：是无穷大量。证明类似给出例17 证明证明 对任意给定的 ，不妨设 ，要使 ，只要,取，则当时，有故非无穷大量的肯定叙述：使由此证明：1，0，2，0，3，0，,n，0,不是无穷大量。无穷大量的运算法则和性质：1、无穷大量和无穷小量的关系：是无穷大量当且仅当是无穷小量。2、若是正（负）无穷大量，则是正（负）无穷大量。3、若是无穷大量，是有界量，则是无穷大量。4、若是无穷大量，满足：存在N，当时，有，则是无穷大量。例18 若，则证明 由，则存在，当时，有由，则对任意给定的，存在，当时，有令 则当时，有，所以例19证明由于，利用无穷大量和无穷小量的关系即得证。证明综合上例：设时有