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1、数学分析多变量函数的连续性.现在学习的是第1页，共17页x D 00，存定义13.1在 5 0,凡是()fxla我们就称函数f在点 处有极限l.记作alim(),()()xf xlf xl xa或现在学习的是第2页，共17页对二元函数具体可表述为：,f x yA时总有00(,)(,)lim(,).x yxyfyAx则称0,0,若00(,)xyDxD22000 xxyy且现在学习的是第3页，共17页0000(,)0,0,0max,xyDxDxxyyf x yA 对，若当且 2时，总有、，则.0000(,)0,0,0,xyDxDxxyyf x yA 对，若当且 且00,取=当00,对一切mN 都可
2、以 取到点，且,()mmxDaf xli此时点列，且x但数列不以 为极限.证明：显然；i1212 ,lim()lim()lim().ijjijxaaxaDaf xAfAAAf xy设 xy，是它们的聚点，若存在极限，y,但，则推不存在论现在学习的是第11页，共17页2200,0,0,(,)lim(,).0,0,0.xyxyxyxyf x yf x yxy 例设求 6 000000lim(,)lim 00,lim(,)lim 00,xyxxyyf x yf x y解：2220000lim(,)lim.()1xxy kxy kxykxx kxkf x yxkxk但取，00klim(,).xyf x
3、 y其值随 取值不同而变化，所以不存在现在学习的是第12页，共17页aalim(),lim()xxf xlg xm 设f,g:DR,如果存在有限极限 定理13.9那么有：olimxa(fg)(x)=l1m;lim();xafg xlmo 2lim(),(0).xaflxmgm03 naaRrlimxr 设f以为球心,为半径的某个空心球B(a)，中有定义，并且f(x)=l;一元定理函数 在以l为13.20中心的.tllim的空心球U=t:0 t-l 有定义，且(t)=m.(),lim().xaaUf xmr再设f B则有现在学习的是第13页，共17页,xaxa00和 定理13.21(Cauchy
4、收敛原理）0,0,对任意给定的存在使得凡是,Dx x 且a:.lim()xDfDRf xn设DR,a，那么极限存在同时成立，就一定有()().f xf x现在学习的是第14页，共17页累次极限)xy00存在，那么称此极限为函数f(x,y)在点(x,y 先对 后对 的累次极限20000(,)(,)DRxyDxy设 是上的开集，为一定点，z=f(x,定义 13y)为定义在D上的二元函数，如果对于.15每个固定000y0lim li,lim(,),m(,)y xxxxf xyyfyx y极限存在 并且极限现在学习的是第15页，共17页22.,xy由于 f(x,y)所以二重极极限在，累次显然不存在 研
5、究例5 的两个例 7累次极限.2211)sincos0000yxyxxxy(x且设 f(8 x)=例1sin0000yxyxxy且设 f(x)例9=(,)(0,0)lim(,)0,x yf x y在(0,0)点，显然即二重极限存在.0 y0y00limlim(,)0,limlim(,)xxf x yf x y存在，但不存在.现在学习的是第16页，共17页000000(,)(,)f(x,y)(,)lim(,)lim lim11.21(,),.x yxyxxyyxyf x yf x y若在点存在重极限 定理 与累次极限则它们必相等000000(,)(,)1 lim lim(,)lim lim(,)lim(,),.xxyyyy xxx yxyf x yf x yf x y若累次极限与和重极限都存在 则三推 者相等论000000(,)(,)lim lim(,)lim lim(,)lim(,).2xx yyyy xxx yxyf x yf x yf x y若累次极限与 存在但不相等，则重极限必论 不存在推现在学习的是第17页，共17页