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1、2023/2/151n事件和概率：讨论描述随机现象及其统计规律的术语及概念、现象发生可能性的计量、相互关系和运算；n随机变量及分布：讨论随机现象的确定性数学表达，相同条件、大量重复观测下随机变量所遵循的取值规律；n数字特征：讨论分布特征的数字表达；n大数定律：讨论重复试验次数对频率和均值观测稳定性的影响。1 概率分布本章内容第1页/共176页2023/2/1521.1 事件与概率Event and Probability1 概率分布第2页/共176页2023/2/153 自然界存在两种现象，确定性现象：一定条件下必然发生；随机性现象：一定条件下可能发生，但结果不止一个，哪个结果发生预先并不知道
2、。随机现象虽然表现为不确定性，但在大大量量、相同条件重复试验相同条件重复试验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机现象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，正面朝上的频率接近0.5。随机现象(Random Phenomenon)1.1 事件与概率第3页/共176页2023/2/154 数理统计学就是研究大量的随机现象，但限定为一类特定的随机现象，即在相同条件重复试验相同条件重复试验下所能观测到的随机现象。它研究随机现象的发生机制、统计规律和统计特征，研究解决工程实际问题的统计方法。随机现象(Random Phenomenon)1.1 事件与概率第4页/共176页2023/2/1551
3、.1.1 事件Random Event1.1 事件与概率第5页/共176页2023/2/156满足下述三个条件的试验称为随机试验：（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果。随机试验随机试验在统计学里可简称为试验试验。1.1.1 事件(1)随机试验(Random Experiment)第6页/共176页2023/2/1571.1.1 事件E1：一枚硬币抛一次，观察出现哪一面；E2：一枚硬币抛三次，观察正反面的排列；E3：一枚硬币抛三次，观察正面出现的次数；E4：一颗
4、骰子抛一次，观察出现的点数；E5：在一批灯泡产品中，测定任一只的寿命；E6：在一批灯泡产品中，测定任一只的阻值。E7：在一超市里，观察每10分钟进来的人数；(1)随机试验(Random Experiment)第7页/共176页2023/2/158 广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看作是随机试验。比如，多次抛一枚均质硬币是随机试验，观测一个种族的身高、体重等是随机试验，观测某作物的株高是随机试验，观测条件近似动物对某种药物的生理反应是随机试验，小区测产是随机试验，等等。1.1.1 事件(1)随机试验(Random Experiment)第8页/共176页2023/2/1591.
5、1.1 事件 随机试验的每一个可能结果，称作基本事件（elementary event），亦称作简单事件（simple event），基本事件是描述随机试验不可能再分的事件。(2)基本事件(Elementary Event)第9页/共176页2023/2/15101.1.1 事件 抛硬币试验，正面朝上是一个基本事件，反面朝上也是一个基本事件。观测一个种族的身高状况，1.75米是一个基本事件，1.83米是一个基本事件，1.45米也是一个基本事件。小区测产，25.4kg是一个基本事件，26.7kg也是一个基本事件。花括弧括内容表达事件，常用于利用文字或表达式陈述事件的场合。(2)基本事件(Elem
6、entary Event)第10页/共176页2023/2/15111.1.1 事件 由若干个基本事件组合而成的事件，称作复合事件（compound event），也称作复杂事件。通常所说的随机事件（random event）是基本事件和复合事件的统称，即可指基本事件又可指复合事件。(3)复合事件(Compound Event)第11页/共176页2023/2/1512 事件A=HHH,HHT,HTH,HTT表示“第一次出现的是正面”用t表示灯泡的使用寿命（h），则 事件B1=t1000表示“灯泡是次品”事件B2=t1000表示“灯泡是合格品”事件B3=t1500表示“灯泡是一级品”1.1.1
7、 事件(3)复合事件(Compound Event)第12页/共176页2023/2/15131.1.1 事件 连续两次抛掷一枚硬币，均出现正面是一个复合事件，出现一正一反是一个复合事件，均出现反面也是一个复合事件。观测一个种族分区域的身高，平均1.77米、平均1.68米均是复合事件。小区测产，产量在10kg20kg之间是一个复合事件，产量在20kg30kg之间也是一个复合事件。(3)复合事件(Compound Event)第13页/共176页2023/2/15141.1.1 事件 每次试验中一定发生的事件称作必然事件（certain event），在任何一次试验中都不可能发生的事件称作不可能
8、事件（impossible event）。随机事件简称作“事件事件”，而将不可能事件和必然事件视作随机事件的两个极端事件。(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event)第14页/共176页2023/2/1515 掷一枚均质硬币试验，出现两个面之一是必然事件，两个面谁也不出现是不可能事件。小区测产，产量小于0kg是不可能事件，产量大于等于0kg是必然事件。1.1.1 事件(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event)第15页/共176页2023/2/1516我们称一个随机事件发生，当且仅当它所我们称一个随机事件发生，
9、当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现包含的一个基本事件在试验中出现1.1.1 事件考察抛一枚硬币的试验，事件 A=出现正面若试验结果为出现反面，则事件A未发生若试验结果为出现正面，则事件A发生考察小区测产的事件 A=产量大于10kg若试验结果为11.2kg，则事件A发生若试验结果为5.4kg，则事件A未发生(5)事件发生(Event come about)第16页/共176页2023/2/15171.1.2 概率Probability1.1 事件与概率第17页/共176页2023/2/1518 用于度量事件发生可能性大小的数值称作事件的概率（probability）。事件通常可用大写字母
10、表示，如A、B等，相应的概率可用P(A)、P(B)等表示。1.1.2 概率(1)事件的概率第18页/共176页2023/2/1519概率具有下述性质：设A为任一事件，则0P(A)1；对于必然事件，有P()=1；对于不可能事件，有P()=0。1.1.2 概率(2)概率的性质第19页/共176页2023/2/1520不可能事件P()=0，必然事件P()=1。但反过来不成立，因为概率只代表“可能性”的大小，可能性为0的事件不一定总不发生，可能性为1的事件不一定总是发生比如小区测产，事件产量是25kg的概率等于0，但它不一定总不发生；事件产量不是25kg的概率等于1，但它不一定总是发生 1.1.2 概
11、率(2)概率的性质第20页/共176页2023/2/1521 在相同的条件下进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数。比值nA/n 称为事件A发生的频率，并记成fn(A)，即1.1.2 概率(3)概率的统计定义第21页/共176页2023/2/1522 历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬币试验，试验者观测了抛掷次数、正面出现次数和正面出现频率等。结果发现，频率在0.5附近摆动，详见表1.1。试验重复次数愈大频率与0.5的偏差愈小，表现出向0.5稳定趋近的倾向，因此预测事件的概率为0.5。试验次数愈大，事件频率在某个定值两侧摆动的幅度愈小，称作事件频率具有稳定性
12、事件频率具有稳定性。1.1.2 概率(3)概率的统计定义第22页/共176页2023/2/1523 251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.4880.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 nAfn(A)n=500时抛硬币试验 实 验 者 德摩根 蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊 n nH fn(H)2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005表表1.11.11.1.2 概率(3)概率的
13、统计定义第23页/共176页2023/2/15241.1.2 概率 随试验次数n的增大，若事件A的频率fn(A)越来越幅度变小地在某一常数p两侧摆动摆动，则称常数p为事件A的概率(probability)，记作P(A)=p。称此陈述为概率的统计定义。(statistical probability)。(3)概率的统计定义第24页/共176页2023/2/15251.2 随机变量及分布Random Variable and Probability Distribution1 概率分布第25页/共176页2023/2/1526前面事件与概率的研究仅仅实现了随机现象及其关系的概念描述，远没有达到工程
14、应用的程度，难于解决复杂多样的实际问题；引入人们熟悉的微积分实现随机现象的数值化定量分析，使能用计算机高效地处理工程实际的统计学问题；随机变量及其分布的理论和方法，实质上就是利用确定性数学方法研究和解决随机数学（统计学）问题。1.2 随机变量及分布(1)随机现象定量分析的意义第26页/共176页2023/2/1527实施某随机试验，若用实数变量X表示试验结果，则X的取值明确可知且不止一个，试验前并不知道X会取那个值，表征随机试验结果的实数变量X称作随机变量；X的值用实数x表示，即一次试验的结果，是所有可能试验结果中的一个，称x为X的观察值，简称观测(observation)；(2)随机变量(R
15、andom Variable)1.2 随机变量及分布第27页/共176页2023/2/1528 由于随机变量X量化（数值化或数字化）表达了随机试验结果，因此它也具有随机试验的三个基本特征：随机变量X可在相同条件下重复观测；随机变量X的所有可能值明确可知，并且不止一个；每次观测总是恰好获得X所有可能值中的一个，但观测前却不能肯定是哪一个。1.2 随机变量及分布(2)随机变量(Random Variable)第28页/共176页2023/2/1529掷一枚均质硬币试验：样本空间1=H,T，随机变量表达该问题，以“X=1”表示正面向上的事件，以“X=0”表示反面向上的事件；掷一枚骰子试验：样本空间=
16、1,2,3,4,5,6，随机变量表达该问题，以“X=1”表示出现1点的事件，“X=2”表示出现2点，以此类推；作物育种试验：以“X4.5”表示产量大于4.5kg的事件，不等式表达一个基本事件的集合。1.2 随机变量及分布(3)随机事件(Random Event)第29页/共176页2023/2/1530用随机变量X和某指定观测x可定义下述3种随机事件：试验结果为x的事件：X=x试验结果小于或等于x的事件：Xx试验结果大于x的事件：Xx1.2 随机变量及分布(3)随机事件(Random Event)第30页/共176页2023/2/1531概率分布是概率论的基本概念之一，它用函数和微积分描述随机
17、变量取值的概率规律。考察随机变量X与某指定观测x的关系，用事件概率P(Xx)以及事件概率的变化速率P(Xx)/1或dP(Xx)/dx描述概率分布；离散随机变量用求和函数描述概率分布；连续随机变量用积分函数描述概率分布。1.2 随机变量及分布(4)概率分布(Probability Distribution)第31页/共176页2023/2/1532本节主要讨论下述几个问题：随机变量、随机变量的观测、事件、概率四者之间的关系；离散变量的分布函数和概率密度；连续变量的分布函数和概率密度；常见离散分布和连续分布；随机变量的标准化变换；正态分布的概率计算。1.2 随机变量及分布本节内容第32页/共176
18、页2023/2/15331.2.1离散变量的概率分布Discrete Variable and Probability Distribution1.2 随机变量及分布第33页/共176页2023/2/1534若随机变量X或事件X=x的所有可能取值为有限个或可列个，即取值存在间隔，则称X为离散随机变量(discrete variable)。比如，抛硬币试验取值0,1，播种穴粒数取值0,1,2,，以及其它“计数”类的随机变量。为便于数学处理，经常将随机变量的取值范围扩展到离散无穷域0,1,2,+，只不过取某些值的概率等于0。1.2.1 离散变量的概率分布(1)离散随机变量(Discrete Var
19、iable)第34页/共176页2023/2/1535离散随机变量用X表示，它的观察值用实数x表示，则离散变量随机试验中所发生的随机事件用等式表示：1.2.1 离散变量的概率分布(2)随机变量、观察值和随机事件随机事件随机事件观察值观察值第35页/共176页2023/2/1536观察值x按大小顺序分别记作xi，xixi-1，i=1,2,，则离散随机变量X的分布函数F(xi)定义如下：分布函数亦称作概率累积函数Cumulative Distribution Function(3)分布函数(Distribution Function)1.2.1 离散变量的概率分布第36页/共176页2023/2/
20、1537事件X=xi的概率记作pi=P(X=xi)。则离散随机变量X的概率密度f(xi)定义分布函数的变化率：(4)概率密度(Probability Density)1.2.1 离散变量的概率分布概率密度记为离散变量的概率密度Probability Density亦称作概率函数Probability Function第37页/共176页2023/2/1538 概率密度表征离散随机变量取值x与取该值概率的函数关系，即描述按观测值大小顺序排列的概率分布规律。按定义，概率密度可理解为观察值的一个单位增量所对应的分布函数增量，或者发生事件离散随机变量X等于某指定观测x的概率。1.2.1 离散变量的概率
21、分布(4)概率密度(Probability Density)第38页/共176页2023/2/1539概率密度可表示成如下的矩阵形式 矩阵的第1行为随机变量的观察值，第2行为事件X=xi的概率pi，矩阵元素上下对应。1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)第39页/共176页2023/2/1540抛硬币试验抛骰子试验1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)第40页/共176页2023/2/1541 所谓离散随机变量X的概率分布，就是指分布函数F(xi)和概率密度f(xi)两个基本函数，它们提供了随机变量
22、概率分布规律的完整信息。(5)概率分布(Probability Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第41页/共176页2023/2/1542概率值非负：全概率和等于1：两极端事件的分布函数值：(6)离散变量概率分布的性质1.2.1 离散变量的概率分布第42页/共176页2023/2/1543若离散随机变量X的随机试验仅有两个可能结果，可将其表述为X=1和X=0两个事件，则X服从0-1分布。抛硬币试验，出现正面为1，出现反面为0种子发芽试验，发芽为1，不发芽为0杀虫剂试验，有效为1，无效为0田间播种出苗试验，出苗为1，不出苗为0(7)0-1分布(0-1 Distributi
23、on)1.2.1 离散变量的概率分布第43页/共176页2023/2/15440-1分布概要：(7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第44页/共176页2023/2/1545(7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第45页/共176页2023/2/1546遵循0-1分布规律的试验称作贝努利试验(binomial experiment)做n次贝努利试验称作n重贝努利试验n次抛硬币试验，统计正面出现的次数发芽试验，统计n粒种子中发芽的种子个数杀虫剂试验，统计n条虫子中被灭杀虫口数播种试验，统计n粒种子中出苗的种子
24、个数(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第46页/共176页2023/2/1547 设贝努里试验随机变量 仅取0和1两个观察值，对于n重贝努里试验，若每次试验中事件=1发生的概率记为p，那么用以描述n次试验中事件=1发生次数的随机变量X可用随机变量系之和表示：(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第47页/共176页2023/2/1548=1代表什么与我们所关心的问题有关(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第48页/共176页2023/
25、2/1549随机变量系之和服从参数为n,p的贝努利分布(binomial distribution)，亦称二项分布，记作XB(n,p)，其中0p1。二项分布的概率密度为：(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第49页/共176页2023/2/1550Binomial分布概要：(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第50页/共176页2023/2/1551(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第51页/共176页2023/2/1552(8)二
26、项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布事件X=x的概率等于n个0-1积事件的条件概率第52页/共176页2023/2/1553P=0.3,0.5,0.7(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第53页/共176页2023/2/1554 设Y=X/n，相当于X乘了一个常数1/n，它指n重贝努利试验中事件出现的频率。不难推论，频率Y仍服从二项分布。即(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第54页/共176页2023/2/1555二项分布是具有n重贝努里试
27、验背景的一种重要分布当n=1时，二项分布转化成0-1分布。因此0-1分布可被视作二项分布的一个特例由于二项分布随机变量X是0-1分布随机变量的线性组合，因而X可被视作0-1总体抽样获得的统计量(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第55页/共176页2023/2/1556 观察某作物田间出苗状况，若每穴粒数相同，则沿播行单位长度上（当作小区）的出苗数或出苗率服从泊松分布；对一个容器按等时间间隔（看作小区）观测细菌的存活数；公路交叉路口单位时间间隔内过往的汽车数；汽车站或理发馆单位时间间隔内到达的顾客数等均服从泊松分布。(9)泊松分布(Pois
28、son Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第56页/共176页2023/2/1557Poisson分布概要：(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第57页/共176页2023/2/1558以顾客去理发馆为例导出Poisson分布：设每人去理发馆的概率是p，则不去的概率是1-p；当顾客源容量n与理发馆容量处于供需平衡状态时，有np=，且n愈大p愈小顾客是否去理发馆是n重贝努利试验，设去理发馆的人数为X，则人数为x的概率为(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第58页/共176
29、页2023/2/1559顾客源容量n很大时则概率p很小，去理发馆人数X等于x的概率可用下述极限近似(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第59页/共176页2023/2/15601.2.2.1 离散随机变量的概率分布(9)泊松分布(Poisson Distribution)第60页/共176页2023/2/1561分布函数概率本质：全概率和：(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布第61页/共176页2023/2/15621.2.2连续变量的概率分布Continuous Variable and
30、Probability Distribution1.2 随机变量及分布第62页/共176页2023/2/15631.2.2 连续变量的概率分布若随机变量X或事件Xx的中的临界观测x可在一定范围内连续(无缝、不间断)取值，即值域为(,+)或任意指定区间；或者说某区间内的所有数值都是随机试验的可能结果；则称X为连续随机变量(Continuous Variable)小区产量在(10,65)内取值，是连续随机变量玉米株高在(135,195)内取值，是连续随机变量其它“计量”类变量也是连续随机变量。(1)连续随机变量(Continuous Variable)第63页/共176页2023/2/1564随机
31、事件随机事件随机事件随机事件(2)随机变量、临界观察值与事件临界观察值临界观察值1.2.2 连续变量的概率分布第64页/共176页2023/2/1565 若X为一连续随机变量，x为任意实数，x+，则X的分布函数或概率累积函数F(x)定义为：若将X看作数轴上的随机点，那么分布函数F(x)的直观意义就是随机点X落在区间(,x)上的概率。定义域为整个数轴，值域在0,1上。(3)分布函数(Distribution Function)1.2.2 连续变量的概率分布第65页/共176页2023/2/1566不可能事件：事件 的概率F()=0；必然事件：事件 的概率F(+)=1概率本质：单调非减：(3)分布
32、函数(Distribution Function)1.2.2 连续变量的概率分布第66页/共176页2023/2/1567 连续随机变量的分布函数F(x)是事件的概率，是连续函数，其函数曲线呈现为“S”形。(3)分布函数(Distribution Function)1.2.2 连续变量的概率分布第67页/共176页2023/2/1568设F(x)是随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)，即f(x)0，使对任意实数x有则称f(x)为连续随机变量X的概率密度(probability density)或密度函数(density function)或分布密度(distribution dens
33、ity)(4)概率密度(Probability Density)1.2.2 连续变量的概率分布第68页/共176页2023/2/1569密度非负：全概积分：导数关系：1.2.2 连续变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)概率密度是分布函数的变化速率第69页/共176页2023/2/1570概率密度曲线与x轴所围面积等于1；分布函数F(x)值等于密度曲线f(x)、x轴和X=x直线三者所围区域的面积(图中阴影面积)。1.2.2 连续变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)第70页/共176页2023/2/1571 即随机变量X落在区间(
34、x1,x2)上的概率，等于分布函数F(x)在该区间上的增量。由公式可知，X取任一定值 x1=x2=x的概率为0，这说明，虽然不可能事件的概率等于0，但反过来一个概率等于0的随机事件未必是不可能事件，这一特点是连续随机变量所特有的。公式可用于连续随机变量的概率计算。(5)区间事件的概率1.2.2 连续变量的概率分布第71页/共176页2023/2/1572(5)区间事件的概率1.2.2 连续变量的概率分布第72页/共176页2023/2/1573高斯(Carl Friedrich Gauss,17771855)发表于1809年的绕日天体运动的理论一书涉及了误差分布的确定问题；设某个物理量的真值为
35、，它的n个独立测量值为x1,x2,xn，则可用最大似然法估计：(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第73页/共176页2023/2/1574高斯(Carl Friedrich Gauss,17771855)认为n个独立测量值x1,x2,xn的算术平均是的合理估计，并证明误差概率密度仅在具有下面形式的条件下，的最大似然估计才是n个独立测量值的算术平均，亦即(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第74页/共176页2023/2/1575拉普拉斯(Laplace,1749-1827)根据他所发现的中心极
36、限定理推论，若误差可看成许多量的叠加，误差理应有Gauss分布。这是历史上第一次提到所谓的“元误差学说”；元误差学说：误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成；1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出元误差学说。他把误差设想成由数量很多的、独立同分布的“元误差”叠加而成。(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第75页/共176页2023/2/1576按照海根(G.Hagen)的元误差学说：(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第76页/共176页2023/2/1577株高分组（c
37、m）组中值（cm）频数 频率 164,167)165.51380.06167,170)168.52760.12170,173)171.55520.24173,176)174.56440.28176,179)177.54140.18179,182)180.51840.08182,185)183.5920.04合计2300 1.00 玉米株高观测和频数、频率统计(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第77页/共176页2023/2/1578玉米株高分布(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第78页/共1
38、76页2023/2/1579Normal分布概要：(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第79页/共176页2023/2/1580 固定则概率密度曲线位置不变，曲线形状随的增大而峰值降低及两尾变粗和拉长(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第80页/共176页2023/2/1581 固定则概率密度曲线形状不变，位置随 的增大而右平移(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第81页/共176页2023/2/1582分布函数形状是S型曲线(6)正态分布(No
39、rmal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第82页/共176页2023/2/1583分布函数与概率密度是积分关系(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第83页/共176页2023/2/1584对称性：概率密度曲线关于x=对称极值点：x=是概率密度的唯一极值点，其极值为曲线形状：愈大密度曲线中心愈右移 愈大密度曲线愈低矮肥胖 反之，愈小密度曲线中心愈左移 愈小密度曲线愈高耸瘦峭(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布第84页/共176页2023/2/15851.2.3正态分布的概
40、率计算Calculating the Probability based on Normal Distribution1.2 随机变量及分布第85页/共176页2023/2/15861.2.3 正态分布的概率计算标准正态概率密度标准正态分布函数 若 XN(,2)，当=0=0和=1=1时，称X服从标准正态分布。为区分计，随机变量特别地记作Z，则ZN(0,1)，概率密度函数特别地记作 ，分布函数特别地记作 。(1)标准正态分布第86页/共176页2023/2/1587随机变量变换分布函数变换(2)正态随机变量的标准化变换1.2.3 正态分布的概率计算第87页/共176页2023/2/1588分布函
41、数计算公式：利用事件不等式的等价变换推导如下：(3)正态变量分布函数的计算1.2.3 正态分布的概率计算第88页/共176页2023/2/1589区间事件概率计算公式：(4)正态变量区间事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算第89页/共176页2023/2/1590对称事件概率计算公式(5)正态变量对称事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算第90页/共176页2023/2/1591对立事件概率计算公式：(6)正态变量对立事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算第91页/共176页2023/2/1592示例：示例：设ZN(0,1)，试计算：P(Z1.38)P(|Z|3)(7)标准
42、正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算第92页/共176页2023/2/1593利用分布函数定义和对称事件概率计算(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算第93页/共176页2023/2/1594利用对立事件概率、分布函数定义计算(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算第94页/共176页2023/2/1595(7)标准正态变量的事件概率计算绝对不等式展开区间事件概率分布函数定义对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算第95页/共176页2023/2/1596三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记(7)标准正态变量的事件概率
43、计算1.2.3 正态分布的概率计算第96页/共176页2023/2/1597示例：示例：设XN(3,9)，试计算P(X7.14)P(|X-3|6)(8)一般正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算第97页/共176页2023/2/1598(8)一般正态变量的事件概率计算分布函数定义标准化变换对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算第98页/共176页2023/2/1599利用标准正态分布计算(8)一般正态变量的事件概率计算对立事件概率分布函数定义标准化变换1.2.3 正态分布的概率计算第99页/共176页2023/2/15100利用标准正态计算(8)一般正态变量的事件概率计算不等
44、式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算第100页/共176页2023/2/15101利用标准正态分布计算(8)一般正态变量的事件概率计算对立事件概率不等式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算第101页/共176页2023/2/15102(9)计算X落入k区间的概率示例：1.2.3 正态分布的概率计算第102页/共176页2023/2/15103利用标准化变换、区间事件概率、标准正态分布函数和对称事件概率推导算式1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率第103页/共176页2023/2/151041.2.3 正态分
45、布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率第104页/共176页2023/2/151051.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率第105页/共176页2023/2/151061.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率第106页/共176页2023/2/15107三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记 1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率第107页/共176页2023/2/15108(10)概率0.95和0.99对应的中心区间示例：1.2.3 正态分布的概率计算第108页/共176页2023/2/151091.2.3 正态分布的概率
46、计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间第109页/共176页2023/2/151101.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间第110页/共176页2023/2/15111二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。一般正态分布概率0.95对应1.96区间概率0.99对应2.58区间1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间第111页/共176页2023/2/15112标准正态分布概率0.95对应01.96区间概率0.99对应02.58区间二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95
47、和0.99对应的中心区间第112页/共176页2023/2/151131.3 数字特征Digital Characteristic 1 概率分布第113页/共176页2023/2/15114 随机变量的概率密度曲线可用中心、众数、分散、偏倚、峰凸、关联等特征描述，一个特征用一个数值表达就称作随机变量的数字特征(digital characteristic)。数字特征描述了随机变量观察值分布的集中位置、散布状况和偏倚程度等。数字特征由观察值和概率密度为元素构造，最重要的两个数字特征是期望和方差。什么是数字特征？什么是数字特征？1.3 随机变量的数字特征第114页/共176页2023/2/1511
48、5期望：量度观察值分布的“重心”或“中心”方差：量度观察值分布的分散程度协方差：量度两变量观察值的关联程度相关系数：量度两变量观察值的关联程度峰度：量度观察值分布密度相比正态分布的集聚程度偏度：量度观察值分布密度相比正态分布的偏倚程度随机变量的主要数字特征随机变量的主要数字特征1.3 随机变量的数字特征第115页/共176页2023/2/151161.3.1 随机变量的矩Moment1.3 随机变量的数字特征第116页/共176页2023/2/15117离散随机变量的离散随机变量的k阶原点矩阶原点矩质量面积密度1.3.1 随机变量的矩（1）k阶原点矩(k-order moment)第117页/
49、共176页2023/2/151181.3.1 随机变量的矩（1）k阶原点矩(k-order moment)连续随机变量的连续随机变量的k阶原点矩阶原点矩质量面积密度第118页/共176页2023/2/151191.3.1 随机变量的矩（4）k阶中心矩(central moment)离散随机变量的离散随机变量的k阶中心矩阶中心矩第119页/共176页2023/2/151201.3.1 随机变量的矩（4）k阶中心矩(central moment)连续随机变量的连续随机变量的k阶中心矩阶中心矩第120页/共176页2023/2/151211.3.2 随机变量的数学期望Expectation or M
50、ean1.3 随机变量的数字特征第121页/共176页2023/2/151221.3.2 随机变量的数学期望 随机变量的一阶原点矩，称作随机变量的数学期望，简称期望(expectation)或均值(mean)。期望描述随机变量观察值的集中趋势，即观察值分布的重心；在概率密度分布对称时，也是观察值分布的中心。(1)数学期望(Expectation)第122页/共176页2023/2/15123数学期望的意义概率面积的重心概率面积的重心1.3.2 随机变量的数学期望(1)数学期望(Expectation)期望是观察值分布的重心第123页/共176页2023/2/151241.3.2 随机变量的数学