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1、Session 3Probability and Probability Distribution第三章第三章概率与概率分布概率与概率分布Session 3Probability and Probability Distribution要点要点概率基础知识几种常见的理论分布 统计数的分布Session 3Probability and Probability Distribution事件事件 在自然界中在自然界中, ,有许多现象是可以预言在一定条件下有许多现象是可以预言在一定条件下是否出现是否出现. .例如例如 水在标准大气压条件下水在标准大气压条件下, ,温度加热到温度加热到100100时肯
2、定沸腾时肯定沸腾- -必然事件必然事件( (记为记为U)U)又如又如 必然事件的反面必然事件的反面, ,种子的发芽率不可能超过种子的发芽率不可能超过100%-100%-不不可能事件可能事件( (记为记为V) V) 再如再如 小麦播种后可能发芽也可能不发芽小麦播种后可能发芽也可能不发芽, ,这种在确定条件下这种在确定条件下可能出现也可不出现的现象可能出现也可不出现的现象-随机事件随机事件, ,简称事件简称事件概率基础知识Session 3Probability and Probability Distribution频率和概率频率和概率事件事件A在在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了m次次,
3、则则事件事件A发生的频率为发生的频率为W(A)=m/n事件事件A发生的概率为发生的概率为P (A) nmnAPlim)(Session 3Probability and Probability Distribution种子总数种子总数(n)(n)10102020505010010020020050050010001000发芽种子数发芽种子数(m)(m)9 9191947479191186186458458920920种子发芽率种子发芽率(m/n)(m/n)0.90.90.950.950.940.940.910.910.930.930.9180.9180.920.92例例 某批玉米种子的发芽试验
4、结果某批玉米种子的发芽试验结果0W(A) 10 P(A) 1Session 3Probability and Probability Distribution概率的计算概率的计算事件的相互联系事件的相互联系(韦恩图韦恩图)和事件和事件A+B积事件积事件ABAB互斥事件互斥事件AB=VAB=V对立事件对立事件 A+B=U A+B=U AB=VAB=VABAAABBBSession 3Probability and Probability Distribution独立事件独立事件事件事件A A的发生与事件的发生与事件B B的发生毫无联系的发生毫无联系, ,反之亦然反之亦然, ,则称事件则称事件A
5、A和时间和时间B B互为独立互为独立事件事件. .完全事件系完全事件系A1+A2+An=UA1+A2+An=UA1A1、A2A2、AnAn两两互斥两两互斥Session 3Probability and Probability Distribution概率的计算法则概率的计算法则加法定理加法定理互斥事件的和事件等于事件互斥事件的和事件等于事件A A和和B B的概率之和的概率之和P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)A A、B B为对立事件为对立事件, ,概率之和为概率之和为1 1P(A)+P(B)=1 P(B)=P( )=1-P(A)P(A)+P(B)=1 P(B)=
6、P( )=1-P(A)完全事件系的和事件的概率为完全事件系的和事件的概率为1 1P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)=1P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)=1ASession 3Probability and Probability Distribution例例 调查某玉米田调查某玉米田,一惠株占一惠株占67.2%,双惠株占双惠株占30.7%空惠占空惠占2.1%,试计算试计算一惠株和双惠株的概率。一惠株和双惠株的概率。Session 3Probability and Probability Distribution乘法定理乘法定理如如果事件果事件A
7、 A和事件和事件B B为独立事件为独立事件, ,则事件则事件A A与事件与事件B B同时发生的同时发生的概率即它们的积事件等于事件概率即它们的积事件等于事件A A和事件和事件B B各自概率的乘积各自概率的乘积P(AB)= P(A)P(B) P(AB)= P(A)P(B) 如果如果A1A1、A2A2、AnAn彼此独立彼此独立P(A1A2An)= P(A1) P(A2) P(An)P(A1A2An)= P(A1) P(A2) P(An)对于混合事件对于混合事件P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A)P(B) Session 3Probability and
8、Probability Distribution例例 播种玉米时播种玉米时,每穴播种两粒种子每穴播种两粒种子,已知玉米种子已知玉米种子的发芽率为的发芽率为90%，试求每穴两粒种子均发芽的，试求每穴两粒种子均发芽的概率和一粒种子发芽的概率。概率和一粒种子发芽的概率。Session 3Probability and Probability Distribution条件概率是指一个事件给定下另一事件发生的可能性条件概率是指一个事件给定下另一事件发生的可能性: 给定事件给定事件 B 发生，事件发生，事件 A 发生的概率发生的概率 P(A / B) = 例如：例如： P(Red Card 给定是一张给定
9、是一张 Ace) = )B(P)BandA(P2142 AcesAcesdRe计算条件概率计算条件概率Session 3Probability and Probability Distribution概率分布概率分布离散随机变量离散随机变量 随机变量随机变量:是一次试验的结果的数值性描述是一次试验的结果的数值性描述 离散随机变量离散随机变量: q 指有限个数值或一系列无穷个数值的随机变量指有限个数值或一系列无穷个数值的随机变量Session 3Probability and Probability Distribution例例值值 概率概率 01/4 = 0.2512/4 = 0.5021/4
10、 = 0.25 事件事件: 抛抛2个硬币个硬币. 数是正面的个数数是正面的个数 TTTTSession 3Probability and Probability Distribution离散概率分布离散概率分布列出所有可能的列出所有可能的 Xi, f (Xi) Xi = 随机变量的值随机变量的值 (结果结果)P(Xi) = 取这个值的概率取这个值的概率q相互排斥相互排斥 (没有重叠没有重叠)q穷举性穷举性 (没有漏下没有漏下)0 f (Xi) 1 S f (Xi) = 1Session 3Probability and Probability Distribution离散随机变量的度量离散随机
11、变量的度量数学期望（数学期望（Expected Value） 或平均值度量随机变量的中心位置或平均值度量随机变量的中心位置 方差（方差（Variance）随机变量的取值离均值的变异程度随机变量的取值离均值的变异程度Session 3Probability and Probability Distribution 现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：p1x2x经济状况可能的报酬率（%）状况发生的概率经济过热30-450.1繁荣20-150.2正常10150.3衰退0450.3萧条-10750.1 试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。 Sessi
12、on 3Probability and Probability Distribution%909. 01 . 0) 1 . 0(3 . 003 . 01 . 02 . 02 . 01 . 03 . 0)(1iipxXES%1818. 01 . 075. 03 . 045. 03 . 015. 02 . 0)15. 0(1 . 0)45. 0()(2iipxXES0129. 0)()()(21211iiipXExXExEXD1161. 0)(2XD%36.111%07.242 即乙股票的报酬率高，风险也高。Session 3Probability and Probability Distribu
13、tion重要的离散概率分布重要的离散概率分布离散概率分布离散概率分布Binomial二项分布二项分布Hypergeometric超几何分布超几何分布Poisson泊松分布泊松分布Session 3Probability and Probability DistributionBinomial Probability Distributions二项分布二项分布二项试验的性质二项试验的性质o试验由一个包括试验由一个包括 n 次次相同的试验的序列组成相同的试验的序列组成o每次试验只有两个结果每次试验只有两个结果, 构成对立事件构成对立事件o成功的概率为成功的概率为 p, 每次试验都相同每次试验都相同
14、o试验都是独立的试验都是独立的Session 3Probability and Probability DistributionBinomial Probability Distributions二项分布二项分布f xnx nxppxn x( )!()!()()1f xnx nxppxn x( )!()!()()1Session 3Probability and Probability Distribution 例：某车间里共有9台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时约有12分钟使用电力。假定车工们使用电力与否是相互独立的，试问在同一时刻有7台或7台以上的车床使用电力的概率为多少？最多有
15、一台使用电力的概率为多少？ 解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项分布。9n5/160/12p59799108944. 1)511 ()51()7(xxxxcXp4362. 0)511 ()51() 1(1099xxxxcXpSession 3Probability and Probability Distribution例、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为被盗而提出的。现在知道2019年中，公司共收到20个索赔要求，试求其中包含7个或7个以上被盗索赔的概率。00592. 0)15. 01 ()15. 0()7(2072020 xxxxcXpSession 3Probabil
16、ity and Probability DistributionBinomial Distribution Characteristics二项分布的特征二项分布的特征n = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5数学期望（均值）数学期望（均值）标准方差标准方差mE Xnpnpp()()1 0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)e.g. m m = 5 (0.1) = 0.5e.g. = 5(0.5)(1 - 0.5) = 1.118 0Session 3Probability and Probability DistributionPoisson Dist
17、ribution泊松分布泊松分布泊松试验的性质：泊松试验的性质：o有很小的p值和很大的n值的二项分布 p0.1 and np5o实验独立.Session 3Probability and Probability DistributionPoisson Probability Distribution Function泊松概率分布函数泊松概率分布函数泊松概率分布函数：泊松概率分布函数： 其中 f (x ) = 在一个区间发生 x 次的概率 = np=2 e = 2.71828 !)(xexfxSession 3Probability and Probability DistributionPoi
18、sson Distribution Characteristics泊松分布的特征泊松分布的特征 = 0.5 = 6数学期望数学期望标准方差标准方差miiNiE XX P X( )()1 0.2.4.6012345XP(X) 0.2.4.60246810XP(X)Session 3Probability and Probability DistributionHypergeometric Probability Distribution超几何分布超几何分布超几何试验的性质超几何试验的性质试验由 n 次试验组成.每次试验有两个结果, 成功和失败. 成功的概率为 p, 每次试验中是变化的.试验不是独
19、立的Session 3Probability and Probability DistributionHypergeometric Probability Distribution超几何概率分布超几何概率分布超几何概率分布函数超几何概率分布函数其中f (x ) = n 次试验中成功 x 次的概率 n = 试验次数 N = 总体中元素个数 r = 总体中成功的元素个数f xrxNrnxNn( ) f xrxNrnxNn( ) Session 3Probability and Probability DistributionHypergeometric Characteristics超几何分布的特
20、征超几何分布的特征数学期望数学期望标准方差标准方差mE Xn nA N A ()N nN 1有限总体矫有限总体矫正系数正系数ANN2 )(Session 3Probability and Probability DistributionThe Normal Distribution正态分布正态分布 钟形钟形 对称对称 均值均值,中位数，众数相等中位数，众数相等 随机变量无限取值随机变量无限取值Xf(X)m mSession 3Probability and Probability DistributionThe Mathematical Model数学模型数学模型f(X)=随机变量随机变量X的
21、分布密度函数的分布密度函数p p=3.14159; e = 2.71828 =总体标准方差总体标准方差X=随机变量取值随机变量取值 (- X )m m=总体均值总体均值 f(X) =1e(-1/2)(X- m)/m)/)2 p p2Session 3Probability and Probability DistributionMany Normal Distributions许多正态分布许多正态分布变动参数变动参数 和和 m m, 我们得到许多不同的正态分布我们得到许多不同的正态分布Session 3Probability and Probability Distribution 标准正态分
22、布：当正态分布 ， 时，则称 服从标准正态分布，分别 用 表示概率密度函数和分布函数，即 标准化：若 ，则可以将其标准化。即服从标准正态分布。xexx2221)(p),(2mNXmXz0m1X),(x)(xSession 3Probability and Probability Distribution例例 服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。 x?)21 ( xp?) 11(xp?)22(xp6826. 018413. 021) 1 (2)1 (1 ) 1 () 1() 1 () 11(xp954. 019771. 021)2(2)22(xp0
23、231. 0954. 09771. 0) 1 ()2()21 (xpSession 3Probability and Probability DistributionThe Standardized Normal Distribution标准正态分布标准正态分布标准正态分布表标准正态分布表 m m = 0 and = 1 Z = 0.12Z.00.010.0 .0000.0040 .0080.0398.04380.2 .0793.0832 .08710.3 .0179.0217 .0255.0478.020.1.0478ProbabilitiesSession 3Probability and
24、 Probability DistributionStandardizing Example标准化例标准化例12010526.XZ m mZm m = 0 Z = 1.12正态分布正态分布标准正态分标准正态分布布Xm m= 5 = 106.2Session 3Probability and Probability DistributionExample:P(2.9 X 7.1) = .1664举例计算举例计算 P(2.9 X 7.1) 0 = 1-.21Z.21正态分布正态分布.1664.0832.0832标准正态分布标准正态分布5 = 102.97.1 X 2110592.xz m m211
25、0517.xz m mSession 3Probability and Probability DistributionFinding Z Values for Known Probabilities已知概率找已知概率找Z值值Z.000.20.0 .0000 .0040 .00800.1 .0398 .0438 .04780.2 .0793 .0832 .0871.1179.1255Zm m = 0 = 1.31.1217.010.3标准正态分布表标准正态分布表.1217Session 3Probability and Probability DistributionShaded Area E
26、xaggeratedZm m = 0 = 1.31Xm m = 5 = 10?正态分布正态分布标准正态分标准正态分布布 .1217 .1217X8.1 m m Z = 5 + (0.31)(10) =Finding X Values for Known Probabilities已知概率找已知概率找X值值Session 3Probability and Probability Distribution例 意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服从正态分布 。假定车间希望有10%的工人能拿到超产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能
27、或得奖金？ 解：设X为工人每月装配的产品数，设C是能拿到超产奖的工人完成定额。根据题意，有)3600,4000(N%10)( cXp%10)604000604000(cXp28. 1604000c%90)604000604000(cXp40006028. 1c4077c能拿到超产奖的工人完成定额4077件。Session 3Probability and Probability Distribution 查表求解正态分布的概率: : 用Excel计算正态分布的概率 插入插入/fx/fx/统计函数/Normdist/按对话框的提示键入所需变量（Cumulation是逻辑值，true是要求计算累计
28、概率，flase是要求计算概率密度值）。 用Excel计算已知累计概率相对应的x 插入插入/fx/fx/统计/Norminv/按对话框的提示键入所需变量。Session 3Probability and Probability DistributionExponential Distributions指数分布指数分布e = 2.71828Parrival time X() 1 - e - x = 到达的均值到达的均值 X = 连续随机变量连续随机变量 f(X)X = 0.5 = 2.0Session 3Probability and Probability DistributionThe Un
29、iform Probability Distribution均匀分布均匀分布随机变量在一个区间内均匀分布，对应的概率与随机变量在一个区间内均匀分布，对应的概率与区间的长度成正比例区间的长度成正比例均匀分别密度函数均匀分别密度函数 f (x) = 1/(b - a) for a x b = 0 elsewhere数学期望 E(x) = (a + b)/2方差 Var(x) = (b - a)2/12Session 3Probability and Probability Distribution大数定律大量随机变量的平均数具有统计稳定性的总称。贝努里大数定律：设 是 次重复独立试验中事件 发生的
30、次数， 是事件 在每次试验中发生的概率，则取任意小数 ， 有即当试验次数 足够大时，有事件 发生的频率接近于概率。 01|limmmnPnnAAnnAnmpSession 3Probability and Probability DistributionSession Summary本讲小结本讲小结 小结小结我们介绍了一些基本的概率概念我们介绍了一些基本的概率概念然后介绍了贝叶斯定理然后介绍了贝叶斯定理对随机变量进行了离散和连续的区分对随机变量进行了离散和连续的区分介绍了各种离散随机变量及其特征介绍了各种离散随机变量及其特征介绍了各种连续随机变量及其特征介绍了各种连续随机变量及其特征Session 3Probability and Probability DistributionThe End of Session 3