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1、目 标 要 求1.能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法2理解二分法的步骤与思想.第1页/共30页热 点 提 示1.判断函数零点所在的区间2求方程根的个数.第2页/共30页第3页/共30页1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，叫做二分法想一想：能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？提示：不能看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号第4页/共30页2二分
2、法的步骤给定精确度，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(4)第5页/共30页想一想：函数f(x)lnx2x6在区间(2,3)内有零点，且f(2)0.用二分法求函数的零点，下一步应找的区间是哪个区间？提 示：取 区 间(2,3)的 中 点 2.5，用 计 算
3、器 算 得f(2.5)0.0840.因 为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内第6页/共30页1下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循，无法在计算机上完成D只有求函数零点时才用二分法答案：B第7页/共30页2设f(x)3x2x8，用二分法求方程3x2x80在x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，f(1.25)0，方程根在区间(1.25,1.5)内答案：A第8页/共30页3求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间
4、是_解析：设f(x)x32x5，f(2)0，f(2.5)0即f(2)f(2.5)0，所以下一个区间是(2,2.5)答案：(2,2.5)第9页/共30页4已知函数g(x)的图象是连续不断的，x，g(x)的对应值表如下：函数g(x)在哪个区间内有零点？为什么？解：g(1)20，g(1)g(2)0，g(x)在区间(1,2)内有零点x012345g(x)623102140第10页/共30页第11页/共30页类型一二分法的概念【例1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()思路分析：由题目可获取以下主要信息：题中给出了函数的图象；二分法的概念解答本题可结合二分法的概念，判断是否
5、具备使用二分法的条件第12页/共30页解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点答案：B第13页/共30页温馨提示：(1)准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据
6、是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用第14页/共30页1下列函数中能用二分法求零点的是()第15页/共30页解析：在A中，函数无零点在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点，故选C.答案：C 第16页/共30页类型二用二分法求零点的近似解【例2】利用计算器求方程lgx3x的近似解(精确度0.1)思路分析：首先确定lgx3x的根的大致区间，由于ylgx，y3
7、x的图象可以作出，由图象确定根的大致区间再用二分法求解第17页/共30页解：作出ylgx，y3x的图象(下图)可以发现，方程lgx3x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内设f(x)lgxx3，用计算器计算，得f(2)0，x0(2,3)；f(2.5)0 x0(2.5,3)；f(2.5)0 x0(2.5,2.75)；f(2.5)0 x0(2.5,2.625)；f(2.5625)0 x0(2.5625,2.625)2.6252.56250.06250.1，原方程的近似解为2.5625.第18页/共30页温馨提示：(1)若方程的根可以转化为常用函数图象交点的横坐标，也可以通过常用函数图象的交点
8、，确定原方程所在的大致区间，再用二分法求解(2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值用二分法求解时要注意给定函数的符号、二分法求解的条件及要求的精确度 用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算第19页/共30页2求方程2x33x30的一个近似解(精确度0.1)解：设f(x)2x33x3，经计算f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内存在零点即方程2x33x30在(0,1)内有解，列表如下：第20页/共30页类型三二分法的实
9、际应用【例3】中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001000元之间选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？第21页/共30页思路分析：从游戏中可以发现选手的报价往往是从高于真实价或者低于真实价，从两边向真实价靠拢的，
10、而手机的价格范围是确定的，且报数是整数，所以可用数学中的“逼近思想”的特例二分法来设计猜价方案第22页/共30页解：取价格区间500,1000的中点750，如果主持人说低了，就再取750,1000的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可猜中价格 第23页/共30页1本题是二分法的应用，二分法不仅可用于查找电线、水管、气管故障，还能用于实验设计、资料查询，也是求根的常用方法2此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学方法去思考，会使我们
11、变得更聪明，更具有数学素养第24页/共30页3在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿线路一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子，10 km，大约有200多根电线杆子呢想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？第25页/共30页解：如下图所示，他首先从中点C查用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右，即一两根电
12、线杆附近，要查多少次？据初中所学知识可知只要7次就够了第26页/共30页1二分法的基本思想是将含零点的区间一分为二，然后逐步逼近零点，由于使用二分法的依据是勘根定理，因此并不是所有的零点都能用二分法求解那么怎样的零点才能用二分法求出其近似解呢？判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用第27页/共30页2使用二分法求函数零点近似值应注意以下几点：(1)第 一 步 中 要 满 足：区 间 长 度 尽 量 小；f(a)、f(b)的 值 比 较 容 易 计 算 且f(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点和求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)g(x)的根第28页/共30页第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页