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1、会计学1岩土力学土体中应力计算岩土力学土体中应力计算2023/2/141 1、三维（空间）应力状态、三维（空间）应力状态2 2、二维、二维（空间）应力状态（空间）应力状态3 3、侧限应力状态、侧限应力状态二、土力学中应力符号规定二、土力学中应力符号规定压为正，拉为负，剪应力以压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正。逆时针为正。zzxy图图3-53-5侧限应力状态侧限应力状态地面地面第1页/共31页2023/2/14第二节第二节土体的自重应力计算土体的自重应力计算一、地基自重应力一、地基自重应力1 1假设岩体为均匀连续介质，并为半无限空间体，在距地表深度假设岩体为均匀连续介质，并为半无限空间体，在距
2、地表深度z z处，土体的处，土体的自重应力自重应力为为 sszz=z z ssxx=ssyy=K0 sszz式中：式中：z z岩体单元的深度（岩体单元的深度（mm）上覆土体的容重（上覆土体的容重（kN/mkN/m33）K0侧压力系数侧压力系数若为成层土，则有若为成层土，则有 地下水位以下应采用浮容重地下水位以下应采用浮容重sx地面地面H H1 1H H2 2szsy地下水位地下水位第2页/共31页2023/2/14若岩体视为各向同性的弹性体，若岩体视为各向同性的弹性体，x x=y y=0=0，ssxx=ssy y 由广义虎克定律由广义虎克定律 xx=1/E=1/E xx-（yy+zz）=0=0
3、 yy=1/E=1/E yy-（xx+zz）=0=0由此得：由此得：xx=yy=/（1-1-）zz=/（1-1-）HH（3-5）所以，侧压力系数所以，侧压力系数K0=/（1-1-）K0和和 与土的种类、密度有关，可由试验确定，或查表与土的种类、密度有关，可由试验确定，或查表4-24-2二、土坝的二、土坝的自重应力自重应力 第3页/共31页2023/2/14第三节第三节第三节第三节 基底压力基底压力基底压力基底压力（1 1）基底接触压力的产生）基底接触压力的产生建筑物荷重建筑物荷重 基础基础 地基上地基上在地基与基础的在地基与基础的接触面上产生的压力（地基作用于基础底面的反力）接触面上产生的压力
4、（地基作用于基础底面的反力）（2 2）接触压力的大小影响因素）接触压力的大小影响因素地基土和基础的刚度大小地基土和基础的刚度大小荷载大小荷载大小基础埋深基础埋深地基土的性质地基土的性质第4页/共31页2023/2/14一、基底压力的分布规律基底压力的分布规律（一）基础的刚度的影响（一）基础的刚度的影响1.1.弹性地基上的完全柔性弹性地基上的完全柔性基础基础(EI=0)(EI=0)土坝土坝(堤堤)、路基、路基、油罐油罐等薄板基础、机场跑道。等薄板基础、机场跑道。可认为土坝底部的可认为土坝底部的接触接触压力压力 分布与土坝的分布与土坝的外形外形轮廓相同轮廓相同,其大小等于其大小等于各点以上的土柱重
5、量。各点以上的土柱重量。(图图3-35)3-35)柔性基础柔性基础：基底压力的分布形式与作用在它上面基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式的荷载分布形式相一致。相一致。基底压力的分布规律基底压力的分布规律第5页/共31页2023/2/142.2.弹性地基上的绝对刚性基础弹性地基上的绝对刚性基础(EI=(EI=)弹性解弹性解:基础两端应力为无穷大基础两端应力为无穷大实际情况实际情况:马鞍形马鞍形(图图3-36)3-36)刚性基础刚性基础：基底压力的分布形式与作用在它上面基底压力的分布形式与作用在它上面的荷载分布形式不相一致。的荷载分布形式不相一致。第6页/共31页2023/2/143.3
6、.弹塑性地基上的有限刚性的基础弹塑性地基上的有限刚性的基础(0EI(0EIB/6,eB/6,应力重新分布应力重新分布1/21/2 LLppmaxmax 3K=P3K=Pppmaxmax=2P/(3KL)=2P/(3KL)式中，式中，K=B/2-eK=B/2-e 第9页/共31页2023/2/142、双向双向偏心若基底最小压力若基底最小压力 p pminmin 0,0,基底最大、最小压力计算公式基底最大、最小压力计算公式式中式中MMxx,M,Myy竖直竖直偏心荷载荷载P P对基对基 底底x,yx,y轴的力矩轴的力矩(kN(kN m);m);MMxx=P=P e exx;MMyy=P=P e ey
7、y WWxx,W,Wyy基底分别对基底分别对x,yx,y轴的轴的 抵抗矩抵抗矩 WWxx=BL=BL22/6/6，(m(m3)3)WWyy=LB=LB22/6/6第10页/共31页2023/2/14整理后得整理后得 条基：在长度方向取条基：在长度方向取1 1米即可。米即可。三、水平荷载作用三、水平荷载作用矩形：矩形：p phh=P=Phh/BL/BL条基：条基：p phh=P=Phh/BL/BL 第11页/共31页2023/2/14四、基底附加应力四、基底附加应力(p(p00)基底处的地基由于建筑物建造后而增加的应力。只有基底附加应力才能引起地基的附加应力和变形。基底处的地基由于建筑物建造后而
8、增加的应力。只有基底附加应力才能引起地基的附加应力和变形。p0d0d0dpFG基坑（槽）基坑（槽）基底附加应力基底附加应力p p0:0:显然，若埋深显然，若埋深d=0d=0，则基底附加应力等于基底应力，即，则基底附加应力等于基底应力，即p p00=p=p12第12页/共31页2023/2/14式中式中pp基底应力，基底应力，kPa;kPa;szsz土中自重应力，基底处土中自重应力，基底处 szsz=00d,d,kPa;kPa;00 基础底面标高以上天然土的基础底面标高以上天然土的加权平均容重，加权平均容重，00=（11 h h1 1+22 h h2 2+）/(h/(h1 1+h+h2 2+),
9、),其中地下其中地下水位以下的容重取浮容重水位以下的容重取浮容重，kN/mkN/m3 3;dd基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土场地则应从老天然地面起算，场地则应从老天然地面起算，d=d=h h1 1+h+h2 2+,m,m说明：说明：当基坑的平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降计算中，为适当考虑这种坑底的回弹和再压缩而增加的沉降，改取当基坑的平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降计算中，为适当考虑这种坑底的回弹和再压缩而增加的沉降，改取p p0 0=p-=p-szsz 其中其中 为为0101的系数（的系数（地基及基础地基及基础华
10、南理工大学等编，中国建筑工业出版社，华南理工大学等编，中国建筑工业出版社，4545）第13页/共31页2023/2/14第四节第四节第四节第四节 地基中的附加应力计算地基中的附加应力计算地基中的附加应力计算地基中的附加应力计算地基附加应力地基附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。计算方法假设：计算方法假设：1 1、将地基看成是均质的线性变形半空间，直接采用弹性力学、将地基看成是均质的线性变形半空间，直接采用弹性力学解答解答2 2、将基底压力看成是柔性、将基底压力看成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响荷载，而不考虑基础刚
11、度的影响一、集中一、集中荷载作用下的荷载作用下的附加应力计算附加应力计算（一）、竖直集中力作用（一）、竖直集中力作用布辛内斯克解布辛内斯克解布辛内斯克根据弹性理论计算出地基下某一点布辛内斯克根据弹性理论计算出地基下某一点MM的的6 6个应力分量和三个位移分量。由于对地基沉降意义最大的是竖向法向应力个应力分量和三个位移分量。由于对地基沉降意义最大的是竖向法向应力 zz，只研究只研究 zz 第14页/共31页2023/2/14（3-83-8）K K称为集中应力系数称为集中应力系数讨论讨论 zz的分布特征：的分布特征：1 1、沿沿P P作用线方向，作用线方向，zz 随深随深度而减小；度而减小；2 2
12、、r0r0的竖向线上，的竖向线上，zz ，zz：00增大增大 减小减小3 3、z=costz=cost在在P P处最大，随处最大，随r r ，zz 结论：结论：集中力集中力P P在地基中引起在地基中引起的的附加应力附加应力的分布是向下、向的分布是向下、向四周无限扩散开的。四周无限扩散开的。第15页/共31页2023/2/14（二）、水平集中力作用（二）、水平集中力作用西罗克课题西罗克课题西罗克弹性理论解西罗克弹性理论解二、矩形面积上各种分布荷载作用二、矩形面积上各种分布荷载作用 下的附加应力计算下的附加应力计算（一）、矩形面积竖直均布荷载（一）、矩形面积竖直均布荷载1.1.角点下应力角点下应力
13、集中荷载集中荷载 dP=dxdypdP=dxdyp0 0,M,M点处点处d d z z为为 第16页/共31页2023/2/14式中式中 K Ks s_ _为矩形竖向均布荷载角点下的应力分布系数矩形竖向均布荷载角点下的应力分布系数 K Ks s=f(L,B,z),(=f(L,B,z),(注意注意:B:B为荷载面的为荷载面的短边短边宽度宽度),),可从表可从表3-23-2中查中查得。得。2 2、任一点的应力、任一点的应力角点法角点法(a(a）MM/在荷载面的边缘在荷载面的边缘 z z=z1z1+z2z2(b)(b)MM/在荷载面内部在荷载面内部 z z=z1z1+z2z2+z3z3+z4z4M/
14、1212344312M/M/(a)(b)(c)第17页/共31页2023/2/14（c c）MM/在荷载面外部在荷载面外部 zz=z3z3+z4z4-z1z1-z2z2（二）、矩形面积竖直三角形荷载（二）、矩形面积竖直三角形荷载dPdP在在OO点下任意点下任意MM处引起的竖直处引起的竖直附加附加应力应力d d zz zz=K=Kttp ptt注：求注：求OO/点下的应力时，可用竖向均点下的应力时，可用竖向均布荷载与竖直三角形荷载叠加。布荷载与竖直三角形荷载叠加。第18页/共31页2023/2/14（三）、矩形面积水平均布荷载（三）、矩形面积水平均布荷载由西罗克课题，得矩形角点下任意由西罗克课题
15、，得矩形角点下任意深度深度z z处的附加应力处的附加应力 zz：式中式中K Khh为系数为系数,可查表可查表3-43-4三、条形面积上各种分布荷载作用三、条形面积上各种分布荷载作用下的附加应力计算下的附加应力计算平面问题假设：平面问题假设：1 1、宽度、宽度B B内荷载沿长度内荷载沿长度L L不变不变 2 2、L L 5B5B33、纵轴方向无位移、纵轴方向无位移 4 4、变形发生在横截面平面内、变形发生在横截面平面内第19页/共31页2023/2/14（一）竖直线布荷载竖直线布荷载将将 看成是集中力，则在地基内看成是集中力，则在地基内MM点点引起的应力按（引起的应力按（3-83-8）得：）得：
16、（3-193-19）同理，同理，式中，式中，单位长度上的线荷载单位长度上的线荷载(kN/m)(kN/m)第20页/共31页2023/2/14(二)、条形面积竖直均布荷载条形面积竖直均布荷载取微段，取微段，视为线布荷载，视为线布荷载，在地基内在地基内MM点点引起的应力按（引起的应力按（3-193-19）为）为（3-233-23）将（将（3-233-23）沿宽度）沿宽度B B积分，可得整个条形荷载积分，可得整个条形荷载MM点引起的附加应力点引起的附加应力同理同理第21页/共31页2023/2/14三、条形面积上其它分布荷载条形面积上其它分布荷载详见表详见表3-63-6四、圆形面积竖直均布荷载作用时
17、中心点下的附加应力计算四、圆形面积竖直均布荷载作用时中心点下的附加应力计算dpdp在在MM点引起的附加应力点引起的附加应力d d zz 由（由（3-6a3-6a）为：）为：在整个圆面积上积分：在整个圆面积上积分：五、感应图法求不规则面积上竖直均布荷载作用下的附加应力五、感应图法求不规则面积上竖直均布荷载作用下的附加应力 第22页/共31页2023/2/14六、影响土中应力分布的因素六、影响土中应力分布的因素（一）、非线性材料的影响（一）、非线性材料的影响（二）、双层地基的影响（二）、双层地基的影响1 1、可压缩土层覆盖于刚性岩层上、可压缩土层覆盖于刚性岩层上 沿荷载中心线下，地基附加应力发沿荷
18、载中心线下，地基附加应力发生生“应力集中应力集中”，与，与H/BH/B成反比。成反比。2 2、硬土层覆盖于软土层上、硬土层覆盖于软土层上荷载中轴线附近，附加应力减小，荷载中轴线附近，附加应力减小，“应力扩散应力扩散”。第23页/共31页2023/2/14应力扩散随上层应力扩散随上层厚度厚度的增加而更加显著，它还与双层地基的的增加而更加显著，它还与双层地基的变形模量变形模量E E、泊松比、泊松比 有关，即随下列参数有关，即随下列参数f f的增加而显著：的增加而显著：式中式中 E E11，11上层的上层的变形模量和泊松比；变形模量和泊松比；E E22，22软弱下卧层的软弱下卧层的变形模量和泊松比。
19、变形模量和泊松比。由于土的泊松比变化不大（一般由于土的泊松比变化不大（一般 =0.30.4=0.30.4）,故参数故参数f f的大小主要取决于变形模量的比值的大小主要取决于变形模量的比值E E11/E/E22.工程应用工程应用:道路路面设计道路路面设计，用坚硬的路面来降低应力用坚硬的路面来降低应力集中集中,减小路面因不均匀变减小路面因不均匀变形而破坏形而破坏第24页/共31页2023/2/14第六节第六节第六节第六节 应力路径应力路径应力路径应力路径一、应力路径的概念一、应力路径的概念应力历史：应力历史：土在形成的地质年代中所经受的应力变化情况；土在形成的地质年代中所经受的应力变化情况；剪应力
20、水平（剪应力水平（应力水平应力水平）：在应力的变化过程中达到的最大剪应力与抗剪强度的比值。（）：在应力的变化过程中达到的最大剪应力与抗剪强度的比值。（maxmax/ff）应力路径：应力路径：与主应力面成与主应力面成454500角斜面在摩尔圆上表示为一点，该点的移动轨迹称为应力路径。为简便，在绘制角斜面在摩尔圆上表示为一点，该点的移动轨迹称为应力路径。为简便，在绘制应力路径时，常把应力路径时，常把 坐标改换成坐标改换成ppq q坐标。坐标。第25页/共31页2023/2/14土中应力采用总应力表示时：土中应力采用总应力表示时：p=1/2p=1/2*(11+33),q=1/2),q=1/2*(11
21、-33)土中应力采用有效应力表示时土中应力采用有效应力表示时(u(u为孔隙水压力为孔隙水压力)：p p/=p-u=p-uq q/=q=q二、几种典型的加载应力路径二、几种典型的加载应力路径（一）、没有孔隙水压力的情况（一）、没有孔隙水压力的情况初始：初始：11=0=0，33=C=C排水固结排水固结u=0,u=0,/=p=Cp=C第26页/共31页2023/2/141 1、增加周围压力、增加周围压力 33(图图3-60a3-60a路径路径1 1)初始点：初始点：增加增加后，后，所以有所以有 2 2、增加偏应力（增加偏应力（11-33）(路径路径2 2)此时，此时，Copq231图图3-60a3-
22、60a总应力路总应力路径径第27页/共31页2023/2/143、增加增加 11相应减少相应减少 33(图图3-603-60路径路径3 3)当试件上当试件上 11的增加等于的增加等于 33的减少，即的减少，即时，时，（二）、有超静孔隙水压力的情况（二）、有超静孔隙水压力的情况饱和土体在不排水条件下，孔隙水压力的变化饱和土体在不排水条件下，孔隙水压力的变化,可用孔压系数可用孔压系数B B和和A A表示。表示。A A与土的性质、与土的性质、应力历史、应力水平应力历史、应力水平等有关。等有关。A A对有效应力对有效应力路径的影响路径的影响()：1 1、A=0A=0，增加增加 11时不产生孔隙水压力，
23、所以有效应力时不产生孔隙水压力，所以有效应力路径与总路径与总应力应力路径相同，与（一）中情况（路径相同，与（一）中情况（2 2）一样；）一样；(图图3-60b3-60b路径路径1 1)第28页/共31页2023/2/142 2、A=0.5(A=0.5(图图3-60b3-60b路径路径2)2)此时此时3 3、A=1.0(A=1.0(图图3-60b3-60b路径路径3)3)则则 显然显然:A:A 孔隙水压力孔隙水压力uu 有效应力有效应力路径向左上方发展路径向左上方发展;AA 孔隙水压力孔隙水压力uu 有效应力有效应力路径向右上方发展路径向右上方发展;CoP/q/123(图图3-60b)3-60b
24、)第29页/共31页2023/2/14推广推广:A:A不断变化不断变化,则则 有效应力有效应力路径成为一根连续发展的曲线路径成为一根连续发展的曲线应力应力路径的实际应用路径的实际应用:由于土的由于土的变形和强度变形和强度不仅与受力的大小有关，更重要的还与不仅与受力的大小有关，更重要的还与土的土的应力应力历史历史有关，土的有关，土的应力应力路径可以模拟土体实际的路径可以模拟土体实际的应力应力历史，全面地研究历史，全面地研究应力应力变化过程对土的力学性质的影响。变化过程对土的力学性质的影响。因此，因此，土的土的应力应力路径对进一步探讨土的路径对进一步探讨土的应力应力应变关系应变关系和和强度强度都具有十分重要的意义！（详见第五章）都具有十分重要的意义！（详见第五章）第30页/共31页