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1、第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小的概念 二、无穷小的性质 三、无穷小与极限的关系 四、无穷大的概念 五、无穷大与无穷小的关系 六、小结,一、无穷小的概念,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数；,3.一个变量是否无穷小，与自变量的变化过程有关；,4.无穷小是在某变化过程中，绝对值无限变小。,例1,证,性质1,证,二、无穷小的性质,在下面涉及到的各极限中，假设在同一问题中 自变量的变化过程是相同的。,性质3 两个无穷小的和（或差）仍是无穷小.,性质2,推论有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,性质4 有界函数与无
2、穷小的乘积仍是无穷小.,证,推论3 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,例2,解,证,必要性,充分性,三、无穷小与极限的关系,定理1,此证明不合适，要改,意义：,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (即：无穷小);,四、无穷大,在某变化过程中， 绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,绝对值无限增大且为正的变量称为正无穷大.,绝对值无限增大且为负的变量称为负无穷大.,不是无穷大,无界，,证,证,五、无穷小与无穷大的关系,定理2,证,意义: 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.,由无穷大与无穷小的关系，,证,六、小结,1.主要内容:,无穷小、无穷大及其关系,2.几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,