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1、适用于适用于 双双 抛抛 椭型的椭型的混合混合问题和问题和边值边值问题问题 非齐非齐DE非齐非齐BC 非齐非齐DE齐次齐次BC 1 齐次齐次DE齐次齐次BC的求解的求解 特征函数特征函数一一 双曲型方程双曲型方程有界弦的自由振动有界弦的自由振动1 定解问题定解问题2 求解步骤求解步骤第第2章章 分离变量法分离变量法1)分离变量分离变量 偏偏常常 设定解问题有形如设定解问题有形如 u(x,t)=X(x)T(t)的的非零解非零解代入代入DE得得代入代入BC得得2)求非零解求非零解 X(x),T(t)特征值问题特征值问题特征值特征值 使使(*)有非零解的有非零解的 的值的值特征函数特征函数 相应的非
2、零解相应的非零解X(x)X(x)=0.只有零解只有零解当当B0，时时X(x)有非零解有非零解有无数个特征值有无数个特征值注注4)确定系数确定系数 Cn、Dn 注注 1.分离变量法分离变量法(特征函数法特征函数法)解得按特征函数系展开解得按特征函数系展开 的级数解的级数解,每一项都满足每一项都满足DE和齐次和齐次BC5)综合综合 只求形式解只求形式解物理上物理上 总假设两种运算可以总假设两种运算可以交换次序交换次序:注注 2.系数为系数为 t 的函数的函数,是是(*)的特解的特解,整体满足整体满足IC 0 初始条件可以在第初始条件可以在第2步代入步代入 非非0 初始条件必须在第初始条件必须在第4
3、步代入步代入 3.特征函数由两端特征函数由两端BC的类型决定的类型决定 例例1解解若有现成的特征函数可直接写出若有现成的特征函数可直接写出通解通解 BC:左左1 1右右2 2例例2解解3 物理意义物理意义称驻波称驻波2)求求X(x)和和T(t)的非零解的非零解1 定解问题定解问题2 特征函数特征函数二二 抛物型方程抛物型方程有界杆的无热源热传导有界杆的无热源热传导 BC:左左1 1右右3 3 1)设设 u(x,t)=X(x)T(t)代入代入BC得得代入代入DE得得无法求出无法求出无法求出无法求出 精确值精确值精确值精确值注注2 特征函数特征函数1 定解问题定解问题三三 椭圆型方程椭圆型方程周期
4、条件周期条件圆域内圆域内Laplace方程方程作业作业 ex2-5,6,12,17 第第6题要求写出题要求写出1-4全部步骤，其余可以只写步骤全部步骤，其余可以只写步骤3和和4例例3解解4 非非齐齐DE齐次齐次BC的特征函数法的特征函数法解解 1)相应齐次相应齐次DE问题问题特征函数系特征函数系一一 特征函数法特征函数法例例1 12)所有函数展开成特征函数系所有函数展开成特征函数系 的级数的级数用用常数变易法常数变易法得得例例11解解例例2解解作业作业 ex2-9解解例例3 3一一 可转化为可转化为齐次齐次DE的情况的情况定解问题定解问题1的问题的问题5 非齐非齐BC的齐次化的齐次化二二 转化
5、为转化为非齐非齐DE的情况的情况定解问题定解问题所以所以4 的问题的问题令令其它类型其它类型BC的情况的情况例例1 1解解由由1例例2解解作业作业 ex2-10,18求相应齐次问题求相应齐次问题特征函数系特征函数系展开展开2.首先看首先看边界条件边界条件 齐次齐次或或周期条件？周期条件？若否若否:按第按第5节选节选w,转化为转化为 v 的齐次的齐次BC或周期条件问题或周期条件问题3.对对齐次齐次或或周期条件周期条件的的非齐次非齐次DC问题，用特征函数法问题，用特征函数法1.适用于各类方程简单区域的混合问题与边值问题适用于各类方程简单区域的混合问题与边值问题 (x,t)坐标系坐标系:0 x 0 直角坐标系直角坐标系:0 x a,0 y b 或或 0 x 0 极坐标系极坐标系:圆、圆环、扇形圆、圆环、扇形 分离变量法分离变量法(特征函数法特征函数法)求解求解小结小结