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1、 目目 录录一、何为一、何为“尺规作图尺规作图”二、二、“尺规作图尺规作图”可能问题可能问题 三、三、“尺规作图尺规作图”不能问题不能问题 四、尺规作图的相关延伸四、尺规作图的相关延伸 五、五、数学课程标准数学课程标准及中考要求及中考要求 一、何为一、何为“尺规作图尺规作图”l尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。l这里的“直尺”和“圆规”跟现实中的并非完全相同，具有抽象意义。l直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一
2、个任意的长度。一、何为一、何为“尺规作图尺规作图”l尺规作图，起源于古希腊。l希腊人强调作图只能用直尺圆规，有下列原因：希腊几何的基本精神，是从极少的基本假定（定义、公理、公设）出发，推导出尽可能多的命题。受柏拉图哲学思想的影响。以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象。l史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯，他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。l伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在几何原本之中。二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 1 1、作图公法：、作图公法：经过两个已知点可作一直线；经过两个
3、已知点可作一直线；已知圆心和半径可作一个圆；已知圆心和半径可作一个圆；若两已知直线相交，可求其交点；若两已知直线相交，可求其交点；若一已知直线和一已知圆相交，可求其交点；若一已知直线和一已知圆相交，可求其交点；若两已知圆相交，可求其交点。若两已知圆相交，可求其交点。二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 2 2、基本作图、基本作图 做一条线段等于已知线段；作一角等于已知角；平分已知角；经过一点作已知直线的垂线；作线段的垂直平分线。二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 3 3、例题分析、例题分析例例1.已知：如图所示，已知：如图所示，ABC，求作求作ABC，使，使ABC ABC.例
4、例2.已知：已知：AOB及直线及直线MN.求作：点求作：点P，使点，使点P在直线在直线MN上，且点上，且点P到到OA，OB距离相等距离相等.例例3.已知已知ABC，求作一点，使点，求作一点，使点P到到AB、AC的距离相等，且到边的距离相等，且到边AC的两端点距离相等。的两端点距离相等。例例4.已知斜边，一锐角，作直角三角形。已知斜边，一锐角，作直角三角形。例例5.已知斜边、直角边，求作直角三角形。已知斜边、直角边，求作直角三角形。例例6.已知：三角形两边及第三边上的中线，求已知：三角形两边及第三边上的中线，求作三角形。作三角形。二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 4 4、最基本的作图
5、表述：、最基本的作图表述：过点过点，点，点作直线作直线；或作直线；或作直线；或作射；或作射线线 连结点连结点、，或连结，或连结 延长延长到点到点，使，使=延长延长交交于点于点 在在上截取上截取=以点以点为圆心，为圆心，为半径作圆（弧）为半径作圆（弧）以点以点为圆心，为圆心，为半径作弧交为半径作弧交于点于点 分别以点分别以点、点、点为圆心，以为圆心，以、为半径作为半径作弧，两弧相交于点弧，两弧相交于点、二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 5 5、课堂练习：、课堂练习：l已知锐角a,b(ab).求作一个角，使它等于2a-b.l已知一角及其该角平分线长和一条邻边，求作三角形.l已知底边及一
6、腰，求作等腰三角形.l（中考典例）已知：射线OC 求作：AOB，使OC平分AOB（不写做法，但要保留作图痕迹）二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 6 6、“尺规作图尺规作图”的策略的策略（1）解作图题一般步骤：）解作图题一般步骤：将题给的条件具体化；具体叙述所作图形应满足的条件；寻找作图方法的途径；根据分析所得的作图方法作出正式图形，并依次叙述作图的过程；为了验证所作的图形是否正确，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作的图形完全满足题中所要求的条件；研究这个问题是不是在什么条件下都能作出图形来在什么情况下，有唯一解，或多解，或没有解 二、二、“尺规作图尺规作图”可能
7、问可能问题题 6 6、“尺规作图尺规作图”的策略的策略（2）几何作图题的一般思路）几何作图题的一般思路：假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件。分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法。运用基本作图法确定关键点，然后完成作图。二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 7 7、几种常见的尺规作图方法、几种常见的尺规作图方法 （1）轨迹交点法）轨迹交点法 例1，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B 的距离必须相等，到两条高速公路m、n 的距离也必须相等，发射塔应修建在什么 位置？二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 7 7、几种常见的尺规作
8、图方法、几种常见的尺规作图方法 （1）轨迹交点法）轨迹交点法 例2，在平面直角坐标系中，点A的坐标 是（4,0），点O是坐标原点，在直 线y=x+3上求一点P，使AOP是等 腰三角形，这样的点P有几个？二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 7 7、几种常见的尺规作图方法、几种常见的尺规作图方法 （2）代数作图法：）代数作图法：例3，只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）。例4，求作一正方形，使其面积等于已知ABC的面积。二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 7 7、几种常见的尺规作图方法、几种常见的尺规作图方法 （3）旋转作图法：）旋转作图法：例5，已知：直线a、b、c，
9、且abc.求作：正ABC，使得A、B、C 三点分别在直线a、b、c上.二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 7 7、几种常见的尺规作图方法、几种常见的尺规作图方法 （4）位似法作图：）位似法作图：例6，已知：一锐角ABC 求作：一正方形DEFG，使得D、E在 BC上，F在AC上，G在AB上.二、二、“尺规作图尺规作图”可能问可能问题题 7 7、几种常见的尺规作图方法、几种常见的尺规作图方法 （5）面积割补法）面积割补法 例7，过ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分ABC的面积.三、三、“尺规作图尺规作图”不能问不能问题题1、著名的几何三大问题（古典难题）：、著名的几何三大
10、问题（古典难题）：（1）化圆为方问题：作一个正方形，使它的）化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。面积等于已知圆的面积。（2）三等分角问题：三等分一个任意角。）三等分角问题：三等分一个任意角。（3）倍立方问题：作一个立方体，使它的体）倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍。积是已知立方体的体积的两倍。三、三、“尺规作图尺规作图”不能问不能问题题2、另外两个著名问题：、另外两个著名问题：（1）正多边形作法）正多边形作法（2）四等分圆周）四等分圆周四、尺规作图的相关延伸四、尺规作图的相关延伸1、用生锈圆规、用生锈圆规(即半径固定的圆规即半径固定的圆规)作图作
11、图（1）只用直尺及生锈圆规作正五边形；（2）生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB=BC=CA。（3）已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。2、尺规作图，是古希腊人按、尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单尽可能简单”这个思想出发这个思想出发的的。3、10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。图。4、几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决。、几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决。五、五、数学课程标准数学课程标准及中考要求及中考要求l2011版版数学课程标准数学课程标准在第三学段的第二在第三学段的
12、第二部分部分“图形与几何图形与几何”中对中对“尺规作图尺规作图”有明有明确要求：确要求：（1）会用尺规完成以下基本作图：）会用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。过一点作已知直线的垂线。五、五、数学课程标准数学课程标准及中考要求及中考要求（2）会利用基本作图作三角形：）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形
13、；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。已知一直角边和斜边作直角三角形。（3）会利用基本作图完成作图：）会利用基本作图完成作图：过不在同一直线上的三点作圆；过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的内切圆；作三角形的内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。作圆的内接正方形和正六边形。（4）在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图）在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。的痕迹，不要求写出作法。五、五、数学课程标准数学课程标准及中考要求及中考要求l在中考中作图题主要有在中考中作图题主要有：已知三边作三角形，已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知底边上的高及腰作等腰三角形；已知底边上的高及腰作等腰三角形；已知一锐角和斜边作直角三角形。已知一锐角和斜边作直角三角形。现实和理想之间，不变的是跋涉，现实和理想之间，不变的是跋涉，暗淡与辉煌之间，不变的是开拓；暗淡与辉煌之间，不变的是开拓；整理你的行装，整理你的行装，不同的起点，可以到达同样辉煌的终点。不同的起点，可以到达同样辉煌的终点。感谢感谢 聆听！聆听！