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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 新定义压轴题（一）知识图谱错题回顾顾题回顾新定义压轴题（一）知识精讲一函数与新定义函数与新定义综合的题目，要求在理解新定义的基础上，重点考察数形结合的数学思想，经常将一次函数、二次函数与方程、不等式结合起来考察，但也有与勾股定理、相似三角形等综合，在考试中一般位于最后一道压轴题的位置二四边形与新定义四边形有关的新定义一般更偏向于几何综合，结合题目中给出的新定义，探究题目中图形的角度、线段关系，但有时也经常放在坐标系中，注意坐标和线段长度的转化三点剖析一考点：1函数与新定义；2四边形与新定义二重难点：
2、1新定义的理解；2代几综合三易错点：1题意理解错误；2坐标系中坐标或者线段计算错误1函数与新定义；2四边形与新定义题模精讲题模一：函数与新定义问题例1.1.1对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值例如，下图中的函数时有界函数，其边界值是1（1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数的图像向下平移个单位，得到的函数的边界值是t，当在什么范围时，满足？【答案】（1）3（2）（3）或【解析】（1）无界，是有
3、界函数，当时，边界值为3；（2），当时，的边界值是2，且函数的最大值也是2，得；（3）平移后解析式为最小值为，最大值为当，此时，满足符合题意；当，即，此时，满足符合题意；当，即，此，不满足不符合题意；综上的取值范围为或例1.1.2在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是（1）点的限变点的坐标是_；在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，这个点是_；（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中令，求关于的函数解析式及
4、的取值范围【解析】（1）；1分点B2分（2）依题意，图象上的点P的限变点必在函数的图象上，即当时，取最大值2当时，3分当时，或或4分，由图象可知，的取值范围是5分（3） ，顶点坐标为6分若，的取值范围是或，与题意不符若，当时，的最小值为，即；当时，的值小于，即关于的函数解析式为7分当t=1时，取最小值2的取值范围是28分例1.1.3在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y
5、=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DECF若特征点C为直线y=4x上一点，求点D及点C的坐标；若tanODE2，则b的取值范围是【答案】（1）（3，0）；（2）见解析；（3）（2，0）；（1，4）0b或【解析】（1）A（0，0），B（1.3），代入：直线y=ax+b，解得：a=3，b=0，直线y=3x，抛物线解析式：y=3x2，C（3，0）故答案为：（3，0）；（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，得：ax2+（ba）xb=0，（ax+b）（x1）=0，解
6、得：x=，x=1，A（1，a+b），B（，0）点A、点B的位置如图所示；（3）如图，特征点C为直线y=4x上一点，b=4a抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，对称轴点D的坐标为（2，0）点F的坐标为（1，0），DF=1特征直线y=ax+b交y轴于点E，点E的坐标为（0，b）点C的坐标为（a，b），CEDFDECF，四边形DECF为平行四边形CE=DF=1a=1特征点C的坐标为（1，4）由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（，0），tanODE2，2，2，解得：1a，DECF，CEDF，CE=DF，|a|=|1+|，1+=a或1+=a，整理得：b=2a22a或b
7、=2a22a，即：b=2（a）2或b=2（a+）2+，当b=2（a）2时，1a，当b=2（a+）2+，1a，0b综上所述：0b或题模二：四边形与新定义问题例1.2.1类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，A=70，B=80求C，D的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中ABC=ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立请你证明此结论；由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗？若
8、正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，DAB=60，ABC=90，AB=5，AD=4求对角线AC的长【答案】（1）C=130；D=80（2）见解析不正确（3）2或2【解析】（1）如图1等对角四边形ABCD，AC，D=B=80，C=360-70-80-80=130；（2）如图2，连接BD，AB=AD，ABD=ADB，ABC=ADC，ABC-ABD=ADC-ADB，CBD=CDB，CB=CD，不正确，反例：如图3，A=C=90，AB=AD，但CBCD，（3）（）如图4，当ADC=ABC=90时，延长AD，BC相交于点E，ABC=90，DAB=60，AB=5，A
9、E=10，DE=AE-AD=10-4=6，EDC=90，E=30，CD=2，AC=2（）如图5，当BCD=DAB=60时，过点D作DEAB于点E，DFBC于点F，DEAB，DAB=60AD=4，AE=2，DE=2，BE=AB-AE=5-2=3，四边形BFDE是矩形，DF=BE=3，BF=DE=2，BCD=60，CF=，BC=CF+BF=+2=3，AC=2例1.2.2定义：长度比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D
10、分别落在边AB，CD上，折痕为EF则四边形BCEF为矩形证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=由折叠性质可知BG=BC=1，AFE=BFE=90，则四边形BCEF为矩形A=BFEEFAD，即BF=BC：BF=1：=：1四边形BCEF为矩形阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图中，求线段GH的长（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图，求证：四边形BCMN是矩形（3）将图中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作5次后，得到一个“矩形”，则n的值是_【答案】（1）（2）见解析（3）9【解析】分析：（1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，
11、DH=x，根据DC=DH+CH=1，就可求出GH；（2）利用阅读中证明“四边形BCEF为矩形”的方法就可解决问题；（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此规律就可得到n的值解：（1）如图，由折叠可得：DG=HG，GH=CH，DG=GH=CH设HC=x，则DG=GH=xDGH=90，DH=x，DC=DH+CH=x+x=1，解得x=11（2）证明：BC=1，EC=BF=，BE=由折叠可得BP=BC=1，FNM=BNM=90，EMN=CMN=90四
12、边形BCEF是矩形，F=FEC=C=FBC=90，四边形BCMN是矩形，BNM=F=90，MNEF，即BPBF=BEBN，1BN，BN=，BC：BN=1：1，四边形BCMN是的矩形；（3）解：同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作5次后，得到一个“矩形”，则n=9例1.2.3【定义】如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上（不与点B，C重合），连接AE，DE，四边形ABCD分成三个三角形：ABE，AED和ECD，如
13、果其中有ABE与ECD相似，我们就把点E叫做四边形ABCD在边BC上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD在边BC上的完美相似点【解决问题】如图2，在平面直角坐标系中，过点A（6，0）作x轴的垂线交二次函数y=x22x4的图像于点B（1）写出点B的坐标；（2）点P是线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），PCPB交y轴于点C求证：点P是四边形ABCO在边OA 上的相似点；（3）在四边形ABCO中，当点P是OA边上的完美相似点时，写出点P的坐标【答案】（1）（6，2）（2）见解析（3）（3，0），（3+，0），（3，0）【解析】（1）过点A（6，0）作x轴的垂线交二次
14、函数y=x22x4的图象于点B，把x=6代入二次函数解析式中，得y=62264=2，B点的坐标为（6，2）（2）由题意得，BAP=COP=90PCPB，BPC=90CPO+APB=90CPO+OCP=90，OCP=APBOCPAPB由定义可得，点P是四边形ABCO在边OA 上的相似点（3）设点P（m，0），C（0，a）A（6，0），B（6，2），AP=6m，OP=m，AB=2，OC=a，PC=，PB=，由（2）有，OCPAPB，当ABPPCB时，联立得，a=2或a=2（舍），当a=2时，m=3，P（3+，0）或P（3，0），当ABPPBC时，联立得，m2=2a，由得到，m（6m）=2a=m2m
15、=3或m=0（舍）P（3，0）即：点P的坐标为（3，0），（3+，0），（3，0）随堂练习随练1.1如图，在平面直角坐标系xOy中，定义直线x=m与双曲线yn=的交点Am，n（m、n为正整数）为“双曲格点”，双曲线yn=在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图像为其“派生曲线”（1）“双曲格点”A2，1的坐标为；若线段A4，3A4，n的长为1个单位长度，则n=；（2）图中的曲线f是双曲线y1=的一条“派生曲线”，且经过点A2，3，则f的解析式为y=；（3）画出双曲线y3=的“派生曲线”g（g与双曲线y3=不重合），使其经过“双曲格点”A2，a、A3
16、，3、A4，b【答案】（1）（2，）；7；（2）；（3）见解析【解析】（1）把x=2代入y=得：y=，则A的坐标是（2，）；把x=4代入y=得y=根据题意得：（42）2+（）2=1，解得：n=7故答案是：（2，），7；（2）把x=2代入y=得y=，则点A2，3的坐标是（2，）设f的解析式为y=+k，把（2，）代入，得=+k，解得：k=1则f的解析式是： ；（3）把x=2代入y=得y=，则A2，a的坐标是（2，）；把x=3代入y=得y=1，则A3，3的坐标是（3，1）；把x=4代入y=得y=，则A4，b的坐标是（4，）如图随练1.2在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（
17、x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1y2|例如：点P1（1，2），点P1（3，5），因为|13|25|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|25|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）（1）已知点A（），B为y轴上的一个动点，若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0
18、，1），求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标【答案】见解析【解析】（1）B为y轴上的一个动点，设点B的坐标为（0，y）|0|=2，|0y|=2，解得，y=2或y=2；点B的坐标是（0，2）或（0，2）；设点B的坐标为（0，y）|0|0y|，点A与点B的“非常距离”最小值为|0|=；（2）如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|”解答，此时|x1x2|=|y1y2|即AC=AD，C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），设点C的坐标为（x0，x0+3），x0=x0+2，此时，
19、x0=，点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，此时C（，）随练1.3对x，y定义一种新运算xy=（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则混合运算，例如：02=2b（1）已知12=3，13=2请解答下列问题求a，b的值；若M=（m2m1）（2m2m2），则称M是m的函数，当自变量m在1m3的范围内取值时，函数值M为整数的个数记为k，求k的值；（2）若xy=yx，对任意实数x，y都成立（这里xy和yx均有意义），求a与b的函数关系式？【答案】（1）-1；13（2）a=4b【解析】（1）由12=3，13=2，得，解得答：a的值为8，b的值为1把a=8，b=1代入xy=，得xy=
20、，M=（m2m1）（2m2m2）=2m2+2m+4=2+，又1m3，当m=时，M取最大值；当m=1时，M=0；当m=3时，M=88M=4，k=8+4+1=13（2）xy=yx，=，ay2ax2+4by24bx2=0，a（y2x2）+4b（y2x2）=0，即（a+4b）（y2x2）=0对任意实数x，y都成立，a+4b=0，a=4b随练1.4在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=，把C1沿x轴向右平移m（m0）个单位长度，得抛物线C2，C1和C2的交点为点Q，顶点分别是O和P，（1）直接写出抛物线C2的函数解析式（含m），并求点Q的坐标（含m）（2）定义：两条抛物线，把其中一条只通过沿水平方向向左（
21、或向右）平移得到另一条，且OQP=90，这样的两条抛物线称为“和谐线”当C1和C2是和谐线时，求m的值；求抛物线y=x22x+3的和谐线【答案】（1）y=（xm）2，（m，m2）（2）4或4y=（x1）2+4或y=（x+3）2+4【解析】（1）如图1把C1沿x轴向右平移m（m0）个单位长度，得抛物线C2，得C2：y=（xm）2，过Q作QGx轴于G点，由Q到对称轴的距离相等，得OG=PG=OP=m当x=时，y=m2，即Q点的坐标为（m，m2）；（2）如图2由OQP=90，OQ=PQ，得QOG=45，OG=PG=OP=m，当x=m时，y=（m）2=，即Q（m，）由QOG=45，OGQ=90，得OG
22、=GQ，即|m|=|（m）2|，解得m=0（舍）、m=4，m=4时，抛物线向左平移，m=4时，抛物线向右平移，综上所述：当C1和C2是和谐线时，m的值为4或4；如图3y=x22x+3=（x+1）2+4，抛物线y=x22x+3的和谐线y=（x+1m）2+4，由PEQ是等腰直角三角形，得PFQ是等腰直角三角形，即PF=FQ当x=1+时，y=+4，即Q（1+，+4），FQ=4（+4）=解得m=2，m=0（舍），抛物线y=x22x+3的和谐线y=（x1）2+4，同理向左平移，m=2，抛物线y=x22x+3的和谐线y=（x+3）2+4，综上所述：抛物线y=x22x+3的和谐线y=（x1）2+4或y=（x
23、+3）2+4随练1.5对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距” 请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O（1）线段AD和BC的“密距”是_，“疏距”是_；（2）设直线y=x+b（b0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KL
24、MN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为4+2，旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是_【答案】（1）6,10；（2）疏距”=11；（3） 64密距84【解析】（1）如图1：由垂线的性质可知：线段AD与BC的“密距”是AB或DC的长度，故“密距”是6在RtADC中，AC=10，“疏距”是10；故答案为：6；10；（2）如下图：设直线OB的解析式为y=kx，将x=3，y=4代入函数的解析式得4=3k，解得k=，直线EF的解析式为y=x+b，直线OB和EF相互垂直EF与矩形ABCD的“密距”是1，点D到EF的距离最长=10+1=11，即
25、“疏距”=11；（3）当K在BD上时，如图3，矩形ABCD与四边形KLMN的“疏距”为KB=4+2，KD=BDBK=10（4+2）=84故最大密距=84；当OKAD时，如图4，矩形ABCD与四边形KLMN的“密距”有最小值，矩形的宽为6，O到AD的距离为3，又由可知OK=ODKD=5（84）=43，所以密距的最小值=3OK=3（43）=64故密距的范围为：64密距84随练1.6如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为M，直线与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的
26、长称为碟宽（1）抛物线的碟宽为_，抛物线的碟宽为_（2）如果抛物线的碟宽为6，那么_（3）将抛物线的准蝶形记为（，2，3，），我们定义，为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比如果与的相似比为，且的碟顶是的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为，其对应的准蝶形记为求抛物线的表达式；请判断，的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由【答案】（1）4，；（2）；（3）；【解析】（1）4，；（2）；（3） 的碟宽的碟宽， ，又 由题意得的碟顶坐标为， ，的碟宽的右端点在一条直线上；其解析式为随练1.7如图1，对于平面上小于等于90的MON，我们给出如下定义：
27、若点P在MON的内部或边上，作PEOM于点E，PFON于点F，则将PE+PF称为点P与MON的“点角距”，记作d（MON，P）如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为xOy（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（xOy，A）=，d（xOy，B）=（2）若点P为xOy内部或边上的动点，且满足d（xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x0）在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（xOT，C）的值；在图4中，抛物线y=x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物
28、线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标【答案】（1）d（xOy，A）=5，d（xOy，B）=5（2）y=5x（0x5）（3）；（4，）【解析】（1）点A（5，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是5，d（xOy，A）=0+5=5，点B（3，2）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，d（xOy，B）=2+3=5综上，可得d（xOy，A）=5，d（xOy，B）=5（2）设点P的坐标是（x，y），d（xOy，P）=5，x+y=5，点P运动所形成的图形是线段y=5x（0x5）（3）如图3，作CEOT于点E，CFx轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，直线OT
29、对应的函数关系式为y=x（x0），点H的坐标为H（4，），CH=，OH=，CEOT，OHF+HCE=90，又OHF+HOF=90，HCE=HOF，在HEC和HFO中，HECHFO，=，即 =，EC=，d（xOT，C）=+1=如图4，作QGOT于点G，QHx轴于点H，交OT于点K，设点Q的坐标为（m，n），其中3m5，则n=m2+2m+，点K的坐标为（m，m），QK=，HK=m，OK=mRtQGKRtOHK，QG=，d（xOT，Q）=QG+QH=+n=（m2+2m+）=m2+m+1=（m4）23m5，当m=4时，d（AOB，Q）取得最大值 此时，点Q的坐标为（4，）故答案为：5、5随练1.8在课
30、外活动中，我们要研究一种四边形筝形的性质定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是_；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，ABC=120，求筝形ABCD的面积【答案】（1）菱形（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等；证明见解析（3）4【解析】（1）菱形的四条边相等，菱形是筝形，故答案为：菱形
31、；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等已知：四边形ABCD是筝形，求证：B=D，证明：如图1，连接AC，在ABC和ADC中，ABCADC，B=D；（3）如图2，连接AC，作CEAB交AB的延长线于E，ABC=120，EBC=60，又BC=2，CE=BCsinEBC=，SABC=ABCE=2，ABCADC，筝形ABCD的面积=2SABC=4随练1.9类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1）概念理解如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件（2）问题探究小红猜想：对角线互相平分的“等邻边
32、四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由如图2，小红画了一个，其中，并将沿的平分线方向平移得到，连结，.小红要是平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？（3）应用拓展如图3，“等邻边四边形”中，为对角线，.试探究，的数量关系【答案】（1）或或或；（2）正确；平移或 或或的距离；（3）【解析】解：（1）或或或（任写一个即可）； （2）正确，理由为：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形， 四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形；， ，将平移得到，（I）如图，当时，； （II）如图，当时，； （III）当时，如图，延长交于点
33、，则，平分， ，设，则，在中， ，解得：，（不合题意，舍去），（IV）当时，如图，与（III）方法一同理可得：，设， 则，解得：，（舍去），；（3），的数量关系为：，如图， 将绕点旋转到，连接， ， ， ， ， ，随练1.10在图1中，点A在边OB上，点D在边OC上，且ADBC将这样的图形定义为“A型”将OAD绕着点O旋转（090）得到新的图形（如图2），将图2中的四边形ABCD称为“准梯形”，AD称为上底，BC称为下底【新知学习】（1）若情境阅读中的OBC是等腰直角三角形，OB=OC，BOC=90，其余条件不变请说明图2中的OABODC在图1中，S四边形ABCD=SOBCSOAD，请探索图2
34、中的S四边形ABCD与图1中的S四边形ABCD的大小关系【变式探究】（2）如图3，四边形ABCD是由有一个角是60的“A型”通过旋转变换得到的“准梯形”，AD是上底，BC是下底，且AB=5，BC=8，CD=5，DA=2求这个“准梯形”的面积【迁移拓展】（3）如图4是由具有公共直角顶点的“A型”绕着直角定点旋转（090）得到的“准梯形”，斜边AD为上底，斜边BC为下底，且AB=3，BC=4，CD=6，AD=3求这个“准梯形”的面积【答案】（1）见解析；S四边形ABCD=S四边形ABCD；（2）15；（3）7【解析】（1）证明：如图2，ADBC，OB=OC，OA=OD，OA=OD，OB=OC，OB
35、=OC，AOB=DOC=，在OAB和ODC中，OABODCOABODC，SOAB=SODC，S四边形ABCD=SOBC+SODCSOABSOAD=（SOBCSOAD）+（SODCSOAB）=SOBCSOAD=S四边形ABCDS四边形ABCD=S四边形ABCD（2）如图3，连接OA、OB、OC、OD，设OA=OD，OB=OC，OA=OD，AOD=60，OA=OD=AD=2，OB=OC，BOC=60，OB=OC=BC=8，S四边形ABCD=SOBCSOAD=（8222）=60=15（3）如图4，连接OA、OB、OC、OD，OA=OB，OD=OC，BOC=90，BC=4，令0B=4，OC=8，则OA
36、=OB4=3，OD=OC=8=6，S四边形ABCD=SOBCSOAD=482362=169=7随练1.11定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形（1）三等角四边形ABCD中，A=B=C，求A的取值范围；（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH求证：四边形ABCD是三等角四边形（3）三等角四边形ABCD中，A=B=C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长【答案】(1)60A120；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）A=B=C，3A+ADC=360，ADC=3603A
37、0ADC180，03603A180，60A120；（2）证明：四边形DEBF为平行四边形，E=F，且E+EBF=180DE=DA，DF=DC，E=DAE=F=DCF，DAE+DAB=180，DCF+DCB=180，E+EBF=180，DAB=DCB=ABC，四边形ABCD是三等角四边形（3）当60A90时，如图1，过点D作DFAB，DEBC，四边形BEDF是平行四边形，DFC=B=DEA，EB=DF，DE=FB，A=B=C，DFC=B=DEA，DAEDCF，AD=DE，DC=DF=4，设AD=x，AB=y，AE=y4，CF=4x，DAEDCF，y=x2+x+4=（x2）2+5，当x=2时，y的
38、最大值是5，即：当AD=2时，AB的最大值为5，当A=90时，三等角四边形是正方形，AD=AB=CD=4，当90A120时，D为锐角，如图2，AE=4AB0，AB4，综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；此时，AE=1，如图3，过点C作CMAB于M，DNAB，DA=DE，DNAB，AN=AE=，DAN=CBM，DNA=CMB=90，DANCBM，BM=1，AM=4，CM=，AC=【题型】解答题自我总结 课后作业作业1在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”
39、S=ah例如：三点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20（1）已知点A（1，2），B（3，1），P（0，t）若A、B、P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；A、B、P三点的“矩面积”的最小值为_（2）已知点E（4，0），F（0，2）M（m，4m），其中m0若E、F、M三点的“矩面积”的为8，求m的取值范围【答案】（1）P 的坐标为（0，1）4（2）0m【解析】（1）由题意：a=4当t2时，h=t1，则4（t1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；当t1时，h=2t，则4（2t）=12，可得t=1，故点P 的坐标为（0，1）；根据题意得：h的最小值为：1，A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；故答案为：4；（2）E，F，M三点的“矩面积”为8，a=4，h=2， 0mm0，0m作业2研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法我们给出如下定义：如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；小