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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 新定义压轴题（二）知识图谱错题回顾顾题回顾新定义压轴题（二）知识精讲一圆与新定义近几年中考最后的新定义压轴题经常与圆有关，并且与动点结合起来考察一次函数与圆的综合，要求学生在理解题意的情况下，定性分析出符合题意的临界位置，并能够结合题目中给的条件进行定量计算，综合性较强难度较大三点剖析一考点：1圆与新定义二重难点：圆与新定义三易错点：动点运动过程中符合题意的临界位置分析错误圆与新定义压轴综合题模精讲题模一：圆与新定义问题例1.1.1在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r（r1），P是圆内与
2、圆心C不重合的点，C的“完美点”的定义如下：若直线CP与C交于点A，B，满足|PAPB|=2，则称点P为C的“完美点”，如图为C及其“完美点”P的示意图（1）当O的半径为2时，在点M（，0），N（0，1），T（，）中，O的“完美点”是_；若O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；（2）C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围例1.1.2定义：如图1所示，给定线段及其垂直平分线上一点，若以点为圆心， 为半径的优弧（或半圆弧）上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点为线段的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个
3、，则称点为线段的“强三足点”。问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点的坐标为，点在射线 上。在点和中，可以成为线段的“三足点”的是_；若第一象限内存在一点既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点的坐标。在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，假设该圆与轴交点中右侧一个为，圆上一动点从出发，绕点顺时针旋转后停止，设点出发后转过的角度为()，若线段与不存在公共的 “ 三足点 ” ，请直接写出的取值范围例1.1.3对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得，则称P为C的关联点已知点，（1）当O的半径为1时，在点D，E，F中，O的关联点是_；过点F作直
4、线l交y轴正半轴于点G，使，若直线l上的点是O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围例1.1.4在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点，满足，则称为点P关于C的反称点，下图为点P及其关于C的反称点的示意图特别地，当点与圆心C重合时，规定（1）当O的半径为1时：分別判断点，关于O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点P在直线上，若点P关于O的反称点存在，且点不在x袖上，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x袖上，半径为1，直线与x轴、y轴分別交于点A，B
5、.若线段AB存在点P，使得点P关于C的反称点在C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围例1.1.5在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交O于点A，则SP为线段AP的长度图1为点P在O外的情形示意图（1）若点B（1，0），C（1，1），则SB= ；SC= ；SD= ；（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点若线段PQ上存在一点T，满足T在O内且STSR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值随堂练习随
6、练1.1定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 ；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为 ；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MHx轴，垂足为
7、H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由随练1.2在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P（x+y，xy）（1）如图1，如果O的半径为2，请你判断M（2，0），N（2，1）两个点的变换点与O的位置关系；若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P在O的内，求点P横坐标的取值范围（2）如图2，如果O的半径为1，且P的变换点P在直线y=2x+6上，求点P与O上任意一点距离的最小值随练1.3对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使PMN为正三角形，则称图形G为点P的型线，点P为图形G
8、的型点，PMN为图形G关于点P的型三角形（1）如图1，已知点，以原点O为圆心的O的半径为1在A，B两点中，O的型点是_，画出并回答O关于该型点的型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点，点（其中m0）若线段EF为原点O的型线，且线段EF关于原点O的型三角形的面积为，求m的值；（3）若是抛物线的型点，直接写出n的取值范围随练1.4对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点（1）已知点，若，在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是_；如果点P（m，n）在直线上，且是线段AO的悬垂点，求的取
9、值范围；（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围随练1.5在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点定义图形W的测度面积：若的最大值为m，的最大值为n，则为图形W的测度面积例如，若图形W是半径为1的O当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，取得最大值，且最大值；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，取得最大值，且最大值则图形W的测度面积（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积_；如图4，当ABx轴时，它的测度面积_；（2）若图形W是一个边长为
10、1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为_；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围自我总结 课后作业作业1在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P为射线CP上一点，满足CPCP=r2，则称点P为点P关于C的反演点右图为点P及其关于C的反演点P的示意图（1）如图1，当O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于O的反演点M，N，T的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点若点O，E关于G的反演点分别
11、为O，E，求EOG的大小；若点P在G上，且BAP=OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于G的反演点为Q，请直接写出线段GQ的长度作业2 定义：由圆的切线和过切点的弦所组成的角叫做弦切角如图1，已知AB切O于D点，CD是O的弦，则图中BCD与ADC都是弦切角（1）如图2，作出BCD所夹弧CD所对的圆周角M，求证：BCD=M；（2）请用文字语言总结（1）中的结论_；（3）如图3，PB切O于B点，PAB交O于A、B两点，利用（2）中结论，求证：PC2=PAPB作业3探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，
12、此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离；如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCD+BCDA=ACBD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+_；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并
13、请指出线段_的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值作业4阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在RtABC中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇
14、异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使AE=AD，CB=CE求证：ACE是奇异三角形；当ACE是直角三角形时，求AOC的度数作业5对于半径为r的P及一个正方形给出如下定义：若P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称P是该正方形的“等距圆”如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为，顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧（1）当时，在，中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是；若点P在直线上，且P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为，顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方若P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求P在y轴上截得的弦长；将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是yxABCODyxABCODHGFE图1图210