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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲 图形的旋转知识图谱错题回顾顾题回顾图形的旋转知识精讲一 旋转的基本知识旋转的概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点二 旋转的相关计算与证明旋转过程中的角度和线段计算问题主要是利用旋转的性质：旋转前后的两个图形是全等的，且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角来求解角度和线段长度旋转过程中扫过的路径长度一般是一段弧的长度，面积一般是一个扇形的面积，所以
2、解决问题的关键是找到路径所在圆或面积所在扇形的圆心，半径和圆心角，然后利用弧长公式或扇形面积公式来求解三 旋转与全等三角形综合“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及已知,；可将绕点旋转，使与重合四 旋转中的最值问题解决此类问题要从分析旋转过程中相关量之间的关系入手，尝试在变换中寻求不变的关系，并借助“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”寻找线段长度取得最值时的特殊位置，最后利用勾股定理等知识求得线段的长度旋转与相似三角形综合方法点拨1在几何综合题中，经常会遇见求解线段长度、角的度数或者是图形的面积问题，求解的过程除了直接利用几
3、何图形的性质及勾股定理进行求解外，有时候还需要构造旋转图形，产生新的图形进行边和角的等量代换，并最终求出结果2构造旋转图形求线段长度主要是让所求线段在一个特殊的三角形中或者是直接通过等量代换找到与所求线段长相等的线段，最后利用相关知识求解3构造旋转图形求解角的度数或者是图形的面积主要是通过等量代换或者产生特殊角或特殊图形，然后再计算相应的角的度数或者图形的面积三点剖析一考点：旋转的基本知识，与旋转相关的证明与计算，旋转与全等三角形综合，旋转中的最值问题，旋转与相似三角形结合二重难点：动态问题一定要分析清楚运动的每个阶段点的轨迹或者是运动状态，计算出每一阶段的路径长度或扫过的面积，再按照题目要求
4、求出最终结果三易错点：1研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角2每一组对应点所构成的旋转角相等题模精讲题模一：旋转的基本知识例1.1.1不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得，由，得，由得，原不等式组的解集是例1.1.2解不等式【答案】或【解析】当时，原不等式可化为，解得，结合，故是原不等式的解；当时，原不等式可化为，解得，结合，故是原不等式的解；当时，原不等式可化为，解得，结合，故是原不等式的解. 综上可知或是原不等式的解例1.1.3以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A等腰梯形B平行四边形C矩形D等边三角形【答案】C【解析】掌握好中心对
5、称图形与轴对称图形的概念判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，也是轴对称图形；D、不是中心对称图形，是轴对称图形故选C例1.1.4如图，它可以看作“”通过连续平移3次得到的，看作“”绕中心旋转次，每次旋转度得到的【答案】3；3；90【解析】由图可知，“”通过连续平移3次即可得出图形；此图形是中心对称图形，也可以看作是“”绕中心旋转3，每次旋转90到的例1.1.5如图，将ABC绕
6、点C（0，-1）旋转180得到ABC，设点A的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）A（-a，-b）B（-a-b-1）C（-a，-b+1）D（-a，-b-2）【答案】D【解析】解：把AA向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）因A1、A2关于原点对称，所以A对应点A2（-a，-b-1）A（-a，-b-2）故选D题模二：与旋转相关的计算与证明例1.2.1试确定实数的取值范围，使不等式组恰有两个整数解【答案】【解析】由，两边同乘以得，解得，由，两边同乘以得，解得，原不等式组的解集为又原不等式组恰有个整数解，即；则的值在（不含）到（含）之间，例1.2.2如图，在ABC中，ACB=90，AB
7、C=30，AB=2将ABC绕直角顶点C逆时针旋转60得ABC，则点B转过的路径长为（）ABCD【答案】B【解析】在ABC中，ACB=90，ABC=30，AB=2，cos30=，BC=ABcos30=2=，将ABC绕直角顶点C逆时针旋转60得ABC，BCB=60，点B转过的路径长为：=故选：B例1.2.3如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，将ABC绕点B逆时针旋转60得到ABC，连接AC，则AC的长为_【答案】4+3【解析】连结CC，AC交BC于O点，如图，ABC绕点B逆时针旋转60得到ABC，BC=BC=6，CBC=60，AB=AB=AC=AC=5，BCC为等边三角形，CB=CB，而A
8、B=AC，AC垂直平分BC，BO=BC=3，在RtAOB中，AO=4，在RtOBC中，tsinCBO=sin60=，OC=6=3，AC=AO+OC=4+3故答案为4+3题模三：旋转与全等三角形综合例1.3.1通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由（1）思路梳理AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线根据_，易证AFG_，得EF=BE+DF（2）类比引申如图2
9、，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，则当B与D满足等量关系_时，仍有EF=BE+DF（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程【答案】（1）SAS （2）AFE （3）B+D=180 （4）DE2=BD2+EC2【解析】此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明AFGAEF此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫（1）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，再证明A
10、FGAFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）B+D=180时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，根据旋转的性质，可知AECABE得到BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，根据RtABC中的，AB=AC得到EBD=90，所以EB2+BD2=ED2，证AEDAED，利用DE=DE得到DE2=BD2+EC2；（1）AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线，在AF
11、E和AFG中，AFEAFG（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF（2）B+D=180时，EF=BE+DF；AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC+B=180，FDG=180，点F、D、G共线，在AFE和AFG中，AFEAFG（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，AECABE，BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，在RtABC中，AB=AC，ABC=ACB=45，ABC
12、+ABE=90，即EBD=90，EB2+BD2=ED2，又DAE=45，BAD+EAC=45，EAB+BAD=45，即EAD=45，在AED和AED中，AEDAED（SAS），DE=DE，DE2=BD2+EC2题模四：旋转中的最值问题例1.4.1如图，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点、分别在和上，连接、（1）试猜想线段和的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由若，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度（），当为最大值时，
13、求的值【答案】（1）垂直且相等（2）成立，证明见解析；【解析】（1）如图（1），ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），延长EA到BG于一点M，线段BG和AE相等且垂直；（2）成立，如图（2），延长EA分别交DG、BG于点、两点，ABC是等腰直角三角形，点D是BC的中点，且，在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），即BGAE且；（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，当正方形DEFG旋转到G点位于
14、BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270）时，BG最大，如图（3），若，则，在RtAEF中，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，题模五：旋转与相似三角形综合例1.5.1如图，和都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G（1）求证：；（2）若是边长可变化的等腰直角三角形，并将绕点A旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交当为等腰直角三角形时，求出的值ABCDEFG【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考查三角形综合（1）， 1分，且，ADBAEC，2分又， 3分AFCGFB4分（2）AFCGFB，图
15、当，时，如图所示， 设，则BDE为等腰直角三角形， 5分图当，时，如图所示， 同理设，则 ， 6分图 当，时，如图所示，同理设，则四边形ADBE是正方形， 7分随堂练习随练1.1如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC由ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_【答案】【解析】连接AA、CC，作线段AA的垂直平分线MN，作线段CC的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心直线MN为：x=1，设直线CC为y=kx+b，由题意：，直线CC为y=x+，直线EFCC，经过CC中点（，），直线EF为y=3x+2，由得，P（1，1）随练1.2解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来【答案】【
16、解析】解不等式，得解不等式，得所以不等式组的解集是在数轴上可表示为：随练1.3如图，在方格纸中，ABC经过变换得到DEF，正确的变换是_A把ABC绕点C逆时针方向旋转90，再向下平移2格B把ABC绕点C顺时针方向旋转90，再向下平移5格C把ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180D把ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180【答案】B【解析】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高观察图象可知，先把ABC绕点C顺时针方向旋转90，再向下平移5格即可得到根据图象，ABC绕点C顺时针方向旋转90，再
17、向下平移5格即可与DEF重合故选B随练1.4在RtABC中，C=90，BC=4cm，AC=3cm把ABC绕点A顺时针旋转90后，得到AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（）A5cmBcmCcmD5cm【答案】C【解析】在RtABC中，AB=5，lAB=cm，故点B所经过的路程为cm故选C随练1.5如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转度得矩形ABCD，点C落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是（）ABCD【答案】A【解析】在矩形ABCD中，AB=，AD=1tanCAB=，AB=CD=，AD=BC=1，CAB=30，BAB=30，SABC=1=，S扇形BA
18、B=，S阴影=SABCS扇形BAB=随练1.6在矩形ABCD中，点P在AD上，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：的大小是否发生变化？请说明理由【答案】（1）（2）不变【解析】该题考查的是四边形综合（1）在矩形ABCD中，ABPDPC，即（3分）（2）大小不变证：过点F作于点G，易证四边形ABFG是矩形，APEGFP（5分）在RtEPF中，（6分）即的值不变，故
19、大小不变（7分）随练1.7如图1，RtABCRtEDF，EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K（1）观察：如图2、图3，当或60时，_MK（填“”，“”或“”）如图4，当时，_MK（只填“”或“”）（2）猜想：如图1，当时，_MK，证明你所得到的结论（3）如果，请直接写出CDF的度数和的值DBCAFEMK图1DBCA(F,K)EM图2DBCAFEK图3(M)DBCAFEMK图4【答案】见解析【解析】（1），（2）证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD，则，D是AB的中点，ADMGDM，（3），随练1.8如图1，点为正方形的中心（1）将线段绕点逆时针方向旋
20、转，点的对应点为点，连结，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，是等腰直角三角形，是的中点，绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值图1图2【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）正确画出图形；1分（2）延长交于点，交于点2分为正方形的中心，903分绕点逆时针旋转90角得到904分在和中，.5分+=906分（3）的最大值为8分随练1.9在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC
21、1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值【答案】（1）90；（2）；（3）最小值-2；最大值7【解析】（1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，CC1B=C1CB=45，CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90（2）ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，=，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1=()2=()2=，S ABA1=4，S CBC1=；
22、（3）如图1，过点B作BDAC，D为垂足，ABC为锐角三角形，点D在线段AC上，在RtBCD中，BD=BCsin45=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；当P在AC上运动至点C，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7随练1.10如图，点O是边长为1的等边ABC内的任一点，设，（1）将BOC绕点C沿顺时针方向旋转60得ADC，连结OD，如图2所示求证：（2）在（1）的基础上，将ABC绕点C沿顺时针方向旋转
23、60得EAC，连结DE，如图3所示求证：（3）在（2）的基础上，当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上并直接写出的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），【解析】（1）BOC绕点C沿顺时针方向旋转60得ADC，COD是等边三角形，；（2）BOC绕点C沿顺时针方向旋转60得EDC，ABC绕点C沿顺时针方向旋转60得EAC，ADCBOC，EACABC，即，在EAD和ABO中，EADABO，；（3）ABC绕点C沿顺时针方向旋转60得EAC，四边形ABCE是菱形B、O、D、E在同一直线上，B、O、D、E是菱形ABCE的对角线，ADCBOC，EACABC，COD是正三角形，点
24、B、O、D、E在同一直线上，同理可得：作OFAB于F，设，则，在RtBOF中，由勾股定理，得，即的最小值为随练1.11将ABC绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得ABC，即如图，我们将这种变换记为，n（1）如图，对ABC作变换60，得ABC，则S ABC：S ABC=_；直线BC与直线BC所夹的锐角为_度；（2）如图，ABC中，BAC=30，ACB=90，对ABC 作变换，n得ABC，使点B、C、C在同一直线上，且四边形ABBC为矩形，求和n的值；（3）如图，ABC中，AB=AC，BAC=36，BC=l，对ABC作变换，n得ABC，使点B、C、B在同一直线上，且四边形ABBC
25、为平行四边形，求和n的值【答案】（1）3:1 （2）60 （3）=60 （4）n=2 （5）=72 （6）n=【解析】（1）根据题意得：ABCABC，S ABC：S ABC=（）2=（）2=3，B=B，ANB=BNM，BMB=BAB=60；故答案为：3，60；（2）四边形ABBC是矩形，BAC=90=CAC=BAC-BAC=90-30=60在 RtABB中，ABB=90，BAB=60，ABB=30，n=2；（3）四边形ABBC是平行四边形，ACBB，又BAC=36，=CAC=ACB=72BBA=BAC=36，而B=B，ABCBBA，AB：BB=CB：AB，AB2=CBBB=CB（BC+CB），
26、而CB=AC=AB=BC，BC=1，AB2=1（1+AB），AB=，AB0，n=自我总结 课后作业作业1如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作ABx轴于点B，将绕点B逆时针旋转60得到若点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】作CHx轴于H，如图，绕点B逆时针旋转60得到，在中，作业2有一种几何图形，它绕某一定点旋转，不论旋转多少角度，所得到的图形都与原来的图形完全重合，这种几何图形是（ ）A正三角形B正方形C正六边形D圆【答案】D【解析】A、正三角形只有绕旋转中心-内心至少旋转120，才能与原来的图形重合，故本选项错误；B、正方形只有绕旋转中心-对角线交点至少旋
27、转90，才能与原来的图形重合，故本选项错误；C、正六边形只有绕旋转中心-对角线交点至少旋转60，才能与原来的图形重合，故本选项错误；D、圆绕圆心旋转，不论旋转多少角度，所得到的图形都与原来的图形完全重合，故本选项正确作业3下列图形中，绕某个点旋转90能与自身重合的有（ ）正方形；长方形；等边三角形；线段；角；平行四边形A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】正方形旋转的最小的能与自身重合的度数是90度，正确；长方形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误；等边三角形旋转的最小的能与自身重合的度数是120度，错误；线段旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误；角旋转的最小的能与自身
28、重合的度数是360度，错误；平行四边形旋转的最小的能与自身重合的度数是180度，错误作业4解不等式【答案】或【解析】从里往外的去绝对值符号，将数轴分为，三段来讨论，可以转化为三个不等式组，最后得到或作业5如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）AB13C25D25【答案】A【解析】连接BD，BD，AB=5，AD=12，BD=13，=，=6，点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6=，故选：A作业6如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B
29、（1，3）AOB绕点O逆时针旋转90后得到A1OB1（直接填写答案）（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为_；（2）点A1的坐标为_；（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为_【答案】（1）（-3，-2） （2）（-2，3） （3）【解析】（1）A（3，2），点A关于点O中心对称的点的坐标为（-3，-2）；（2）（-2，3）；（3）根据勾股定理，OB=，所以，弧BB1的长=故答案为：（1）（-3，-2）；（2）（-2，3）；（3）作业7如图，在ABC中，ACB=90，ABC=30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0180），得到ABC设AC中点为E，AB中点为P，
30、AC2，连接EP，当=_时，EP长度最大，最大值为_【答案】120；3【解析】该题考查的是旋转的性质如图，联结CP，当ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，此时，AC中点为E，中点为P， 作业8如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75至OABC的位置，若OB=2，C=120，则点B的坐标为_A（3，）B（3，-）C（，）D（，-）【答案】D【解析】过点B作BEOA于E，过点B作BFOA于F，BE0=BFO=90，四边形OABC是菱形，OABC，AOB=AOC，AOC+C=180，C=120，AOC=60，AOB=30，菱形OABC绕原点O顺时针旋转75至
31、OABC的位置，BOB=75，OB=OB=2，BOF=45，在RtBOF中，OF=OBcos45=2=，BF=，点B的坐标为：（，-）故选D作业9已知：等边中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且（1）如图1，当时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系【答案】见解析【解析】（1）（2）理由如下：过点O
32、作ODAC，OEBC，易得， 在边AC上截得，连结，EON，易证MON，（3）作业10如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当ABC绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点H求证：BDCF；当AB=2，AD=3时，求线段DH的长【答案】（1）成立BD=CF（2）见解析DH=【解析】（1）BD=CF理由如下：由题意得，CAF=BAD=，在CAF和BAD中，CAFBAD，BD
33、=CF；（2）由（1）得CAFBAD，CFA=BDA，FNH=DNA，DNA+NAD=90，CFA+FNH=90，FHN=90，即BDCF；连接DF，延长AB交DF于M，四边形ADEF是正方形，AD=3，AB=2，AM=DM=3，BM=AMAB=1，ABC绕点A逆时针旋转45，BAD=45，AMDF，DB=，MAD=MDA=45，AMD=90，又DHF=90，MDB=HDF，DMBDHF，即，解得，DH=作业11已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF设CE=a，CF=b（1）如图1，当EAF被对角线AC平分时，
34、求a、b的值；（2）当AEF是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由【答案】（1）a=b=4；（2）a=8，b=4；（3）ab=32【解析】（1）四边形ABCD是正方形，ACF=DCD=90，AC是正方形ABCD的对角线，ACB=ACD=45，ACF=ACE，EAF被对角线AC平分，CAF=CAE，在ACF和ACE中，ACFACE，CE=CE，CE=a，CF=b，a=b，ACFACE，AEF=AFE，EAF=45，AEF=AFE=67.5，CE=CF，ECF=90，AEC=AFC=22.5，CAF=CAE=22.5，CAE=CEA，
35、CE=AC=4，即：a=b=4；（2）当AEF是直角三角形时，当AEF=90时，EAF=45，AFE=45，AEF是等腰直角三角形，AF2=2FE2=2（CE2+CF2），AF2=2（AD2+BE2），2（CE2+CF2）=2（AD2+BE2），CE2+CF2=AD2+BE2，CE2+CF2=16+（4+CE）2，CF2=8（CE+4）AEB+BEF=90，AEB+BAE=90，BEF=BAE，ABEECF，4CF=CE（CE+4），联立得，CE=4，CF=8a=4，b=8，当AFE=90时，同的方法得，CF=4，CE=8，a=8，b=4（3）ab=32，理由：如图，BAG+AGB=90，AF
36、C+CGF=90，AGB=CGF，BAG=AFC，BAC=45，BAG+CAF=45，AFC+CAF=45，AFC+AEC=180（CFE+CEF）EAF=1809045=45，CAF=AEC，ACF=ACE=135，ACFECA，ECCF=AC2=2AB2=32ab=32作业12如图1，在RtABC中，ACB=90，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且DOE=B（1）证明COF是等腰三角形，并求出CF的长；（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，OMN与BCO相似？
37、【答案】（1）（2）或【解析】（1）ACB=90，点O是AB的中点，OC=0B=OA=5OCB=B，ACO=ADOE=B，FOC=OCFFC=FOCOF是等腰三角形过点F作FHOC，垂足为H，如图1，FC=FO，FHOC，CH=OH=，CHF=90HCF=B，CHF=BCA=90，CHFBCA=CH=，AB=10，BC=6，CF=CF的长为（2）若OMNBCO，如图2，则有NMO=OCBOCB=B，NMO=BA=A，AOMACB=ACB=90，AB=10，BC=6，AC=8AO=5，AC=8，AB=10，AM=CM=AC-AM=若OMNBOC，如图3，则有MNO=OCBOCB=B，MNO=BACO=A，CONACB=BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，ON=，CN=过点M作MGON，垂足为G，如图3，MNO=B，MON=B，MNO=MONMN=MOMGON，即MGN=90，NG=OG=MNG=B，MGN=ACB=90，MGNACB=GN=，BC=6，AB=10，MN=CM=CN-MN=-=当CM的长是或时，OMN与BCO相似作业13在平面直