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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 图形初步知识图谱错题回顾顾题回顾图形初步知识精讲知识精讲一几何图形初步1几何图形 （1）常见立体图形的平面展开图直棱锥圆锥棱锥圆柱长方体（2）正方体的11种展开图“一四一”型“二三一”型“二二二”型“三三”型（3）表面有图案的展开图表面图案无方向区分若立体图形表面的图案无方向区分，例如表面有字或字母等，则只需判断字母所在的平面与其它平面的位置关系即可；表面图案有方向区分若立体图形表面的图案有方向区分，例如表面为不同图案等，则不仅需要判断字母所在的平面与其它平面的位置关系，还需判断展开后图案
2、的方向（4）与其他知识结合与两点之间线段最短结合；与平面图形的计算结合2直线、射线、线段（1）直线、射线、线段的定义直线：没有端点的，可向两端无限延长的，长度无法度量的直的线；射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，直线上的一点称为射线的端点；线段：直线上两个点和它们之间的部分所组成的图形称为线段，这两个点叫做线段的端点（2）直线、射线、线段的表示方式直线：直线或直线射线：射线或射线线段：线段（3）直线、射线、线段的性质直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线两点确定一条直线；线段：两点的所有连线中，线段最短两点之间，线段最短3角（1）角的表示方法：，（2）角度制：以度、分、秒
3、为单位的角的度量制，叫做角度制，其中，比较角的大小时，要化为统一单位后再比较，进行角的计算时，也要化为统一单位后再进行计算（3）角的大小与比较测量角的大小：借助量角器，我们可以测量角的度数以及比较角的大小；比较角的大小：可以用量角器量出角的度数，然后比较角的大小，也可以把角叠合在一起比较大小；角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线（4）余角与补角余角：如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角等角的余角相等；补角：如果两个角的和等于180，就说这两个角互为补角等角的补角相等二相交线与平行线1相交线（1）对顶角和邻补角对顶角：有一个公共顶点，并
4、且有一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角，对顶角相等；邻补角：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角（2）垂直和垂线垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（3）三线八角如图所示，一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同位角；内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三
5、条直线（截线）的两旁，这样一对角叫做内错角；同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样一对角叫做同旁内角2平行线（1）平行线平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（2）平行线的判定和性质平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补（3）两条平行线之间的距离：在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，
6、垂线段的长度就是两平行线之间的距离方法点拨一如何识别“三线八角”1同位角是位置相同，内错角是“内部”、“两旁”，同旁内角是“内部”、“同旁”2关键：找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”，或把无关的线略去不看；有时又需要把图形补全二垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度三对顶角与邻补角：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角互补，但互补的角不一定是邻补角；一定要同时兼顾“数量关系”和“位置关系”三点剖析一考点：几何图形初步；相交线与平行线二重难点：立体图形展开图；与平行线相关证明与角度计算三易错点：1在确定立体图形展开图时，注意
7、特殊节点和特殊图形；2注意点与点之间的距离一定是线段的长度；3把平行公理和垂线的性质对比进行学习，注意它们分别对平面和点的不同要求题模精讲题模一：几何图形初步例1.1.1如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（）ABCD【答案】D【解析】根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A错误，且两条相邻成直角，故B错误，正视图的斜线方向相反，故C错误，只有D选项符合条件例1.1.2图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是（ ）A我B的C梦D中【答案】A【解析
8、】该题考查展开图观察图一可知“中”与“的”相对；“梦”与“梦”相对；“我”与“国”相对；因此图二中开始翻转时，第一格正面朝上的字为梦，第二格正面朝上为的字为的，第三格正面朝上的字为国，第四格正面朝上的字为梦，第五格正面朝的字为我故该题选A例1.1.3如图所示，把一根绳子对折成线段，从处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）A30cmB60cmC120cmD60cm或120cm【答案】D【解析】（1）当A时绳子的对折点时，绳长；（2）当B时绳子的对这点时，绳长例1.1.4O是直线AB上一点，COD是直角，OE平分BOC.（1）如图1，若，求DOE的度数；（2）在
9、图1中，若，直接写出DOE的度数（用含的代数式表示）；（3）将图1中的COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置.探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由在的内部有一条射线OF，满足：.试确定与的度数之间的关系.OABDEC图1AOBCED图2【答案】（1）20（2）（3）【解析】该题考查角度计算1. （1）由已知得2. 又是直角，OE平分，3. （2）由（1），（3）；理由：是直角，OE平分，则理由：设，4. 左边，右边，即，题模二：相交线与平行线例1.2.1有下列四个命题：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补在同一平面内，如果两
10、条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直其中所有正确的命题是（）ABCD【答案】B【解析】该题考察的是命题如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；故原命题正确；两条平行线被第三条直线所截，才有同旁内角互补，故原命题错误；在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线相互平行，故原命题错误；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题正确故答案是B例1.2.2如图，若两条平行线EF，MN与直线AB，CD相交，则图中共有同旁内角的对数为（ ）A4B8C12D16【答案】D【解析】以CD为截线
11、，若以EF、MN为被截直线，有2对同旁内角，若以AB、EF为被截直线，有2对同旁内角，若以AB、MN为被截直线，有2对同旁内角；综上，以CD为截线共有6对同旁内角同理：以AB为截线又有6对同旁内角以EF为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角，以MN为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角，综上，共有16对同旁内角例1.2.3如图，（ ）A180B360C540D720【答案】C【解析】作、，故，故，故例1.2.4如图，已知，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么【答案】见解析【解析】BFDE理由如下：，BDCF，又， ABCD，又，即，BFDE例1.2.5如图，（1）求证：AD
12、CE；（2）在（1）的条件下，如图，作，CF与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：过点B作BMAD，BMCE，ADCE；（2）解：设，CF与BAH的平分线交于点F，过点B作BMAD，过点F作FNAD，ADCE，ADFNBMCE，的余角等于的补角，解得：，随堂练习随练1.1下列叙述正确的是（ ）A连结两点间的线段叫做这两点间的距离B不相交的两条直线是平行线C直线外一点与直线上各点的连线中垂线最短D两点之间线段最短【答案】D【解析】该题考查的是线段的概念连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离；在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；直线外
13、一点与直线上各点的连线中，垂线段最短；两点之间线段最短；所以该题的答案是D随练1.2如图，是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与“看”相对的面上的汉字是（）A南B世C界D杯【答案】C【解析】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题利用正方体及其表面展开图的特点解题方法比较灵活可让“看”字面不动，分别把各个面围绕该面折成正方体，这需要空间想象能力，如果想象不出就动手操作，或者拿手边的正方体展成该形状观察这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“南”与面“世”相对，面“杯”与面“非”相对，“看”与面“界”相对故选C随练1.3如图1是一个小正方体的侧面
14、展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）A北B京C精D神【答案】A【解析】该题考查的是立方体的平面展开图由图1可得，“践”和“神”相对；“北”和“精”相对；“行”和“京”相对；由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第4格时，“精”在下面，则这时小正方体朝上面的字是“北”故答案是A随练1.4下列算式正确的是（ ）A和B和C和D和【答案】D【解析】，随练1.5如图，在长方形ABCD中，点P与点Q分别是AB、CB边上的动点，点P与点Q同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度从点A点B运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C点B运动当其中
15、一个点到达终点时，另一个点随之停止运动（设运动时间为t秒）（1）如果存在某一时刻恰好使，求出此时t的值；（2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留整数）【答案】（1）（2）37【解析】该题考察的是动点问题（1）由题意可知，所以，当时，有 2分解这个方程，得 3分所以当秒时，（2）当时，所以 4分因为， 所以 5分随练1.6下列说法正确的有（ ）不相交的两条直线是平行线；在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；若线段AB与CD没有交点，则ABCD；若ab，bc，则a与c不相交A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故错误；在同一平面内，两条直
16、线的位置关系有两种，正确；在同一平面内，若线段AB与CD没有交点，则ABCD，故错误；若ab，bc，则a与c不相交，正确随练1.7如图，已知ABDE，ABC=70，CDE=140，则BCD的值为（ ）A20B30C40D70【答案】B【解析】延长ED交BC于F，ABDE，ABC=70，MFC=B=70，CDE=140，FDC=180140=40，C=MFCMDC=7040=30随练1.8如图，将长方形纸片的角沿着折叠（点在上，不与，重合），使点落在长方形内部点处，若平分，则的度数是（ ）ABCD随折痕位置的变化而变化【答案】C【解析】由折叠而知，平分，随练1.9如图所示，把一长方形纸片沿MN折
17、叠后，点D，C分别落在D，C的位置若AMD=36，则NFD等于_A144B126C108D72【答案】B【解析】此题综合运用了折叠的性质、平行线的性质、四边形的内角和定理根据AMD=36和折叠的性质，得NMD=NMD=72；根据平行线的性质，得BNM=NMD=72；根据折叠的性质，得D=D=90；根据四边形的内角和定理即可求得NFD的值AMD=36，NMD=NMD=72ADBC，BNM=NMD=72又D=D=90，NFD=360-722-90=126故选B随练1.10如图，已知点D、F、E、G都在的边上，求的度数AGCDFBE231【答案】【解析】该题考查的是平行的性质EFAD，已知，DGAB
18、，可得，随练1.11如图，直线ACBD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角）（1）当动点P落在第部分时，求证：；（2）当动点P落在第部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明【答案】（1）见解析；（2）不成立；（3）见解析【解析】（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点EACBD，；解法二：如图2
19、过点P作FPAC，ACBD，FPBD；解法三：如图3，ACBD，又，（2）不成立（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是（b）当动点P在射线BA上，结论是或或，（任写一个即可）（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于MACBD，又（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），选择（b）证明：如图5点P在射线BA上，ACBD，或或，选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于FACBD，自我总结 课后作业作业1下列说法中，正确的是（ ）A经过两点可以画一条直线B一条直线上共有两个点C射线是直线的一半D线段比射线短【答案】A【解析】
20、该题考查的是直线、射线、线段的概念A：正确，两点可以唯一确定一条直线；B：错误，一条直线上有无数个点；C：错误，射线的长度为无限长，直线的长度也为无限长，二者长度无法比较；D：错误，射线的长度为无限长，不能与线段比较，故本题答案是A作业2过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为（）AA选项BB选项CC选项DD选项【答案】B【解析】考查了截一个几何体和几何体的展开图解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点
21、，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合故选B作业3已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是OPMAOPMBOPMCOPMDOPMAA图BB图CC图DD图【答案】D【解析】该题考查的是扇形的面积和弧长蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM上的点（P）重合，而选项C还原后两个点不能够重合故本
22、题答案选D作业4计算的值是（ ）ABCD【答案】A【解析】化为统一单位计算即可作业5如果圆锥的底面周长是20，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120则圆锥的母线是_【答案】30 【解析】本题考查了圆锥的计算关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解将l=20，n=120代入扇形弧长公式l=中，得20=，解得r=30故答案为：30作业6下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这
23、两条直线相互垂直；（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直；（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直A4B3C2D1【答案】C【解析】通过垂直的定义可以判定全部正确作业7如图，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】根据平行线的性质得到，求出，根据求出即可作业8如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分AOC，ONOM，若AOM=35，则CON的度数为（ ）A35B45C55D65【答案】C【解析】射线OM平分AOC，AOM=35，MOC=35，ONOM，MON=90，CON=MONMOC=903
24、5=55作业9看图填空：已知ABCD，（1）_（2）_（3）_， _【答案】（1）180（2）360（3）540；【解析】（1）ABCD，；（2）如图，过点E作EFAB，ABCD，ABEFCD，即；（3）过点E作EGAB，FHCD，同（2）可求：，故答案为：（1）180；（2）360；（3）540；作业10已知：如图所示，ABD和BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，（1）求证：ABCD（2）试探究2与3的数量关系【答案】见解析【解析】（1）BE、DE平分ABD、BDC，；ABCD；（同旁内角互补，两直线平行）（2）理由如下：DE平分BDC，；，；作业11已知ABCD，探究下列几种情况：（1）如图1，若，求证：（2）如图2，若，求证：（3）若，则AFC与AEC的数量关系是_（用含有n的代数式表示，不证明）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）如图1，连接AC，设，ABCD，（2）如图2，连接AC，设，ABCD，（3）若，则AFC与AEC的数量关系是22