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1、高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 最值问题（二）知识图谱错题回顾顾题回顾最值问题（二）知识精讲一将军饮马问题如图所示，将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？如图所示，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于点，则点就是饮马的地方，将军只要从出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到营地，所走的路程就是最短的二将军饮马问题模型1.如图，直线和的异侧两点、，在直线上求作一点，使最小2.如图，直线和的同侧两点、，在直线上求作一点，使最小3如图，直
2、线和同侧两点、，在直线上求作一点，使最大4如图，直线和异侧两点、，在直线上求作一点，使最大5如图，点是内的一点，分别在，上作点，使的周长最小6如图，点，为内的两点，分别在，上作点，使四边形的周长最小7如图，点是外的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小8如图，点是内的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小 三造桥选址问题如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行,桥与河岸垂直） 四利用三边关系 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三
3、边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明，另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等）三点剖析一考点：1将军饮马问题；2造桥选址问题二重难点：1将军饮马问题的8大模型；2造桥选址问题模型及其变式三易错点： 1无论是将军饮马问题还是造桥选址问题给定的都是两个定点，很多学生可以直接套模型，但是如果两个点中只有一个定点，另外一个点是动点就要结合其它与最
4、值有关的知识点，比如最常见的就是“垂线段最短”2很多学生在利用将军饮马和造桥选址模型求解最短路径问题时，往往自己做对称点，其实很多时候图形都是很特殊的，都自带对称图形，这样就直接在已有的线段上找对称点，然后再求解，这样会简单很多1将军饮马问题；2造桥选址问题题模精讲题模一：轴对称与最值问题例1.1.1我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得最小我们只要作点B关于l的对称点B，（如图2所示）根据对称性可知，因此，求最小就相当于求最小，显然当A、P、B在一条直线上时最小，
5、因此连接AB，与直线l的交点，就是要求的点P有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点连结EP，CP，则EP+CP的最小值是_；（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）（3）如图5，平面直角坐标系中有两点、，在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是_，点D的坐标应该_【答案】（1）（2）见解析（3）；【解析】该题考查的是对称的性质（1）做点E关于线段BD的对称点F，连接CF，即为
6、最短距离，此时，1分F（2）分别作点A关于OM，ON的对称点D，E，连接DE，分别交OM，ON于点B，C，点B，C即为所求作的点；3分（点D，E作出各得1分，连接DE得1分，写出结论得1分）（3）作B关于y轴的对称点E和A关于x轴的对称点F，连接EF，分别于x，y轴交于C，D，点C，D即所求的点，设函数图像为，代入，得方程组，解得，分别代入，得到交点坐标C，D5分EFCD例1.1.2如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是
7、否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式【答案】（1）y=x2-x+2，A（2，0），B（6，0）（2）最小值为2（3）y=-x+2【解析】（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）2-（a0）抛物线经过（0，2）a（0-4）2-=2解得：a=y=（x-4）2-即：y=x2-x+2当y=0时，x2-x+2=0解得：x=2或x=6A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，
8、所以AP+CP=BC的值最小B（6，0），C（0，2）OB=6，OC=2BC=2，AP+CP=BC=2AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接MECE是M的切线MECE，CEM=90由题意，得OC=ME=2，ODC=MDE在COD与MED中CODMED（AAS），OD=DE，DC=DM设OD=x则CD=DM=OM-OD=4-x则RtCOD中，OD2+OC2=CD2，x2+22=（4-x）2x=D（，0）设直线CE的解析式为y=kx+b（k0），直线CE过C（0，2），D（，0）两点，则解得：直线CE的解析式为y=-x+2；例1.1.3小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知
9、在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得的值最小小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：作点A关于直线l的对称点连结，交直线l于点P则点P为所求APBl请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得的周长最小在图1中作出点P（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）请直接写出周长的最小值_EDACB图1（2）如图2在矩形ABCD中，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位
10、置（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值_ADGCB图2【答案】（1）见解析8（2）【解析】该题考查的是将军饮马问题（1）如图1，作D关于BC的对称点，由轴对称的性质可知， 当、P、E共线时最小，即P为与BC的交点，1分此时，由D、E分别为AB、AC中点，DE/BC且，且D到BC距离为A到BC距离一半，即为2，由轴对称的性质可知，即为D到BC距离两倍，所以，DE/BC，在Rt中，由勾股定理，；2分（2）如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取，则CH和EF平行且相等，四边形CHEF为平行四边形，由轴对称的性质可知， 当M、E、H共线时最小，连接
11、HM与AB的交点即为E，在EB上截取即得F，4分此时，在RtDHM和RtDGC中由勾股定理：，5分图1题模二：三角形三边关系与最值问题例1.2.1如图1，点为正方形的中心（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连结，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，是等腰直角三角形，是的中点，绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值图1图2【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）正确画出图形；1分（2）延长交于点，交于点2分为正方形的中心，903分绕点逆时针旋转90角得到904分在和中，.5分+=906分（3）的最大值为8分例1
12、.2.2如图1，在ABC中，ACB=90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE依题意，请在图2中补全图形；如果BPCE，BP=3，AB=6，求CE的长（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值【答案】（1）3
13、（2）见解析，【解析】（1）补全图形如图所示；如图，连接BD、CDBCP沿射线CA方向平移，得到DAE，BCAD且BC=AD，ACB=90，四边形BCAD是矩形，CD=AB=6，BP=3，DE=BP=3，BPCE，BPDE，DECE，在RtDCE中，CE=；（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，连接BN由旋转可得，AMNABP，MN=BP，PA=AM，PAM=60=BAN，AB=AN，PAM、ABN都是等边三角形，PA=PM，PA+PB+PC=CP+PM+MN，当AC=BC=4时，AB=4，当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分
14、AB，AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且，点M为线段AB的中点（1）如图1，线段OM的长度为_；（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式；（3）如图3，设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且，以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式AByxOM图1yyBMOOxxACDEF图2图3【答案】（1）5（2）（3）【解析】该题考查的是三角形的综合
15、（1）5（2）如图1, 过点C分别作CPx轴于P，CQy轴于QBCQACP点在第一象限，不妨设C点的坐标为(其中)设直线OC所对应的函数解析式为，解得，直线OC所对应的函数解析式为（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM，同理正方形DGFE，N为DE中点，在点M与G之间总有(如图2)，由于的大小为定值，只要，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图3）线段MG取最大值此时直线MG的解析式图1图2图3例1.2.4如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM（1） 当M点在何处时，AMCM的值最小；（2）当M
16、点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长EBDCAM【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】该题考查的是四边形综合（1）当M点落在BD的中点时，的值最小1分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时的值最小2分理由如下：M是正方形ABCD对角线上一点又，ABMCBM3分又在EC上取一点N使得，连结BN又BNEABM3分，又即BMN是等边三角形4分根据“两点之间线段最短”，得最短当M点位于BD与CE的交点处时，的值最小，即等于EC的长5分（3）过E点作交CB的延长线于F设正方形的边长为x，则， 6分在RtEFC中， 解得（舍去
17、负值）正方形的边长为7分例1.2.5几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PA+PB=AB的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_；（2）如图2，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上
18、的动点，求PQR周长的最小值【答案】（1）；（2）2；（3）10【解析】（1）由题意知：连接ED交AC于点P，此时PB+PE最小，最小值为ED，点E是AB的中点，AE=1，由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，ED=，PB+PE的最小值为；（2）延长AO交O于点D，连接DC，AC，AD=4，AOC=60，OA=OC，AOC是等边三角形，AC=OA=2，AD是O直径，ACD=90，由勾股定理可求得：CD=2，PA+PC的最小值为2；（3）作点C，使得点P与点C关于OB对称，作点D，使得点P与点D关于OA对称，连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，此时PR+RQ+PQ最小，最小值
19、为CD的长，点P与点C关于OB对称，BOP=COB，OP=OC=10，同理，DOA=POA，OP=OD=10，BOP+POA=45，COD=2（BOP+POA）=90，由勾股定理可知：CD=10，PQR周长的最小值为10随堂练习随练1.1如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B抛物线y=a（x2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使ABM的周长最小？若存在，求ABM的周长；若不存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否
20、存在一点N，使ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）1（2）Q点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）（3）ABM的周长的最小值为3+（4）存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）【解析】（1）在y=3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，A（1，0），B（0，3），分别代入y=a（x2）2+k，可得，解得，即a为1，k为1；（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x2）21，令y=0，可求得x=1或x=3，C（3，0），AC=31=2，AB=，过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ1=BQ2=AC
21、=2，如图1，B（0，3），Q1（2，3），Q2（2，3）；过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ3=CQ4=AB=，如图2，B（0，3），Q3、Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线x=3的距离为1，Q3（2，3）、Q4（4，3）；综上可知满足条件的Q点的坐标为（2，3）或（2，3）或（4，3）；（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，A、C两点关于对称轴对称，AM=MC，BM+AM最小，ABM周长最小，B（0，3），C（3，0），可设直线BC解析式为y=mx+3，把C点坐标代入可求得m=1，直线BC解析式为y=x+3，当x=2时，可
22、得y=1，M（2，1）；存在满足条件的M点，此时BC=3，且AB=，ABM的周长的最小值为3+；（4）由条件可设N点坐标为（2，n），则NB2=22+（n3）2=n26n+13，NA2=（21）2+n2=1+n2，且AB2=10，当ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，n26n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，即N点坐标为（2，1）或（2，2），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）随练1.2如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，圆O的半径为1（1）找出当能得到最小值时，点P的位置，并证
23、明；（2）求出最小值BAMNO【答案】（1）见解析（2）【解析】该题考查的是圆的综合（1）过A作于E，联结1分MN过圆心O，即，2分根据两点间线段最短，当，P，B三点共线时，此时为最小值，3分P位于与MN的交点处，4分（2）点A是半圆上的一个三等分点，5分点B是弧AN的中点，6分，即最小值为7分AE随练1.3如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2当四
24、边形MEQG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号）【答案】（1）5（2）（3）【解析】（1）四边形ABCD为矩形，CD=AB=4，D=90，矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，PD=PH=3，CD=MH=4，H=D=90，MP=；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M，连接ME交AB于点F，则点F即为所求，过点E作ENAD，垂足为N，AM=ADMPPD=1253=4，AM=AM=4，矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，CEP=MEP，而CEP=MPE，MEP=MPE，ME=MP=5，在RtENM中，MN=，NM=11，AFNE，AFMNEM，
25、即，解得AF=，即AF=时，MEF的周长最小；（3）如图2，由（2）知点M是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接MR交AB于点G，再过点E作EQRG，交AB于点Q，ER=GQ，ERGQ，四边形ERGQ是平行四边形，QE=GR，GM=GM，MG+QE=GM+GR=MR，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在RtMRN中，NR=42=2，MR=，ME=5，GQ=2，四边形MEQG的最小周长值是随练1.4已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC（1）如图1，已知AOB=150，BOC=120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADCDAO的度数是；用等式表示线段
26、OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设AOB=，BOC=当，满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值【答案】（1）90；OA2+OB2=OC2；证明见解析（2）=120，OA+OB+OC有最小值；图形见解析【解析】（1）AOB=150，BOC=120，AOC=360120150=90，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，OCD=60，D=BOC=120，DAO=360AOCOCDD=90，故答案为：90；线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，如图1，连接O
27、D，BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，ADCBOC，OCD=60，CD=OC，ADC=BOC=120，AD=OB，OCD是等边三角形，OC=OD=CD，COD=CDO=60，AOB=150，BOC=120，AOC=90，AOD=30，ADO=60，DAO=90，在RtADO中，DAO=90，OA2+OB2=OD2，OA2+OB2=OC2；（2）当=120时，OA+OB+OC有最小值如图2，将AOC绕点C按顺时针方向旋转60得AOC，连接OO，AOCAOC，OCO=ACA=60，OC=OC，OA=OA，AC=BC，AOC=AOCOC O是等边三角形，OC=OC=OO，COO=COO=60
28、，AOB=BOC=120，AOC=AOC=120，BOO=OOA=180，四点B，O，O，A共线，OA+OB+OC=OA+OB+OO=BA时值最小；AOB=BOC=120，AOC=120，O为ABC的中心，四点B，O，O，A共线，BDAC，将AOC绕点C按顺时针方向旋转60得AOC，AC=AC=BC，AB=2BD，在RtBCD中，BD=BC=，AB=，当等边ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值AB=随练1.5如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE（1）求证：DEAG
29、；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0360）得到正方形OEFG，如图2在旋转过程中，当OAG是直角时，求的度数；若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由【答案】（1）如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，OA=OD，OAOD，OG=OE，在AOG和DOE中，AOGDOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，GAO+DEO=90，AHE=90，即DEAG；（2）=30；=315【解析】（1）如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，OA=OD，OAOD，OG
30、=OE，在AOG和DOE中，AOGDOE，AGO=DEO，AGO+GAO=90，GAO+DEO=90，AHE=90，即DEAG；（2）在旋转过程中，OAG成为直角有两种情况：（）由0增大到90过程中，当OAG=90时，OA=OD=OG=OG，在RtOAG中，sinAGO=，AGO=30，OAOD，OAAG，ODAG，DOG=AGO=30，即=30；（）由90增大到180过程中，当OAG=90时，同理可求BOG=30，=18030=150综上所述，当OAG=90时，=30或150如图3，当旋转到A、O、F在一条直线上时，AF的长最大，正方形ABCD的边长为1，OA=OD=OC=OB=，OG=2O
31、D，OG=OG=，OF=2，AF=AO+OF=+2，COE=45，此时=315随练1.6以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB和COD，其中（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_；如图2，将图1中的AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若，点N在线段OD上，且点P是线段AB上的一个动点，在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_，最大值为_【答案】（1）的值不变（2）；【解析】该题考查旋转与相似（1）连接EF，点E、
32、F、M分别是AC、CD、DB的中位线，EF、FM分别是ACD和DBC的中位线，EF/AD,FM/CB，,EFM是直角三角形EM/CD，结论：的值不变.连接EF、AD、BC.（如图8）RtAOB中，.RtCOD中，.又，AODBOC，.点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，EFAD，FMCB，且，.，,，即在RtEFM中，.（2）过O作于E，,当点P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP的最大值随练1.7（1）如图1，已知正方形ABCD的边长是4，M在DC上，M是CD的中点，点P是AC边上的一动
33、点，则当DP+MP的值最小时，在图（1）备用图中作出点P的位置，求DP的值（2）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M是DC上的一个动点，连结AM，作BPAM于点P，连结DP，当DP最小时，在图（2）备用图中作出点P的位置，求DP的值【答案】（1）DP=（2）DP最小值=22【解析】（1）如图1，作点M关于BC的对称点M，连结DM交AC于点P，此时DP+MP最小，最小值为DM，DM=2，ADBC，ADPCMP，DP：PM=AD：CM=2：1DP=DM=；（2）如图正方形ABCD边长是4，所以三角形ABP的半径是2，DN长是2DP最小是252BPAM，ABP是直角三角形，以AB为直径作APB的
34、外接圆，正方形ABCD边长是4，三角形ABP的半径是2，DN长是2当DP最小时，N、P、D三点共线DP最小值=22自我总结 课后作业作业1如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把ABO沿x轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得PBD的周长最小，求出P点的坐标
35、；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由【答案】 （1）y=x2-x+4（2）见解析（3）见解析（4）见解析【解析】（1）抛物线y=x2+bx+c经过点B（0，4）c=4，顶点在直线x=上，-=-=，b=-；所求函数关系式为y=x2-x+4；（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=5，四边形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D两点的
36、坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=52-5+4=4，当x=2时，y=22-2+4=0，点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，y=x-，当x=时，y=-=，P（，），（4）MNBD，OMNOBD，=即=得ON=t，设对称轴交x于点F，则S梯形PFOM=（PF+OM）OF=（+t）=t+，S MON=OMON=tt=t2，S PNF=NFPF=（-t）=-t+，S=t+-t2-（-t+），=-t2+t（0t4），a=-0抛物线开口向下，S存在最大值由S PMN=-t2+t=-（t-）2+，当t
37、=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）作业2如图，抛物线y=x22x6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4，AE与y轴交F（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D，设Q点的运动时间为t（0t）秒，求使得DPQ与PQB重叠部分的面积
38、为DPQ面积的时对应的t值【答案】（1）（2，8），（0，2）（2）存在； 10；（3）或【解析】（1）y=x22x6=（x2）28，顶点D坐标（2，8），由题意E（4，8），A（2，0），B（6，0），设直线AE解析式为y=kx+b，则有，解得，直线AE解析式为y=x2，点F坐标（0，2）（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F，连接FF交对称轴于G，在CF上取一点C，使得CC=，连接CF与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5+CM+NF，CM+NF=CN+NF=CN+NF=CF（两点之间线段最短），此时四边形CMNF的周长最小CF=3
39、GN=CF=，（a+）=2+，a=，CF=5，四边形CMNF的周长最小值=5+5=10（3）如图2中，作PFBD于F，QH对称轴于H由题意可知BD=4，DQ=2t，SPQG=SDPQ=SPDQ，PG=PD=PD=2=BF，情形PGFB时，PF=PD，BG=GD，PG=BF=2，在RtQHD中，sinHDQ=，DQ=2t，HQ=2t，HD=4t，QPD=QPD=45，PH=HQ=2t，PH+HD=PD，6t=4，t=情形如图3中，PG=PG=2，作PMBD于M，QKPD于K，QJPD于J由sinPDG=sinGPM=，MG=MG=，GD=BDGG=，QPD=QPG，QKPD，QJPG，QK=QJ，QD=，t=，综上所述t=或秒时，DPQ与PQB重叠部分的面积为DPQ面积的作业3