线性映射与线性变换.pptx

《线性映射与线性变换.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性映射与线性变换.pptx（83页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、2维空间的线性变换第1页/共83页3维空间的线性变换第2页/共83页2.1 线性映射及其矩阵表示定义1 设V1，V2是数域P的两个线性空间，A 是V1到V2的一个映射，如果对V1中任意两个向量,和任意数kP，都有 A(+)=A()+A()A(k)=k A()则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。第3页/共83页线性映射与变换的举例由数k决定的数乘变换：事实上，单位变换(恒等变换)：零变换：I :VV:I ()=,VO :VV:O ()=0,VK:VV:K()=k,V第4页/共83页线性映射与变换的举例线性空间Pxn的微分运算是线性变换.I (f(x)

2、=f(x)，f(x)Pxn线性空间Ca，b 的积分运算是线性变换.作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度讲都是线性变换当然，非线性映射也是大量存在的，I (A)=detA，A P nn不是线性映射。第5页/共83页定理1 设A 是线性空间V1到V2的线性映射，则 (1)A (0)=0,(2)A (-)=-A ()(3)若1,2 m 是V1的一组向量，k1,k2,kmP,有A (k11+k22+km m)=k1A(1)+k2A(2)+km A (m)(4)若1,2 m 是V1的一组线性相关向量，则A(1),A(2),A (m)在V2中线性相关，当且仅当A是一一映射时，V1中线性无关向量

3、组的像在V2中也线性无关。线性映射的性质第6页/共83页定理2 设A ,B 是线性空间V1到V2的两个线性映射，若1，2，n是V1的一组基，并且A (i)=B(i)(i=1,2n),则A =B.注：定理2说明线性映射由基像组唯一确定第7页/共83页2.线性映射的运算(1)设 A,B 都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为:(A+B)()=A()+B()，任意的 V1。(2)设 A是V1到V2的线性映射,B 是V2到V3的线性映射定义A,B的乘法BA为:(BA)()=B(A()，任意的 V1.(3)设 A是V1到V2的线性映射,kP，定义k与A的数量乘积kA为:(kA)()=kA()，任意

4、的 V1第8页/共83页线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合结合律。对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记为L(V1,V2)。第9页/共83页3.线性映射的矩阵表示 是 的基,是 的基.设 是线性映射，记:则存在唯一的 使得:称矩阵A为线性映射T在基 与基 下的矩阵第10页/共83页矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与mn矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。L(V1,V2)与Pmn同构。注：第11页/共83页定理7 设T为V1到V2的线性映射，则:称为线性映射在基

5、与基下的坐标变换公式第12页/共83页例1 设V1=Rxn，V2=Rxn-1，取线性映射T：V1V2 T(f(x)=f(x),f(x)R x n，求T 在Rxn的一组基1,x,xn-1与Rxn-1的基1,x,xn-2下的矩阵D第13页/共83页D(1)=0=01+0 2+0 n-1D(2)=1=1+0 2+0 n-1D(3)=2x=01+2 2+0 n-1 D(n)=(n-1)xn-2=01+2 2+(n-1)n-1 解 在R x n中取基1=1，2=x,n=xn-1,在Rxn-1中取基1=1，2=x,n-1=xn-2，则第14页/共83页D(1,2,n)=(1,2 n-1)即于是D在基1，x

6、,xn-1与1，x,xn-2下的矩阵为D=第15页/共83页另：若在Rxn-1中取基1=1，2=2x,n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x,xn-1与1，2x,(n-1)xn-2下的矩阵为D=说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同第16页/共83页定 理 8 设 A是 n维 线 性 空 间 V1到 m维 线 性 空 间 V2的 线 性 映 射，1,2,n和 是V1的两组基,由1,2,n 到 的过渡矩阵是Q，和是V2的两组基。由 到 的过渡矩阵是P，A在基 与基 下的矩阵为A，而在基 与基 下的矩阵为B，则B=P-1AQ，（称A与B相抵）第17页/共83页定义1 V是数域P上的线性空间，对V

7、 中的任意两个向量，和任意k P，映射T T：VV 满足 (i)(可加性可加性):):):):T T(+)=T T()+T T()(ii)(齐次性齐次性):):k T T()=T T(k)称T T 为V上的线性变换，T T()为 在变换T T下的像，称为原像。2.3 线性变换线性变换第18页/共83页例1 对每个x=(1,2,3)R3,定义变换 T (x)=(1,2,0)则变换T 是线性空间R3上的线性变换（称为投影变换）第19页/共83页定理1 设T 是线性空间V上的线性变换，则 (1)T(0)=0,(2)T(-)=-T()(3)若1,2 m 是V的一组向量，k1,k2,kmP,有T(k11

8、+k22+kmm)=k1T(1)+k2T(2)+kmT(m)(4)若1,2 m 是V的一组线性相关向量，则T(1),T(2),T(m)也线性相关，当且仅当T 是一一映射时，V中线性无关向量组的像也线性无关。线性变换的基本性质第20页/共83页 L(V,V)表示线性空间V 上的所有线性变换的集合，对任意的T,T1,T2L(V,V),V,定义则可以验证，T1+T2,kT,T1T2都是线性变换，因此L(V,V)是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念.（1）线性变换的和：（2）线性变换的数乘：（3）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2()线性变换的运算第21页/共8

9、3页特殊的变换：(1)对任意的kP，定义数乘变换K(x)=kx，(2)恒等变换：I(x)=x，(3)零变换：O(x)=0(4)逆变换：设A A 是线性空间V上的线性变换，如果存在V的变换BB，使得AB AB =BA BA =I，称A A可逆，B B 为A A 的逆变换.(5)线性变换的幂：A0=I，Am=Am-1A=AAA指数法则：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn第22页/共83页线性变换的矩阵用矩阵表示即为 设1,2,n为数域P上线性空间V的一组基，T为V上的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设第23页/共83页其中 矩阵A称为线性变换T在基下的矩阵.第24页/共83页单位变换在任

10、意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；A的第i 列是 在基 下的坐标，它是唯一的.故T在取定一组基下的矩阵是唯一的.注：第25页/共83页线性变换运算与矩阵运算定理1 设 为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 中 线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.L(V,V)与Pnn同构；第26页/共83页例2 设线性空间 的线性变换为 求在自然基底下的矩阵.解

11、：()=第27页/共83页定理2 设T是n维线性空间V的线性变换，和 是V的两组基,由 到 的过渡矩阵是P，T在基 与基 下的矩阵分别为A和B，则B=P-1AP，（称A与B相似）在两组基下所对应的矩阵.如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换 线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵表示第28页/共83页设B=P-1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA=detB;(3)A与B的特征值相同和特征多项式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.补充:相似矩阵的性质第29页/共83页例3 在线性空间 中，线性变换定义如下：（1）求 在标准基 下

12、的矩阵.（2）求在下的矩阵.解：(1)由已知，有第30页/共83页设 在标准基 下的矩阵为A，即即：为过渡矩阵，又所以(1,2,3)=(1,2,3)P)=(1,2,3)P=(1,2,3)AP第31页/共83页因而，第32页/共83页 设在1,2,3下的矩阵为B，则B=P-1AP（2）求在1,2,3下的矩阵.第33页/共83页 定义1 设T是数域P上的线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P中任一元素，V中都存在一个非零向量，使得 T()=那么称为T的一个特征值，而 称为 T的属于特征值 的一个特征向量。2.4 特征值和特征向量第34页/共83页由此可得：是线性变换T的特征值，则是对应矩阵A的

13、特征值.是 线性变换T的属于 的特征向量，则 是矩阵A的属于 的特征向量.设V是数域P上的n 维线性空间，V中取定一组基1,2，n.设线性变换T在这组基下的矩阵是 A，向量在这组基下的坐标是x,那么我们有 T()=Ax=x第35页/共83页 因此，只要将矩阵A的全部特征值求出来，它们就是线性变换T的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是线性变换T的属于 的全部特征向量。第36页/共83页例1 设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换，在 V的一个自然基下的矩阵是求线性变换T的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为第37页/共83页所以

14、的特征值是3（二重）与-6。对于特征值 3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：1=-2 1 0T,2=2 0 1T,于是 T属于 3的全部特征向量是 k11+k22,k1,k2P这里 为数域 P中不全为零的数对。第38页/共83页 对于特征值-6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：3=1 2-2T于是T的属于-6的全部特征向量 k3,kP这里k为数域P中任意非零数。第39页/共83页 矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）n 阶矩阵A的属于特征值0的全部特征向量再添上零向量，可以组成V的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值0特征子空间，记为V0，不难看出 V0 正是特征方程组 (0I-A)X=0

15、的解空间。显然，V0的维数是属于0的线性无关特征向量的最大数目，称dim(V0)为特征值0的几何重数.（2）V0属于不同特征值的特征向量是线性无关的。第40页/共83页（3）设1,2,r,是A的r个互不同的特征值，i 的几何重数为qi,，i1,i2,iqi,是对应于i的qi 个线性无关的特征向量，则所有这些特征向量 11,12,1q1,21,22,2q2,r1,r2,rqr,仍然是线性无关的。第41页/共83页由代数基本定理知，n阶矩阵A在复数域内恰有n个特征值1,2,n，其中i作为特征方程的根的重数，称为i的代数重数,记为mi(A)，矩阵A的特征值的全体称为A的谱，最大特征值的模称为A的谱半

16、径，记为(A).（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。(5)A是 n阶矩阵，其特征值为1,2,n，则 第42页/共83页定义1 数域 P上的n维线性空间V的一个线性变换T 称为可以对角化的，如果V中存在一组基，使得T在这个基底下的矩阵为对角矩阵。定义2 如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对角化的。(单位矩阵只和自己相似)2.5 矩阵的相似对角形第43页/共83页定理1 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量；定理2 若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A是可对角化的。（注：不是充要条件）定理3 n阶矩阵A可对角化的充要条件每一个特征值的代数重数等于其几何重

17、数。第44页/共83页例1 判断矩阵是否可以对角化？解：先求出A的特征值第45页/共83页于是A的特征值为 （二重）由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑于是 从而不相似对角矩阵。第46页/共83页例2 设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换，在 V的一个基1,2,3 下的矩阵是判断线性变换T是否可对角化。解：根据上一节例1的讨论可知 T有3个线性无关的特征向量:第47页/共83页由基 到基 的过渡矩阵是于是有因此，T可以对角化，T在这组基下的矩阵是第48页/共83页定义1 设T是数域P的线性空间V上的线性变换,W是V的子空间。如果对任意向量 都有 ，

18、则称W是T的不变子空间。2.6 线性变换的不变子空间*（Invariant subspace）第49页/共83页定义2 设T 是数域 P上的线性空间V上的线性变换。令R(T)=Im(T)=T(a)|aVKer(T)=N(T)=aV|T(a)=0称R(T)是线性变换T的值域，而Ker(T)是线性变换的核。R(T)的维数称为T的秩，Ker(T)的维数称为T的零度。线性变换的值域与核第50页/共83页定理1 设T是数域 P上的线性空间V上的线性变换。令T 在V的一组基1,2,n下的矩阵表示为A，则（1）R(T)和Ker(T)都是V的子空间；（2）R(T)=span(T(1),T(2),T(n)（3）

19、rank(T)=dim(R(T)=rank(A)（4）dim(R(T)+dim(Ker(T)=n第51页/共83页证明（1）显然R(T)是V的非空子集，对任意T(),T()R(T)，kP 有 T()+T()=T(+)R(T)kT()=T(k)R(T)所以R(T)是V的子空间 又T(0)=0,所以Ker(T)是V的非空子集,对任意,Ker(T)，kP T(+)=T()+T()=0Ker(T)T(k)=kT()=0Ker(T)所以Ker(T)是V的子空间 第52页/共83页例1 设线性变换 T在4维线性空间V的基1,2,3,4 下的矩阵为（2）求Im(T)的一组基;（1）求Ker(T)的一组基;第

20、53页/共83页解（1）对任意有0=T()=T(x13+x44)因此AX=0,对A做初等变换第54页/共83页解得其基础解系则 的基为第55页/共83页（2）由于从而这说明Im(T)=span(T1,T2,T3,T4)=span(T1,T2)第56页/共83页例2 线性空间 和零子空间 都是 上的线性变换 的（平凡）不变子空间。例3 线性空间V上的线性变换T的值域Im(T)和核Ker(T)都是V的不变子空间。第57页/共83页例4 线性空间V上的线性变换T的对应于某个特征值 的所有特征向量加上零向量 组成的集合也是 的子空间，称为 的特征子空间(eigenspace)。进一步，也是 的不变子空

21、间。第58页/共83页定理2 线性变换T的不变子空间的交与和仍然是T的不变子空间。定理3 设线性空间V的子空间W=span1,2,m，则W是线性变换T的不变子空间的充要条件是T(i)W(i=1,2,m)第59页/共83页定理4 线性空间V上的线性变换T有非平凡的不变子空间的充要条件是T在V的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？第60页/共83页定理5 线性空间V上的线性变换T在V的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵的充要条件充要条件是V可以分解为T的若干个非平凡不变子空间的直和。不变子空间是特征值的根子空间定理6 n n维线性空间V V上

22、的线性变换T T在V V的某个基下的矩阵表示为对角矩阵 的充要条件充要条件是V V可以分解为T T的n n 个一维特征子空间的直和 V=V1 V2Vn这里 为T的两两不同的特征值。第61页/共83页线性变换T的矩阵化简为一个块对角矩阵（对角矩阵）与线性空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的。第62页/共83页定义：设A 为一个n 阶复矩阵，如果其满足 AAH=AHA=I则称A是酉矩阵，一般记为AUnn。设A为一个n 阶实矩阵，如果其满足 AAT=ATA=I则称A 是正交矩阵,一般记为AEnn。2.7 酉变换与酉（正交）矩阵Unitary transformation and Unitary

23、matrix（Orthogonal matrix）第63页/共83页例1是一个正交矩阵是一个正交矩阵第64页/共83页是一个酉矩阵第65页/共83页酉矩阵与正交矩阵的性质：设 A,B是酉矩阵，那么设 ，那么定理1：设 ，A是一个酉矩阵的充分必要条件为A 的 n个列（或行）向量组是标准正交向量组。第66页/共83页定义2 设T是n为酉（欧氏）空间V的线性变换，如果对任意的，V都有则称T是V的酉（正交）变换。正交变换保持V中的内积不变，根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。酉（正交）变换第67页/共83页定理2设 是欧氏空间 上的一个线性变换，则下列命

24、题是等价的：（1）T是正交变换；（2）T保持向量的长度不变，即|T|=|;（3）若 是V的一组标准正交基，则 也是V的标准正交基；（4）T在V的任意一组标准正交基下的矩阵表示 A为正交矩阵。第68页/共83页证明：若线性变换保持长度不变，即展开上式同样有 根据定义显然成立。左式=(T,T)+2(T(),T()+(T,T)=(,)+2(T(),T()+(,)右式=(,)+2(,)+(,)化简得(T(),T()=(,)#第69页/共83页因此则 对任意 ，令 显然成立。第70页/共83页 设 在 下的矩阵为 ，即由于 也是标准正交基，所以 A 是两组标准正交基间的过渡矩阵，因此 A是正交矩阵。第7

25、1页/共83页 设 是正交矩阵，则所以 也是标准正交基。第72页/共83页注 鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和Givens变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。补充：两种基本的图形变换第73页/共83页例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间 中的所有向量均绕原点顺时针旋转角 ，这时像像 与原像原像 之间的关系为第74页/共83页例2（反射变换或Householder变换）将 中任一向量x 关于横轴做反射得向量y。这时像(x2,y2)与原像(x1,y1)之间的关系为第75页/共83页 从

26、几何上看，图形经过旋转变换或反射变换后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：第76页/共83页一般形式的Givens矩阵为：第j列第i列对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换：在n维欧式空间中取一组标准正交基e1,e2en，沿平面ei,ej旋转。第i行第j行第77页/共83页定理 对任意非零向量Rn，存在有限个Givens变换的乘积 T，使得 其中 为标准单位向量。即通过有限次Givens变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维

27、向量，通过有限次Givens变换，可将其后任意r 个分量变为零，特别地，r=n-1时，得第78页/共83页如图，显然有正交分解 因此向量 关于“与e2 轴正交的直线e1”对称的镜像向量的表达式为HouseHolder变换第79页/共83页类似地，可定义将向量 变换为关于“与单位向量 正交的 维子空间”对称的向量 的镜像变换。定义3设 为单位向量，称矩阵 H()=I-2 H为Householder 矩阵（初等反射矩阵），对应的变换 称为Householder 变换（初等反射变换）第80页/共83页(1)det(H()=-1(2)H()H=H()=H()-1Householder 矩阵H()的性质(3)对任意非零向量Rn，存在Householder 矩阵H，使得 H()=e1,其中 为标准单位向量；对于=(a1,a2an)0,相应地取=(-e1)/|-e1|第81页/共83页解 由性质(3)，取 =|=3,w=(-e1)/|-e1|,所以得例 设=(1,2,2)T,求Householder矩阵H(),使得H()=|e1,其中，e1=(1,0,0)T第82页/共83页感谢您的观看！第83页/共83页