线性映射(线性变换)的矩阵表示.pdf

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1、辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第 7.3.1页 3 线性映射(线性变换)的矩阵表示 教学目的 通过 2 学时的讲授，使学生基本掌握有限推向量空间线性映射的矩阵表示定理及矩阵相似的基本概念 教学内容 有限维向量空间的线性映射，可以通过基下的矩阵来刻画，这就是这一节要学习的矩阵表示 3.1 矩阵表示定理 设 V 和 W 都是数域 F 上的有限维向量空间，dimV=n，dimW=m，Hom(V，W)由命题 7.1.1 知道，完全被它在 V 的一个基上的作用所决定 因此在 V 中取一个基n,1；同时，在 W 中取一个基m,1，则)(,),(1n由m,21线性表示为 mmnnnnmmaaa

2、aaa221112211111)()(1)将此写成矩阵形式，并令(n,21)=()(,),(),(21n)，则得 mnmnnmnaaaaaa122111111),(),(，(2)其中矩阵 A=nmmnijFa)(，叫做线性映射在 V 的基j和 W 的基i 下的矩阵 在 V、W 中分别取定一个基j、i以后，对于 V 到 W 的每一个线性映射，有唯一确定的 mn 矩阵 A 与它对应因此，这个对应给出了 Hom(V，W)到nmF的一个映射设Hom(V，W)，则()=B 是在 基 j 和 基 i 下 的 矩 阵 若 B=A，则)()(jj，nj,1 由命题 7.1.1，有=这表明是单射 任给CnmF，

3、W中以C的第j列作为在基i 下的坐标的向量记作j，nj,1 由命题 7.1.2，存在 V 到 W 的一个线性映射，使得(j)=j，nj,1 从而 (n,1)=(n,1)=(m,1)C 于是，C 是在基j和基i下的矩阵因此()=C这表明是 辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第 7.3.2页 满射故是 Hom(V,W)到mxnF的一个双射进一步，我们来证明 定理 7.3.1 设V 和W都是数域F 上有限维向量空间,其中dimV=n,dimW=m在 V 中取一个基n,1，在 W 中取一个基m,1则V 到 W 的每一个线性映射与它在基j和基i下的矩阵的对应是向量空间 Hom(V，W)到nmF

4、的同构映射，记作 Hom(V，W)nmF 证 前面已证是到 Hom(V，W)到nmF的双射现在来证明保持加法与纯量乘法运算任取,Hom(V，W)，设()=A,()=B，即Amn),(),(11，Bmn),(),(11，则)(,)(),)(11nn)3()(,(),(),()(,),()(,),(11111BABAmmmnn 这表明+在基j和基i 下的矩阵是 AB因此 (+)=AB=()+()类似可证)()(kkAk，其中 kF因此，是 Hom(V，W)到nmF的同构映射 再注意到定理 7.1.2，则有 推论 7.3.1 设 dimV=n，dimW=m，则 Hom(V，W)是有限维的，并且 di

5、mHom(V，W)=dimVdimW (4)当知道 V 到 W 的线性映射在基j和基i 下的矩阵 A 之后，V 中任一向量在下的象很容易求出，即有 命题 7.3.1 设n,1是 V 的一个基，m,1是 W 的一个基，Hom(V，W)，且在基j和基i 下的矩阵为 A又 V，设在基j下的坐标为nxx1，则)(在基i 下的坐 标为 Anxx1 证 我们有)()()(11nnxx nmnmnnxxAxxAxx111111)(),(),(，辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第 7.3.3页 因此，Anxx1是)(在基m,1下的坐标 推论 7.3.2 设 V 到 W 的线性映射 在基j和基i 下

6、的矩 阵为 A，V 中任一向量在基j下的坐标为 X=nxx1，W 中向量 在基i 下的坐标为 Y=nyy1，则YAX)(现在我们来讨论 n 维向量空间 V 上的线性变换与矩阵的关系 设EndV，我们把上面关于线性映射与矩阵的关系运用到 V 上的线性变换中这时，只需在V 中取定一个基n,1，把基向量j在下的象(j)仍然用这个基线性表出，即 nnnnnnnaaaaaa122111111),(),(，(5)右端的 n 阶矩阵 A=nnija)(叫做线性变换在基n,1下的矩阵 定理 7.3.2 设 V 是数域 F 上 n 维向量空间，在 V 中取定一个基n,1，则 V 上的每一个线性变换与它在基n,1

7、下的矩阵的对应是向量空间 EndV 到 Mn(F)的同构映射，也是环 EndV 到 Mn(F)的同构映射 证 结论的前半部分已在定理 7.3.1 中证明后半部分中是双射，保持加法也已证明，剩下只要证保持乘法设线性变换，在基n,1下的矩阵分别是 A，B，则 Ann),(),(11，Bnn),(),(11 因为)(,(),()(,)()(,)(),(),(),(),)(111111111111ABBABbbbbBnnnniiinniiiniiinniiinnn 所以在基n,1下的矩阵是 AB于是)()()(AB 从而也是环 EndV 到 Mn(F)的同构映射 辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等

8、代数 第 7.3.4页 由此进一步得到 推论 7.3.3 设数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换在 V的一个取定的基下的矩阵是 A 则可逆的充分且必要条件是 A 可逆，并且其逆变换1在这个基下的矩阵就是1A 证 设可 逆 令1关于 所 取 定 的基 的 矩 阵是 B，则)1()(1VABnI同理 BA=In所以 B=A1 反过来，设A，而A 可逆，则有EndV 使1A于是)(1AAIn，从而易见V1同理可证V1所以可逆，且1 命题 7.3.2 设 V 是数域 F 上 n 维向量空间，EndV若在 V的基n,1下的矩阵为A，V在基n,1下的坐标为X，则)(在基n,1下的坐标为 AX

9、证 从命题 7.3.1 立即得到 3.2 矩阵相似的概念 一个线性变换在取定基下的矩阵依赖于这个基的选择 同一个线性变换在不同的基下的矩阵自然不一定相同 我们来考察一个线性变换在两个基下的矩阵有什么关系 设 V 是数域 F 上的一个 n 维向量空间，EndV假设在 V 的两个基n,21与n,21下的矩阵分别是 A 与 B，即 Ann),(),(2121,Bnn),(),(2121.令 T 是由基n,21到基n,21的过渡矩阵，即(n,21)=(n,21)T 则(n,21)B=(n,21)=(n,21)T)=(n,21)T=(n,21)AT=(n,21)T1AT 因此 ATTB1 (6)等式(6

10、)说明一个线性变换在两个基下的矩阵的关系于是引进 定义 1 设 A，BMn(F)若存在 F 上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式(6)成立，则称 B 与 A 相似，记作 AB n 阶矩阵的相似关系具有下列性质：1)反身性 AA因为 A=nnAII1 2)对称性 若 AB，则 BA 辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第 7.3.5页 因为由ATTB1得1111)(BTTTBTA 3)传递性 若 AB 且 BC，则 AC 事 实 上，由ATTB1和BUUC1得ATUTUC11=)()(1TUATU 等式(6)表明，n 维向量空间的一个线性变换在两个基下的矩阵是相似的 反过来，设 A 和 B

11、 是数域 F 上两个相似的 n 阶矩阵，则由定理7.3.2，存在 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换，它在 V 的一个基n,21下的矩阵就是 A于是 (n,21)=(n,21)A 因为 B 与 A 相似，所以存在一个可逆矩阵 T，使得ATTB1令(n,21)=(n,21)T，则由定理 6.4.1，n,21也是 V 的一个基容易看出，在这个基下的矩阵就是 B 因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换在不同基下的矩阵 最后，容易证明以下等式成立：,)(12111211TATTATTATTAAATrr ttATTTAT)(11 因此，寻找彼此相似的矩阵的简单形式，往往可以化简矩阵计算 课外作业：P355356：1；3；4；9