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1、关于线性映射与线性变换第一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线线性性变换变换是是线线性空性空间间的核心内容，反映的是的核心内容，反映的是线线性空性空间间中元素中元素间间的一种基本的一种基本联联系，体系，体现现出一种出一种“动态动态的的”或者或者“直直观观的的”视视角。角。借助基的概念，可在借助基的概念，可在线线性性变换变换与矩与矩阵阵之之间间建立一一建立一一对应对应关系，关系，因此通俗地因此通俗地讲讲“变换变换即矩即矩阵阵”。这这同同时时也意味著也意味著线线性性变换变换的运算的运算可以可以转转化化为为矩矩阵阵的运算。的运算。第二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2 2维空间的线
2、性变换维空间的线性变换第三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月3 3维空间的线性变换维空间的线性变换第四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2.1 线性映射及其矩阵表示线性映射及其矩阵表示定义定义1 设设V1，V2是数域是数域P的两个线性空间，的两个线性空间，A A 是是V1到到V2的一个映的一个映射，如果对射，如果对V1中任意两个向量中任意两个向量,和任意数和任意数k P，都有，都有 A A(+)=A A()+A A()A A(k)=k A A()则称则称A A是是V1到到V2的的线性映射或线性算子线性映射或线性算子。若若V1=V2=V，则称则称A A是是V上的上的线性变换。线性
3、变换。第五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性映射与变换的举例线性映射与变换的举例v由数由数k决定的决定的数乘数乘变换变换：事事实实上，上，v单单位位变换变换(恒等恒等变换变换)：v零零变换变换：I I :VV:I I ()=,VO O :VV:O O ()=0,VK:VV:K()=k ,V第六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性映射与变换的举例线性映射与变换的举例v线线性空性空间间P x n的微分运算的微分运算是是线线性性变换变换.I I (f(x)=f(x)，f(x)P x nv线线性空性空间间C a，b 的的积积分运算分运算是是线线性性变换变换.v作作为为数学分析的两
4、大运算：微分和数学分析的两大运算：微分和积积分，从分，从变换变换的角度的角度讲讲都是都是线线性性变变换换v当然，非当然，非线线性映射也是大量存在的，性映射也是大量存在的，I I (A)=detA，A P n n不是不是线线性映射。性映射。第七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理1 设设A A 是线性空间是线性空间V1到V2的线性映射线性映射，则则 (1)A A (0)=0,(2)A A (-)=-A A ()(3)若 1,2 m 是V1的一组向量，k1,k2,km P,有A A (k1 1+k2 2+km m)=k1A A(1)+k2A A(2)+km A A (m)(4)若若
5、1,2 m 是V1的一组线性相关向量，则A A(1),A A(2),A A (m)在在V2中线性相关，当且仅当A A是一一映射时，V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关。线性映射的性质线性映射的性质第八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理2 设设A A ,BB 是线性空间是线性空间V1到到V2的两个的两个线性映射线性映射，若若 1，2，n是是V1的一组基，并且的一组基，并且A A (i)=)=B B(i)()(i=1,2n),),则则A =BA =B.注：注：定理定理2说明线性映射由基像组唯一确定说明线性映射由基像组唯一确定第九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月2.线
6、性映射的运算线性映射的运算(1)设设 A,B 都是都是V1到到V2的线性映射的线性映射,A,B的的和和A+B为为:(A+B)()=A()+B()，任意的，任意的 V1。(2)设设 A是是V1到到V2的线性映射的线性映射,B 是是V2到到V3的线性映射的线性映射定义定义A,B的的乘法乘法BA为为:(BA)()=B(A()，任意的，任意的 V1.(3)设设 A是是V1到到V2的线性映射的线性映射,k P，定义定义k与与A的的数量乘积数量乘积kA为为:(kA)()=kA()，任意的任意的 V1第十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月v线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合线性映射
7、的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合结合律。结合律。v对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到到V2的所有线的所有线性性映射组成的集合构成数域映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记为上的线性空间，记为L(V1,V2)。第十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月3.线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示 是是 的基的基,是是 的基的基.设设 是线性映射，是线性映射，记记:则存在则存在唯一唯一的的 使得使得:称矩称矩阵阵A为线为线性映射性映射T在基在基 与基与基 下的下的矩矩阵阵第十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月v矩阵和线性映射
8、互相唯一确定；矩阵和线性映射互相唯一确定；v在给定基的情况下，线性空间在给定基的情况下，线性空间V1到到V2的线性映射的线性映射L与与m n矩阵一一矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。vL(V1,V2)与与Pm n同构。同构。注：注：第十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理7 设设T为为V1到到V2的线性映射，的线性映射，则则:称为线性映射在基称为线性映射在基 与基与基下的下的坐标变换公式坐标变换公式第十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1 设设V1=Rxn，V2=Rxn-1，取线性映射取线性映射T：V1V2 T(
9、f(x)=f(x),f(x)R x n，求求T 在在Rxn的一组基的一组基1,x,xn-1与与Rxn-1的基的基1,x,xn-2下的矩阵下的矩阵D第十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月D(1)=0=0 1+0 2+0 n-1D(2)=1=1+0 2+0 n-1D(3)=2x=0 1+2 2+0 n-1 D(n)=(n-1)xn-2=0 1+2 2+(n-1)n-1 解解 在在R x n中取基中取基 1=1，2=x,n=xn-1,在在Rxn-1中取基中取基 1=1，2=x,n-1=xn-2，则，则第十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月D(1,2,n)=(1,2 n-1)即即于
10、是D在基1，x,xn-1与与1，x,xn-2下的矩阵为D=第十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月另：若在Rxn-1中取基1=1，2=2x,n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x,xn-1与1，2x,(n-1)xn-2下的矩阵为D=说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同第十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定定 理理 8 8 设设 A是是 n维维 线线 性性 空空 间间 V1到到 m维维 线线 性性 空空 间间 V2的的 线线 性性 映映 射射，1,2,n和和 是是V1的的两两组组基基,由由 1,2,n 到到 的的过过渡矩渡矩阵阵是是Q ，和和是是V2的的两两组组基基。由由
11、 到到 的的过过渡渡矩矩阵阵是是P，A在在基基 与与基基 下下的的矩矩阵阵为为A，而而在在基基 与基与基 下的矩下的矩阵为阵为B B，则则B=P-1AQ，（称称A与与B相抵）相抵）第十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义定义1 V是数域是数域P上的线性空间，对上的线性空间，对V 中的任意两个向量中的任意两个向量，和任意和任意k P，映射，映射T T：VV 满足满足 (i)(可加性可加性可加性可加性):):):):T T(+)=T T()+T T()(ii)(齐次性齐次性齐次性齐次性):):k T T()=T T(k)称称T T 为为V上的线性变换上的线性变换，T T()为为 在变换
12、在变换T T下的像，下的像，称为原像。称为原像。2.3 线性变换线性变换第二十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例1 对每个x=(1,2,3)R3,定义变换 T T (x)=(1,2,0)则变换T T 是线性空间R3上的线性变换（称为投影变换）第二十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理1 设设T T 是线性空间是线性空间V上上的线性变换线性变换，则则 (1)T T(0)=0,(2)T T (-)=-T T ()(3)若 1,2 m 是V的一组向量，k1,k2,km P,有T T (k1 1+k2 2+km m)=k1T T(1)+k2T T(2)+kmT T (m)(4
13、)若 1,2 m 是V的一组线性相关向量，则T T(1),T T (2),T T (m)也线性相关，当且仅当T T 是一一映射时，V中线性无关向量组的像也线性无关。线性线性变换变换的基本性质的基本性质第二十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 L (V,V)表示表示线性空间线性空间V 上的所有线性变换的集合，对任意的上的所有线性变换的集合，对任意的T,T1,T2L(V,V),V,定义定义则可以验证，则可以验证，T1+T2,kT,T1T2都是线性变换，因此都是线性变换，因此L (V,V)是数域是数域P上上的线性空间。的线性空间。注：注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念数乘变换
14、和线性变换的数乘运算是两个不同的概念.（1）线性变换的和：）线性变换的和：（2）线性变换的数乘：）线性变换的数乘：（3）线性变换的乘法：）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2()线性变换的运算线性变换的运算第二十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月特殊的变换：特殊的变换：(1)对任意的对任意的kP，定义数乘变换定义数乘变换K(x)=kx，(2)恒等变换：恒等变换：I(x)=x，(3)零变换：零变换：O(x)=0(4)逆变换：设逆变换：设A A 是线性空间是线性空间V上的线性变换，上的线性变换，如果存在如果存在V的变换的变换BB，使得，使得AB AB =BA BA =I，称称A A可
15、逆，可逆，B B 为为A A 的逆变换的逆变换.(5)线性变换的幂：线性变换的幂：A0=I，Am=Am-1A=AAA指数法则：指数法则：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn第二十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线线性性变换变换的矩的矩阵阵用矩阵表示即为用矩阵表示即为 设设 1,2,n为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组基，的一组基，T为V上的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设第二十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月其中其中 矩阵矩阵A称为称为线性变换线性变换T在在基下的矩阵基下的矩阵.第二十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月v单位变换在任意一组基下
16、的矩阵皆为单位矩阵；单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；v零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；v数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；vA的第的第i 列是列是 在基在基 下的坐标，下的坐标，它是唯一的它是唯一的.故故T在取定一组基下的矩阵是唯一的在取定一组基下的矩阵是唯一的.注：注：第二十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线线性性变换变换运算与矩运算与矩阵阵运算运算定理定理1 设设 为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：的唯一一个矩阵对应，且具有以
17、下性质：基，在这组基下，基，在这组基下，V的每一个线性变换都与的每一个线性变换都与 中中 线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵于逆矩阵.vL(V,V)与与Pn n同构；同构；第二十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例2 设线设线性空性空间间 的的线线性性变换变换为为 求在自然基底下的矩阵求在自然基底下的矩阵.解：解：()=第二十九张，P
18、PT共八十七页，创作于2022年6月定理定理2 2 设设T是是n维线维线性空性空间间V的的线线性性变换变换，和和 是是V的两的两组组基基,由由 到到 的的过过渡矩渡矩阵阵是是P ，T在基在基 与基与基 下的矩下的矩阵阵分分别为别为A和和B，则则B=P-1AP，（称称A与与B相似）相似）在两组基下所对应的矩阵在两组基下所对应的矩阵.如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换v 线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵表示第三十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月设B=P-1
19、AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA=detB;(3)A与B的特征值相同和特征多项式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.补充:相似矩阵的性质第三十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例3 在线性空间 中，线性变换定义如下：（1 1）求）求 在标准基在标准基 下的矩阵下的矩阵.（2 2）求在下的矩阵）求在下的矩阵.解：(1)由已知，有第三十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月设 在标准基 下的矩阵为A，即即：为过渡矩阵，又所以(1,2,3)=(1,2,3)P)=(1,2,3)P=(1,2,3)AP第三十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月因
20、而，第三十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 设设 在在 1,2,3下的矩阵为下的矩阵为B，则，则B=P-1AP（2）求求 在在 1,2,3下的矩阵下的矩阵.第三十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 定义定义1 设设T是数域是数域P上的线性空间上的线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域的一个线性变换，如果对于数域P中任一元素中任一元素，V中都存在一个非零向量中都存在一个非零向量 ，使得，使得 T()=那么称那么称 为为T的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 T的属于特征值的属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。2.4 特征值和特征向量特征值和特征向量第三十六张，
21、PPT共八十七页，创作于2022年6月由此可得：由此可得：v 是线性变换是线性变换T的特征值，则的特征值，则 是对应矩阵是对应矩阵A的特征值的特征值.v 是是 线性变换线性变换T的属于的属于 的特征向量，则的特征向量，则 是矩阵是矩阵A的属于的属于 的特的特征向量征向量.设设V是数域是数域P上的上的n 维线性空间，维线性空间，V中取定一组基中取定一组基 1,2，n.设线性设线性变换变换T在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 A，向量，向量 在这组基下的坐标是在这组基下的坐标是x,那么我那么我们有们有 T()=Ax=x第三十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 因此，只要将矩阵因此，只要
22、将矩阵A的全部特征值求出来，它们就是线性变换的全部特征值求出来，它们就是线性变换T的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 A的属于的属于 的全部特征向量求出来，的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是线性变换分别以它们为坐标的向量就是线性变换T的属于的属于 的全部特征的全部特征向量。向量。第三十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例1 设设V是数域是数域P上的上的3维线性空间，维线性空间，T是是V上的一个线性变换，上的一个线性变换，在在 V的一个自然基下的矩阵是的一个自然基下的矩阵是求线性变换求线性变换T的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解：解：的特征
23、多项式为的特征多项式为第三十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月所以所以 的特征值是的特征值是3（二重）与（二重）与-6。对于特征值对于特征值 3，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：1=-2 1 0T,2=2 0 1T,于是于是 T属于属于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 k1 1+k2 2,k1,k2 P这里这里 为数域为数域 P中不全为零的数对。中不全为零的数对。第四十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 对于特征值对于特征值-6，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：3=1 2-2T于是于是T的属于的属
24、于-6的全部特征向量的全部特征向量 k 3,k P这里这里k为数域为数域P中任意非零数。中任意非零数。第四十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 矩阵的特征值与特征向量的性质：矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）n 阶矩阵阶矩阵A的属于特征值的属于特征值 0的全部特征向量再添上零向量，可以的全部特征向量再添上零向量，可以组成组成V的一个子空间，称之为矩阵的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值的属于特征值 0特征子空间特征子空间，记为，记为V 0，不难看出，不难看出 V 0 正是特征方程组正是特征方程组 (0I-A)X=0的解空间。的解空间。显然，显然，V 0的维数是属于的维数是属于 0
25、的线性无关特征向量的最大数目，称的线性无关特征向量的最大数目，称dim(V 0)为特征值为特征值 0的的几何重数几何重数.（2）V 0属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。第四十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月（3）设设 1,2,r,是是A的的r个互不同的特征值，个互不同的特征值，i 的几何重数为的几何重数为qi,，i1,i2,iqi,是对应于是对应于 i的的qi 个线性无关的特征向量，则所有这个线性无关的特征向量，则所有这些特征向量些特征向量 11,12,1q1,21,22,2q2,r1,r2,rqr,仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。第四
26、十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月由代数基本定理知，由代数基本定理知，n阶矩阵阶矩阵A在复数域内恰有在复数域内恰有n个特征值个特征值 1,2,n，其中，其中 i作为特征方程的根的重数，称为作为特征方程的根的重数，称为 i的的代数重数代数重数,记为记为m i(A)，矩阵，矩阵A的特征值的全体称为的特征值的全体称为A的谱，最大特征值的模称为的谱，最大特征值的模称为A的的谱半谱半径径，记为，记为(A).（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。(5)A是是 n阶矩阵，其特征值为阶矩阵，其特征值为 1,2,n，则，则 第四十四张，PPT
27、共八十七页，创作于2022年6月定义定义1 数域数域 P上的上的n维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换T 称为称为可以对角化可以对角化的，如果的，如果V中存在一组基，使得中存在一组基，使得T在这个基底下的矩阵为对角矩阵。在这个基底下的矩阵为对角矩阵。定义定义2 如果如果n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对角化的。是可对角化的。(单位矩阵只和自己相似单位矩阵只和自己相似)2.5 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形第四十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理1 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的可对角化的充要条件充要条件是是A有有n个线性无关的
28、特征向个线性无关的特征向量；量；定理定理2 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互异的特征值，则个互异的特征值，则A是可对角化的。是可对角化的。（注：不是充要条件）（注：不是充要条件）定理定理3 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的可对角化的充要条件充要条件每一个特征值的代数重数等于每一个特征值的代数重数等于其几何重数。其几何重数。第四十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？解：解：先求出先求出A的特征值的特征值第四十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月于是于是A的特征值为的特征值为 （二重）（二重）由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线性
29、无关的特征向量。是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑下面我们考虑于是于是 从而不相似对角矩阵。从而不相似对角矩阵。第四十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例2 设设V是数域是数域P上的上的3维线性空间，维线性空间，T是是V上的一个线性变换，上的一个线性变换，在在 V的一个基的一个基 1,2,3 下的矩阵是下的矩阵是判断线性变换判断线性变换T是否可对角化。是否可对角化。解：解：根据上一节例根据上一节例1的讨论可知的讨论可知 T有有3个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量:第四十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月由基由基 到基到基 的过渡矩阵是的过渡
30、矩阵是于是有于是有因此，因此，T可以对角化，可以对角化，T在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是第五十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义定义1 1 设设T是数域是数域P的线性空间的线性空间V上的线性变换上的线性变换 ,W是是V的子空间。如的子空间。如果对任意向量果对任意向量 都有都有 ，则，则称称W是是T的的不变子空间。不变子空间。2.6 线性变换的不变子空间线性变换的不变子空间*（Invariant subspace）第五十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义定义2 设设T 是数域是数域 P上的线性空间上的线性空间V上的线性变换上的线性变换。令。令R(T)=Im(T)=
31、T(a)|a VKer(T)=N(T)=a V|T(a)=0称称R(T)是线性变换是线性变换T的的值域值域，而，而Ker(T)是线性变换的是线性变换的核核。R(T)的维的维数称为数称为T的的秩秩，Ker(T)的维数称为的维数称为T的零度的零度。线性变换的值域与核线性变换的值域与核第五十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理1 设设T是数域是数域 P上的线性空间上的线性空间V上的线性变换上的线性变换。令。令T 在在V的一组基的一组基 1,2,n下的矩阵表示为下的矩阵表示为A，则，则（1）R(T)和和Ker(T)都是都是V的子空间；的子空间；（2）R(T)=span(T(1),T(2
32、),T(n)（3）rank(T)=dim(R(T)=rank(A)（4）dim(R(T)+dim(Ker(T)=n第五十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月证明证明（1）显然）显然R(T)是是V的非空子集，对任意的非空子集，对任意T(),T()R(T)，k P 有有 T()+T()=T(+)R(T)kT()=T(k)R(T)所以所以R(T)是是V的子空间的子空间 又又T(0)=0,所以所以Ker(T)是是V的非空子集的非空子集,对任意对任意,Ker(T)，k P T(+)=T()+T()=0 Ker(T)T(k)=kT()=0 Ker(T)所以所以Ker(T)是是V的子空间的子空间 第
33、五十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例1 设线性变换设线性变换 T在在4维线性空间维线性空间V的基的基 1,2,3,4 下的矩阵为下的矩阵为（2）求）求Im(T)的一组基的一组基;（1）求）求Ker(T)的一组基的一组基;第五十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月解（1）对任意）对任意有有0=T()=T(x1 3+x4 4)因此因此AX=0,对对A做初等变换做初等变换第五十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月解得其基础解系解得其基础解系则则 的基为的基为第五十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月（2）由于）由于从而从而这说明这说明Im(T)=span(T
34、1,T 2,T 3,T 4)=span(T 1,T 2)第五十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例2 线性空间线性空间 和零子空间和零子空间 都是都是 上的线性变换上的线性变换 的的（平（平凡）不变子空间凡）不变子空间。例3 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T的值域的值域Im(T)和核和核Ker(T)都是都是V的的不变子空间。不变子空间。第五十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例4 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T的对应于某个特征值的对应于某个特征值 的所有特的所有特征向量加上零向量征向量加上零向量 组成的集合组成的集合也是也是 的子空间，称为的子空
35、间，称为 的的特征子空间特征子空间(eigenspace)。进一步，。进一步，也是也是 的不变子空间。的不变子空间。第六十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理2 线性变换线性变换T的不变子空间的的不变子空间的交与和交与和仍然是仍然是T的不变子空的不变子空间。间。定理定理3 设线性空间设线性空间V的子空间的子空间W=span 1,2,m，则，则W是是线性变换线性变换T的不变子空间的充要条件是的不变子空间的充要条件是T(i)W(i=1,2,m)第六十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理4 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T有非平凡的不变子空间的有非平凡的不变
36、子空间的充要条充要条件件是是T在在V的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？形式呢？第六十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理5 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T在在V的一组基下的矩阵表示为的一组基下的矩阵表示为块对角块对角矩阵矩阵的的充要条件充要条件充要条件充要条件是是V可以分解为可以分解为T的若干个的若干个非平凡不变子空间非平凡不变子空间的直和。的直和。v不变子空间是特征值的根子空间不变子空间是特征值的根子空间定理定
37、理6 n n维线性空间维线性空间V V上的线性变换上的线性变换T T在在V V的某个基下的矩阵表的某个基下的矩阵表示为对角矩阵示为对角矩阵 的的充充充充要条件要条件要条件要条件是是V V可以分解为可以分解为T T的的n n 个一维特征子空间的直和个一维特征子空间的直和 V=V 1 V 2 V n这里这里 为为T的两两不同的特征值。的两两不同的特征值。第六十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月v线性变换线性变换T的矩阵化简为一个块对角矩阵（对角矩阵）与线性的矩阵化简为一个块对角矩阵（对角矩阵）与线性空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的。空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的。第六十
38、四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义：定义：设设A 为一个为一个n 阶复矩阵，如果其满足阶复矩阵，如果其满足 AAH=AHA=I则称则称A是是酉矩阵，酉矩阵，一般记为一般记为A Un n。v 设设A为一个为一个n 阶实矩阵，如果其满足阶实矩阵，如果其满足 AAT=ATA=I则称则称A 是是正交矩阵正交矩阵,一般记为一般记为A En n。2.7 酉变换与酉（正交）矩阵酉变换与酉（正交）矩阵Unitary transformation and Unitary matrix（Orthogonal matrix）第六十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例1是一个正交矩阵是一个正
39、交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵第六十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月是一个酉矩阵是一个酉矩阵第六十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：设设 A,B是酉矩阵，那么是酉矩阵，那么设设 ，那么，那么定理定理1：设设 ，A是一个酉矩阵的充分必要条件为是一个酉矩阵的充分必要条件为A 的的 n个个列（或行）向量组是标准正交向量组。列（或行）向量组是标准正交向量组。第六十八张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定义定义2 设设T是是n为酉（欧氏）空间为酉（欧氏）空间V的线性变换，如果对任意的的线性变换，如果对任意的，V都有都有则称则
40、称T是是V的的酉（正交）变换。酉（正交）变换。正交变换保持正交变换保持V中的中的内积不变，内积不变，根据定义，显然正交变换也保持根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。向量的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。酉（正交）变换第六十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理2设设 是欧氏空间是欧氏空间 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：上的一个线性变换，则下列命题是等价的：（1 1）T是正交变换；是正交变换；（2 2）T保持向量的长度不变，即保持向量的长度不变，即|T T|=|;（3 3）若若 是是V的一组标准正交基，则的一
41、组标准正交基，则 也是也是V的标准正交基；的标准正交基；（4 4）T在在V的任意一组标准正交基下的矩阵表示的任意一组标准正交基下的矩阵表示 A为正交矩阵。为正交矩阵。第七十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月证明：证明：若线性变换保持长度不变，即若线性变换保持长度不变，即展开上式展开上式同样有同样有 根据定义显然成立。根据定义显然成立。左式左式=(T,T)+2(T(),T()+(T,T)=(,)+2(T(),T()+(,)右式右式=(,)+2(,)+(,)化简得化简得(T(),T()=(,)#第七十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月因此因此则则 对任意对任意 ，令，令 显然成立
42、。显然成立。第七十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 设设 在在 下的矩阵为下的矩阵为 ，即，即由于由于 也是标准正交基，所以也是标准正交基，所以 A 是两组标准正是两组标准正交基间的过渡矩阵，因此交基间的过渡矩阵，因此 A是正交矩阵。是正交矩阵。第七十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 设设 是正交矩阵，则是正交矩阵，则所以所以 也是标准正交基。也是标准正交基。第七十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月注 鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和变换（即反射变换）
43、和Givens变换（即旋转变变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。中构造正交基。补充：两种基本的图形变换补充：两种基本的图形变换第七十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间将线性空间 中的所有向量均绕中的所有向量均绕原点顺时针旋转角原点顺时针旋转角 ，这时，这时像像像像 与与原像原像原像原像 之间的关系为之间的关系为第七十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月例例2（反射变换或（反射变换或Householder变换）将变换）将 中任一向量中
44、任一向量x 关于关于横横轴做反射轴做反射得向量得向量y。这时像。这时像(x2,y2)与原像与原像(x1,y1)之间的关系为之间的关系为第七十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月 从几何上看，图形经过从几何上看，图形经过旋转变换旋转变换或或反射变换反射变换后只是位置改变了，后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。种变换都是正交变换。将这两种变换扩展到将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：第七十八张，PPT共八十七页，创
45、作于2022年6月一般形式的一般形式的Givens矩阵为矩阵为：第第j列列第第i i列列对应的变换称为对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换：变换，或初等旋转变换：在在n维欧式空间中维欧式空间中取一组标准正交基取一组标准正交基e1,e2en，沿平面，沿平面 ei,ej旋转。旋转。第第i i行行第第j j行行第七十九张，PPT共八十七页，创作于2022年6月定理定理 对任意非零向量对任意非零向量 Rn，存在有限个，存在有限个Givens变换的乘积变换的乘积 T，使使得得 其中其中 为标准单位向量为标准单位向量。即即通过有限次通过有限次Givens变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。变换可以
46、将向量旋转到某个坐标轴上。Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维向量，通过有维向量，通过有限次限次Givens变换，可将其后任意变换，可将其后任意r 个分量变为零，特别地，个分量变为零，特别地，r=n-1时，时，得得第八十张，PPT共八十七页，创作于2022年6月如图，显然有正交分解如图，显然有正交分解 因此向量因此向量 关于关于“与与e2 轴正交的直线轴正交的直线e1”对称的镜像向量的表达式对称的镜像向量的表达式为为HouseHolder变换变换第八十一张，PPT共八十七页，创作于2022年6月类似地，可定义将向量类似地，可定义将向量 变换为
47、关于变换为关于“与单位向量与单位向量 正交的正交的 维子空间维子空间”对称的向量对称的向量 的镜像变换。的镜像变换。定义定义3设设 为单位向量，称矩阵为单位向量，称矩阵 H()=)=I-2 H为为Householder 矩阵（初等反射矩阵），矩阵（初等反射矩阵），对应的变换对应的变换 称为称为Householder 变换（初等反射变换）变换（初等反射变换）第八十二张，PPT共八十七页，创作于2022年6月(1)det(H()=-1)=-1(2)H()H=H()=)=H()-1Householder 矩阵矩阵H()的性质的性质(3)对任意非零向量对任意非零向量 Rn，存在，存在Household
48、er 矩阵矩阵H，使得使得 H()=e1 1,其中其中 为标准单位向量为标准单位向量；对于对于=(a1,a2an)0,相应地取相应地取=(=(-e1 1)/|-e1 1|第八十三张，PPT共八十七页，创作于2022年6月解解由性质由性质(3)，取取 =|=3,w=(-e1)/|-e1|,所以得所以得例例 设设=(1,2,2)T,求求Householder矩阵矩阵H(),使得使得H()=|e1,其中，其中，e1=(1,0,0)T第八十四张，PPT共八十七页，创作于2022年6月几点说明几点说明vHouseholder变换能将任何非零向量变成与给定单位向量同方向变换能将任何非零向量变成与给定单位向
49、量同方向的向量；的向量；vHouseholder矩阵在矩阵的矩阵在矩阵的QR分解中有重要应用；分解中有重要应用；vGivens矩阵（变换）等于两个矩阵（变换）等于两个Householder矩阵（变换）的乘积，矩阵（变换）的乘积，即反射变换比旋转变换更基本。即反射变换比旋转变换更基本。第八十五张，PPT共八十七页，创作于2022年6月线性变换基本内容及其内在联系图：线性变换基本内容及其内在联系图：线线 性性 变换变换 线性变换的值域与核线性变换的值域与核不变子空间不变子空间相似矩阵相似矩阵线性变换的特征值，特征向量，线性变换的特征值，特征向量，特征子空间特征子空间线性变换的运算线性变换的运算不同基下的矩阵不同基下的矩阵矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵转化为矩阵运算转化为矩阵运算线性变换的对角化条件线性变换的对角化条件L(V,V)与与Pn n同构同构第八十六张，PPT共八十七页，创作于2022年6月感谢大家观看第八十七张，PPT共八十七页，创作于2022年6月