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1、Archimedes第1页/共67页第一节 定积分的概念与性质abxyo实例1 （求曲边梯形的面积）一、定积分问题的提出第2页/共67页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第3页/共67页Aera=?公元前二百多年前的阿基米德就已会用此法求出许多不规则图形的面积阿基米德第4页/共67页观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放第5页/共67页曲边梯形如图所示：（1）分割（2）近似代替第21页/共67页（3）求和（4）取极限曲边梯形面积为求曲边梯形面积所用的方法步骤：分割、近似代替
2、、求和、取极限.第22页/共67页实例2 （求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值第23页/共67页（1）分割（3）求和（4）取极限（2）近似代替第24页/共67页二、定积分的定义定义第25页/共67页被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限黎曼积分积分和第26页/共67页注意:第27页/共67页则则当第28页/共67页例1 利用定义计算定积分解第29页/共67页曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义第30页/共67页前前第31页/共67页第32页/共
3、67页定理1定理2定积分存在定理(可积充分条件)第33页/共67页三、定积分的性质对定积分的补充规定:说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小第34页/共67页证明（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1第35页/共67页证明性质2第36页/共67页补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.例 若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第37页/共67页证明性质4性质5第38页/共67页性质5的推论：证明（1）（定积分不等式性质）第39页/共67页证明说明：可积性是显然的.性质5的推论：(绝对值不等式性质)第40页/共67页解令于是第41页/共67页证明（此性质可
4、用于估计积分值的大致范围）性质6第42页/共67页解第43页/共67页解第44页/共67页证明由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式第45页/共67页使即积分中值公式的几何解释：第46页/共67页解由积分中值定理知有使第47页/共67页 小 结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限第50页/共67页3定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4典型问题（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小第51页/共67页证第52页/共67页命题得证所以可积必有界.第53页/共67页思考题1、将和式极限：2、表示成定积分.第54页/共67页思考题解答1、原式第55页/共67页例第56页/共67页证明利用对数的性质得第57页/共67页极限运算与对数运算换序得第58页/共67页故第59页/共67页练 习 题第60页/共67页第61页/共67页练习题答案第62页/共67页第63页/共67页第64页/共67页第65页/共67页练习题答案第66页/共67页感谢您的观看！第67页/共67页