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1、一、函数极限的四则运算规则和性质定理（定理（P51)第1页/共44页例例解解推论推论注：和.差.积的法则均可推广到有限个函数的情形.第2页/共44页小结小结:第3页/共44页例题第4页/共44页解解例例(消去零因子法)第5页/共44页例第6页/共44页例第7页/共44页解：原式 例求解:原式例:求第8页/共44页例（a00，b00，m,n0).解：1）m=n,原式2）mn,原式3）m 0,证证:已知即当时,有则存在(A 0)取若则存在使当时,有推论推论:第14页/共44页推论推论:若若且则利用保号性定理证明.提示提示:令第15页/共44页定理定理.若在若在的某去心邻域内,且 则证证:用反证法.
2、则由定理 1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)存在假设 A 0X0,使一切|x|X,|f(x)|X,|f(x)|M成立.注：1）函数局部有界是极限存在的必要但不充分条件。y=sin(1/x),x0 2）函数局部无界是函数极限不存在的充分条件。y=2x ,x第20页/共44页在满足定理的条件下，极限符号和函数符号可以交换次序。在满足定理的条件下，极限符号和函数符号可以交换次序。例如：（9）复合函数极限运算法则第21页/共44页补充定理：在某一极限过程中，如果函数f(x)和g(x)的极限分别为A和B且A第22页/共44页重要极限第23页/共44页例例解解第24页/共
3、44页3)设 u=arcsinx x0时u0,第25页/共44页例5:求下列极限(1)(3)(4)(5)第26页/共44页第27页/共44页第28页/共44页例已知求因为所以即第29页/共44页例例.已知圆内接正 n 边形面积为证明:证证:第30页/共44页二、单调有界原理（P53）定理单调增加有上界单调减少有下界几何解释:对偶性第31页/共44页xc-Ay=f(x)Ay=f(x)xc+x+Ay=f(x)x-Ay=f(x)当xc-时,若函数f(x)单调增大有上界（f(x)B)则f(x)有极限当xc-时,若函数f(x)单调减少有下界（f(x)A)则f(x)有极限第32页/共44页例1 设a,b0
4、,x1=a,求 xn的极限 (求任意正数平方根的算法）证明：两边取极限第33页/共44页例例2 2证证(舍去)第34页/共44页其他形式：（数列的极限）（数列的极限）（x0的极限）的极限）（复合函数的极限）（复合函数的极限）重要极限第35页/共44页即：xn是一单调上升数列。(2)xn为单调上升且有上界数列，xn有极限.(e2.718).证明：1）第36页/共44页x与n=x同时趋向+由夹挤准则第37页/共44页用变量代换可求出第38页/共44页例例1 1解解例例2 2解解第39页/共44页例例例例第40页/共44页例例.求求解解:原式=第41页/共44页重要极限重要极限或注注:代表相同的表达式第42页/共44页第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页