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1、第三章 基本方程组1 输运定理2 质量守恒定律3 动量方程4 角动量方程5 能量守恒原理6 初始条件和边界条件1 所有的力学定律,都是从系统的观念推导而得的，而以系统为对象研究流体运动，就必须随时对系统进行跟踪并识别边界，这在实际流动过程中显然是很困难的。况且，工程上所关心的问题也不在于跟踪质量确定流体的运动，而在于确定的设备空间中流体的流动行为。在工程流体力学中，更多的是采用以控制体为对象，而如何将基于系统的基本原理表达成适用于控制体的形式，这就是输运定理所要解决的问题。输运定理 引言21.系统：系统是一团确定不变的物质的集合。特点：（1）系统边界随流体一起运动，其形状、大小可随 时间变化；
2、（2）系统可以通过边界与外界发生力的作用和能量 交换，但不发生质量交换，即系统的质量是不 变的。2.控制体：在空间上体积固定不变的连续、封闭区域。特点：（1）控制体的边界相应于坐标系是固定不变的；（2）控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而 且可以有质量的交换。输运定理 概念3 为了将系统分析法转换成控制体积分析法，我们必须将数学导式转换成针对某一特定的区域（而非个别的质点）来作，此变换称为雷诺输运定理(Reynolds transport theorem)，该定理可应用在任一基本定律上。图3.1 流体实体容积 取如右图所示系统，函数 在整个系统区域上是连续的、单值的、可微的。输运定理 推导
3、4输运定理 推导5 控制体内函数变化量等于同一空间内函数的时间不均匀性引起的变化量与控制体界面上由于对流引起的函数变化量之和。这就是著名的输运定理，是由欧拉首先提出的。输运定理 推导6第三章 基本方程组1 输运定理2 质量守恒方程3 动量方程4 角动量方程5 能量守恒方程6 初始条件和边界条件7 质量守恒原理指物体质量在运动中保持不变，换言之，物体质量随时间的变化率为零。如右图所示，在考察的物质系统内，围绕任意点取一无限小体积。图3.2 流动流体的物质体积质量守恒定律 推导8输出控制体质量流量输出控制体净质量流量输入控制体质量流量控制体内的质量变化量对于系统，由质量守恒定律有：应用欧拉输运定理
4、，以控制体为研究对象时质量守恒方程质量守恒定律 推导9局部质量变化率对流质量通量 控制体内质量随时间的变化率与通过控制面的对流质量通量之和为零。质量守恒定律 推导10运用高斯散度定理，则有质量守恒定律的积分形式：质量守恒定律的微分形式：或对不可压缩流体，则方程简化为质量守恒定律 微分形式11直角坐标系中质量守恒方程为：柱坐标系中积分形式质量守恒方程为：柱坐标系中质量守恒微分方程为：质量守恒定律 柱坐标形式12第三章 基本方程组1 输运定理2 质量守恒方程3 动量方程4 角动量方程5 能量守恒方程6 初始条件和边界条件13对于系统，由动量守恒定律（牛顿第二定律）有：应用欧拉输运定理，以控制体为研
5、究对象时动量守恒方程动量方程 推导输出控制体动量流量控制体净输出的动量流量输入控制体动量流量控制体内的动量变化率作用于控制体的合力14外力体积力表面力单位质量上的体积力单位面积上的表面力应力矢量 应力张量和方向矢量缩并得应力矢量应力张量矩阵形式动量方程 推导15（切应力张量第一下标表示作用面法向，第二下标表示力的方向）。在笛卡儿坐标系中，应力向量的各分量为：动量方程 推导16zxyoABdydxdz动量方程 推导切向应力1：切向应力2：法向应力：17用应力张量替换应力向量，动量平衡方程可写成：动量变化率对流动量通量体积力表面力动量方程 推导18单位体积内总的动量变化率等于作用在物体上的外力之和
6、。（应力张量的散度表示流体应力状态的不均匀性）表面力合力散度定理动量方程微分形式 推导19上式为柯西运动方程，表示单位质量流体的动量平衡。考虑到连续性方程，上式变为：动量方程 柯西形式20笛卡儿坐标系下的柯西方程：柯西方程 直角坐标形式21柱坐标系下柯西方程：该偏微分方程组就是所谓的流体运动的应力形式的动量方程，代入不同流体的本构方程就可以得到不同流体的运动方程。柯西方程 柱坐标形式22第三章 基本方程组1 输运定理2 质量守恒方程3 动量方程4 角动量方程5 能量守恒方程6 初始条件和边界条件23对于系统，由角动量守恒定律有：角动量方程 推导 角动量守恒原理是指一定体积 流体的角动量变化率等
7、于作用在该流体上的所有外力矩之和。应用欧拉输运定理，以控制体为研究对象时角动量守恒方程可表述为：控制体净输出的动量矩流量控制体内的动量矩变化率作用于控制体的总力矩24应力张量就是对称的角动量方程 推导25第三章 基本方程组1 输运定理2 质量守恒方程3 动量方程4 角动量方程5 能量守恒方程6 初始条件和边界条件26能量守恒方程 推导 能量守恒定律可表述为：系统从外界吸热的速率与系统对外界做功的速率之差等于系统能量的变化率。能量守恒原理是针对封闭物质系统而言的。开放物质系统能量的变化取决于它和环境的相互作用。若一个系统和它的环境有力的作用，则总能量变化指动能和内能之和的变化：比内能27 应用欧
8、拉输运定理，以控制体为研究对象时能量守恒方程外界对控制体对做功的速率外界向控制体放热速率控制体净输出的能量流量控制体内的能量变化率对开放系统，能量守恒方程为：动能和内能变化率体积力做功表面力做功热通量能量守恒方程 推导28运用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程：或 能量守恒方程 微分形式29第三章 基本方程组1 输运定理2 质量守恒方程3 动量方程4 角动量方程5 能量守恒方程6 初始条件和边界条件30 所有的流体运动都要满足基本方程组，但在通常情况下只有确定了初始条件和边界条件之后，才有独一无二的形态。也就是说基本方程组中包含的任意函数需要结合相应的定解条件来求解未知量，否则方程组得不到唯
9、一确定的解。定解条件包括初始条件和边界条件。初始条件和边界条件初始条件是指流动在初始时刻 ，流体运动应该满足的初始状态。（1）初始条件为已知函数。31边界条件是指流体运动的边界上方程组的解应满足的条件。（2）边界条件a)无穷远处初始条件和边界条件32b)两介质界面 两介质的界面可以是气、液、固三相中任取两个不同相的界面，也可以是同一相不同组成的界面。两介质交界面条件：初始条件和边界条件33c)固壁边界 固壁边界条件是两介质界面处边界条件的重要特例，此时两介质中有一个是固体，另一个是流体。若固壁静止，粘性流体在固壁处速度为零，即 称为粘附条件或无滑移条件；理想流体的固壁边界条件则是流体沿固壁法线
10、方向的流速为零，即 。初始条件和边界条件34定解条件在方程求解中是一个不可缺失的环节，因此为一个具体的物理或工程问题确定定解条件是一件十分重要的事情d)自由面 自由面是正常条件下气-液界面，是两介质界面处边界条件的另一重要特例。若气相运动远强于液相运动，则可认为自由表面上液体压强与气相相等，两介质的法向速度分量为零。如果两介质的界面上存在剪切应力，则需满足条件：初始条件和边界条件35例例3-3密度为 的不可压缩均质流体以均匀速度 进入半径为 的水平直圆管，出口处的速度分布为 ,式中 为待定常数，是点到管轴的距离，如果进出口处压力分别为 和 ，求管壁对流体的作用力。第三章 基本方程组 应用1）控
11、制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程36例例3-3密度为 的不可压缩均质流体以均匀速度 进入半径为 的水平直圆管，出口处的速度分布为 ,式中 为待定常数，是点到管轴的距离，如果进出口处压力分别为 和 ，求管壁对流体的作用力。第三章 基本方程组 应用1）控制体与边界条件37例例3-3密度为 的不可压缩均质流体以均匀速度 进入半径为 的水平直圆管，出口处的速度分布为 ,式中 为待定常数，是点到管轴的距离，如果进出口处压力分别为 和 ，求管壁对流体的作用力。第三章 基本方程组 应用1）控制体与边界条件2）质量守恒方程38例例3-3密度为 的不可压缩均质流体以均匀速度 进入半径为 的水平直圆管，
12、出口处的速度分布为 ,式中 为待定常数，是点到管轴的距离，如果进出口处压力分别为 和 ，求管壁对流体的作用力。第三章 基本方程组 应用1）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程391）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程40例例3-4密度为 的两股不同速度的不可压缩流体合流，通过一段平直圆管，混合后速度与压力都均匀，如图所示。若两股来流面积均为 ，压力相同，一股流速为 ，另一股流速为 ，假定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失为 。第三章 基本方程组 应用41例例3-4密度为 的两股不同速度的不可压缩流体合流，通过一段平直圆管，混合后速度与压力都均匀，如图所示。
13、若两股来流面积均为 ，压力相同，一股流速为 ，另一股流速为 ，假定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失为 。第三章 基本方程组 应用1）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程42例例3-4密度为 的两股不同速度的不可压缩流体合流，通过一段平直圆管，混合后速度与压力都均匀，如图所示。若两股来流面积均为 ，压力相同，一股流速为 ，另一股流速为 ，假定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失为 。第三章 基本方程组 应用1）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程43例例3-4密度为 的两股不同速度的不可压缩流体合流，通过一段平直圆管，混合后速度与压力都均匀
14、，如图所示。若两股来流面积均为 ，压力相同，一股流速为 ，另一股流速为 ，假定管壁摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位时间内机械能损失为 。第三章 基本方程组 应用1）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程44第三章 基本方程组 应用1）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程451）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程PinPout4）机械能损失461）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程471）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程481）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程491）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程501）控制体与边界条件2
15、）质量守恒方程3）动量方程51例例3-6如图所示为明渠中水流经过闸门。设水为理想不可压缩流体，密度为 。在1-1和2-2截面上，流速为 、分布均匀。证明：在垂直于x-y平面方向单位宽度上闸门所受总力为:h1h2F521）控制体与边界条件2）质量守恒方程3）动量方程4）机械能守恒53解:第三章 基本方程组 应用54例例3-7不可压缩流体平面射流冲击在一倾斜角为 的平板上，如图所示。射流速度为 ，方向单位宽度对应的射流面积为 ，射流流体处于环境压力。求平板对射流的反作用力 的作用点与平板上的射流中心线的距离。V0,A0 xyLV2,A2V1,A1T第三章 基本方程组 应用55解:第三章 基本方程组 应用56例例3-8理想不可压缩流体密度为 ，定常地通过一水平分岔管道流出，进口截面积为 ，两个出口截面积均为 ，进出口参数均匀，进口压力为 ，速度为 ，出口压力为 ，已知 ，求通过总管的流量。第三章 基本方程组 应用57解:第三章 基本方程组 应用58