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1、第三章第三章 流体力学基本方程流体力学基本方程本章研究：本章研究： 流体机械运动的基本力学规律及其在工程流体机械运动的基本力学规律及其在工程中的初步应用。中的初步应用。 为什么河道较窄的地方流速较大？为什么河道较窄的地方流速较大？思考思考1 高楼顶层的水压为什么较低？高楼顶层的水压为什么较低？思考思考2自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么自来水可以爬上几十米的高楼，洪水为什么不能爬上几米的岸边山坡？不能爬上几米的岸边山坡？思考思考3水流速度水流速度V2是多少？是多少？思考思考43-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法描述流体的运动的困难描述流体的运动的困难3-1 描述流体运动的方法描述流
2、体运动的方法描述流体的运动的困难描述流体的运动的困难3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法1.拉格朗日法：拉格朗日法：一一. .拉格朗日法与欧拉法：拉格朗日法与欧拉法：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法1.拉格朗日法：拉格朗日法：设某质点的轨迹为：设某质点的轨迹为： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)为质点的初始位置坐标。为质点的初始位置坐标。研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一一. .拉格朗日法与欧拉法：拉格朗日法与欧拉法：上式中用粗体字母表示矢量。上式中用
3、粗体字母表示矢量。3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法1.拉格朗日法：拉格朗日法：,xyzuvwttt速度：速度：加速度：加速度：222222,xyzuxvywzaaatttttt研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一一. .拉格朗日法与欧拉法：拉格朗日法与欧拉法：uu= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t) 研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参数的分布。数的分布。 2. 欧拉法：欧拉法：3-1 描述流体运动的方法
4、描述流体运动的方法 2. 欧拉法：欧拉法：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法10()limtot vva上式中用粗体字母表示矢量。上式中用粗体字母表示矢量。 由速度分布求加速度：由速度分布求加速度： 2. 欧拉法：欧拉法：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法uu= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t) 由速度分布求加速度：由速度分布求加速度： 某质点某质点t 时刻位于（时刻位于（x, y, z），），速度为：速度为：0( ,
5、 , , )V x y z tt+t 时刻位于时刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t), ,速度为：速度为：1(,)V xx yy zz ttV0和和V1的关系为：的关系为：10VVVVVVtxyztxyz 3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法(泰勒展开式泰勒展开式) 加速度：加速度：而：而：10txyztxyz VVVVVV注意到：注意到：000lim,lim,limtttxyzuwttt 因此：因此：uvwtxyzVVVVa10()limtot vva用粗体字母表示矢量，则：用粗体字母表示矢量，则：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法描述流
6、体运动的方法uvwtxyzVVVVa加速度的投影值：加速度的投影值：xuuuuauvwtxyzyvvvvauvwtxyzzwwwwauvwtxyz3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法uvwtxyzVVVVa作业：作业：P52-53P52-53，第第1 19 9题、第题、第2 21 1题。题。 1.恒定流（定常流动）：恒定流（定常流动）： 2.非恒定流（非定常流动）：非恒定流（非定常流动）：( , , , )( , , , )uu x y z tpp x y z t例如：或00uvwptttt，流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的
7、流动。 流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时间流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时间而变化，这样的流动就称为非恒定流。而变化，这样的流动就称为非恒定流。3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法二二. .恒定流与非恒定流：恒定流与非恒定流： 迹线：迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法三三. .迹线和流线：迹线和流线： 流线：流线：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法三三. .迹线和流线：迹线和流线：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法三三. .迹线和流线：迹线和流
8、线：流线和迹线的区别：流线和迹线的区别：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法三三. .迹线和流线：迹线和流线：流线微分方程：流线微分方程： 设流线微段为：设流线微段为：该点的流体的速度为：该点的流体的速度为：因为：因为：dddxyzuvwddddsxiy jzkVuiv jwk 故两矢量的坐标分量对应成比例：故两矢量的坐标分量对应成比例：/dVs 3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法1. 流管：流管：2. 流束：流束：3. 元流：元流： 在流场中任一条封闭曲线（不是流在流场中任一条封闭曲线（不是流线）上的每一点作流线，这些流线线）上的每一点作流线，这些流线所围成的管状表面称为流
9、管。所围成的管状表面称为流管。流管内的一束运动流体称为流束。流管内的一束运动流体称为流束。 如果流管的横截面积为如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管这种流管称为微流管,微流管内的流微流管内的流束称为元流。束称为元流。无数元流的总和称为总流。无数元流的总和称为总流。4. 总流：总流：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法四四. .流管、流束、元流、总流：流管、流束、元流、总流：dnAQVA过流断面：过流断面：与流线正交的横断面。与流线正交的横断面。 平均流速平均流速：V = Q / A 对曲面对曲面A,（体积）（体积）流量流量 Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。单位时间内通过过
10、流断面的流体体积。 3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法五五. .流量：流量： 1. 均匀流与非均匀流：均匀流与非均匀流： 2. 渐变流与急变流：渐变流与急变流： 在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流；在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流；否之，则为非均匀流。否之，则为非均匀流。 在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。流（或称缓变流）；否之，则为急变流。3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法六六. .均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：均匀流、非均匀流、
11、渐变流、急变流：3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流动称为动称为三元流动三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数，；若流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为这种流动称为二元流动二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的；若流动参数是一个坐标和时间的函数，这种流动称为函数，这种流动称为一元流动一元流动。3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法七七. .一元流动、二元流动、三元流动：一元流动、二元流动、三元流动：3-1 描述流体运动的方法
12、描述流体运动的方法动动3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法求：求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）的流线方程。ddxyxy1lnlnxyC 例例1 1： 已知：已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：流线过点流线过点A（-1，-1） C =1cyx1x y3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法流线方程为：流线方程为：例例2 2：已知某流场中流速分布为：已知某流场中流速分布为：u = -x， v = 2y, w = 5-z。求通过点求通过点(x,y,z) = (2,4,1)的流线方程。的
13、流线方程。解：解： 流线微分方程为：流线微分方程为： dddxyzuvwddd25xyzxyzd1 d(2 )d(5)225xyzxyz 由上述两式分别积分，并整理得：由上述两式分别积分，并整理得： 3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法d1 d(2 )22dd(5)5xyxyxzxz05221czcxcyx即流线为曲面即流线为曲面 和平面和平面 的交线。的交线。1cyxxc zc2250将 (x,y,z)=(2,4,1) ,代入可确定 c1 和c2 12142cc，故通点故通点(2,4,1)的流线方程为：的流线方程为： 0524zxyx3-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法3-2
14、 连续性方程连续性方程1. 系统与控制体：系统与控制体：系统系统：控制体控制体：包含确定不变的物质的集合。包含确定不变的物质的集合。一个空间固定体称为控制体。一个空间固定体称为控制体。一一. .积分形式的连续性方程：积分形式的连续性方程：系统的流体质量为系统的流体质量为：( )( )( )dtM tt质量守恒质量守恒: 系统的质量在任何时刻都相等。系统的质量在任何时刻都相等。0d()( )lim0dtMM ttM ttt 2. 连续性方程的推导：连续性方程的推导：我们选取我们选取 t 时刻系统的体积时刻系统的体积 和表面积和表面积 A 为控制体的为控制体的体积和表面积。体积和表面积。3-2 连
15、续性方程连续性方程()( )()( )()d( )dtttM ttM tttt ( )( )()d()d( )dttttttt( )( ) ()( )d()d ()( )d() dtntAtttttttttt vAt 3-2 连续性方程连续性方程0d()( )lim0dtMM ttM ttt 因此：因此：对于任一物理量对于任一物理量（如动量）：如动量）：dddddnAvAtt 3-2 连续性方程连续性方程ddddddnAMdvAttt 单位体积的某物理量。单位体积的某物理量。即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的时间变化率和该物
16、理量通过控制体表面的净流出率之和。时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。由于质量守恒，因此：由于质量守恒，因此：dd0nAvAt 此方程称为积分形式的连续性方程。此方程称为积分形式的连续性方程。dddddnAvAtt 3-2 连续性方程连续性方程定常流动：定常流动：d0nAvA 一元流动：一元流动：1V1A1=2V2A2不可压缩流体的一元流动：不可压缩流体的一元流动：V1A1=V2A2dd0nAvAt 3-2 连续性方程连续性方程 二元流动，取控制体如图，二元流动，取控制体如图，长为长为dx, 宽为宽为dy。设控制体设控制体中心点的速度分别为中心点的速度分别为u，v，密度为密度为。
17、第一项为：第一项为：dd dx ytt3-2 连续性方程连续性方程dd0nAvAt 二二. .微分形式的连续性方程：微分形式的连续性方程：考虑第二项：考虑第二项：左侧面流入质量：左侧面流入质量： ddd22xuxuyxx右侧面流出质量：右侧面流出质量：x方向净流出的质量为：方向净流出的质量为：()d dux yxdnAvA 3-2 连续性方程连续性方程单位时间内控制体表面的净流出量。单位时间内控制体表面的净流出量。dd+d22xuxuyxxdddd+dd2222xuxxuxuyuyxxxx同理同理, ,单位时间内单位时间内y方向净流出的质量为：方向净流出的质量为：因此：因此：()()d dd
18、dd d0uvx yx yx ytxy即：即：()()0uvtxy三元流动：三元流动：()()()0uwtxyz3-2 连续性方程连续性方程()d dvx yx对于定常流动（恒定流）：对于定常流动（恒定流）：()()()0uwxyz当当= =常数时（不可压缩流体）：常数时（不可压缩流体）：0uwxyz()()()0uwtxyz3-2 连续性方程连续性方程作业：作业：P106P106，第第6 6题、第题、第8 8题。题。3-3 流体运动的微分方程流体运动的微分方程x方向：方向： max = F xd d dxx y z a 从理想流体中取出边从理想流体中取出边长分别为长分别为dx、dy和和dz的
19、微的微元平行六面体。设微元元平行六面体。设微元体中心点的速度分量为体中心点的速度分量为u、v和和w，其压强为其压强为p、密度、密度为为。理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。ddd d dd dd d22xp xp xfx y zpy zpy zxx一一. . 理想流体的运动微分方程：理想流体的运动微分方程： 1xxpafx同理：同理：即：即：理想流体的运动微分方程又称为理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程。不可压缩粘性流体的运动微分方程又称为不可压缩粘性流体的运动微分方程又称为纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程，简称为，简
20、称为N-S方程。方程。ypfayy1zpfazz13-3 流体运动的微分方程流体运动的微分方程二二. .粘性流体的运动微分方程（粘性流体的运动微分方程（N-SN-S方程）简介：方程）简介： N-S方程：方程：2222221xxpuuuafxxyz2222221yypvvvafyxyz2222221zzpwwwafzxyz在在N-S方程中，若方程中，若 = 0（理想流体），则理想流体），则N-S方程变为方程变为欧拉运动微分方程。欧拉运动微分方程。3-3 流体运动的微分方程流体运动的微分方程3-5 伯努利方程伯努利方程一一. .理想流体沿流线理想流体沿流线s s的伯努利方程：的伯努利方程：1ssp
21、afssuuauts加速度：加速度：如果如果流动恒定流动恒定，则：，则：考查理想流体沿流线考查理想流体沿流线s的运动方程：的运动方程：1. 方程的推导方程的推导：2dddd2suuauss3-5 伯努利方程伯努利方程如果质量力仅为重力：如果质量力仅为重力：2const.2pugz如果如果为常数：为常数：积分得：积分得：1 ddddppssddcosddszfgggzss 2ddd0d2ddupgzsss1sspafs沿流线积分沿流线积分或：或：2const.2puzHgpZ和：位置水头位置水头 (Z)、压强水头压强水头( p / ) 与流速水头与流速水头 (u/2g) 之和称为总之和称为总水头
22、（水头（H）。22ug：这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利伯努利方程方程。3-5 伯努利方程伯努利方程物理意义和几何意义见第二章物理意义和几何意义见第二章物理意义物理意义单位重量的流体所具有的动能单位重量的流体所具有的动能几何意义几何意义流速水头流速水头2.方程的物理意义和几何意义方程的物理意义和几何意义：恒定元流伯努利方程的物理意义：恒定元流伯努利方程的物理意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上机械能守恒。流动时，沿元流各断面上机械能守恒。恒定元流伯努利方程的几何意义
23、：恒定元流伯努利方程的几何意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上总水头保持不流动时，沿元流各断面上总水头保持不变。变。由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。就是沿元流的伯努利方程。3-5 伯努利方程伯努利方程二二. .压强沿流线法向的变化：压强沿流线法向的变化：1rrpafr2ruar 21uzppggzrrrr dcosdrzzfgggrr 3-5 伯努利方程伯努利方程0rpgzr渐变流和急变流的概念（复习）渐变流和急变流的概念（复习） ： 如果某处的流
24、线的曲率半径非常大如果某处的流线的曲率半径非常大, ,则此处的流动称为渐变流；则此处的流动称为渐变流；否则称为急变流。否则称为急变流。const.ppzzgpzC2upgzrr 这时沿流线的法向有：这时沿流线的法向有：在渐变流断面上有：在渐变流断面上有：3-5 伯努利方程伯努利方程dd0nAvAt ()()()0uwxyz0uwxyz2const.2puzHgconst.ppzzg理想流体沿流线理想流体沿流线的法向有：的法向有：理想流体沿流线理想流体沿流线(或元流或元流)的伯努利方程：的伯努利方程：微分形式的连续性方程：微分形式的连续性方程：积分形式的连续性方程：积分形式的连续性方程：1xxp
25、afxypfayy1zpfazz1理想流体的运动微分方程：理想流体的运动微分方程：三三. .理想流体总流的伯努利方程：理想流体总流的伯努利方程： 研究总流在断面研究总流在断面1-1和和2-2之间的部之间的部份。取其中某一元流，速度和断份。取其中某一元流，速度和断面积分别为面积分别为u1、dA1和和u2、dA2。u1dA1 = u2dA2 或或 dQ1=dQ22211221222pupuzzgg12221122111222dd22AApupuzu AzuAgg3-5 伯努利方程伯努利方程设两断面设两断面1-1和和2-2处在渐变流中处在渐变流中3332ddAAuAVAV AV Q31dAuAAV2
26、2d22AuVu AQgg故：故：dAppzu AzQ3-5 伯努利方程伯努利方程由于在渐变流断面上有：由于在渐变流断面上有：pzC令：令：式中：式中： 称为称为动能修正系数动能修正系数，与断面速度分布有关。工程中其值约为，与断面速度分布有关。工程中其值约为1.03-1.07，近似取为，近似取为1。 12QQ理想流体恒定总流的伯努利方程中：理想流体恒定总流的伯努利方程中：各项的物理意义和几何意义分别与元流的伯努利方程中各项的物理意义和几何意义分别与元流的伯努利方程中的相应项的物理意义和几何意义相同。的相应项的物理意义和几何意义相同。2211 1222112222pVpVzQzQgg2211 1
27、2221222pVpVzzgg3-5 伯努利方程伯努利方程四四. .粘性总流的伯努利方程：粘性总流的伯努利方程： 如图：如图：1-1断面在上游，断面在上游， 2-2断面在下游。断面在下游。由于有粘性，机械能沿流程减少。由于有粘性，机械能沿流程减少。 实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会消耗实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会消耗掉一部分机械能。掉一部分机械能。设单位重量流体从总流的设单位重量流体从总流的1-1断面运移至断面运移至2-2断面的机械能损失为断面的机械能损失为hw1-2。则：。则：2211 1222121 222wpVpVzzhgg3-5 伯努利方程伯努利方程水力
28、坡度水力坡度J：单位重量流体沿总流单位长度上的机械能损失。单位重量流体沿总流单位长度上的机械能损失。ddddwhHJss 22112211221 222wpVpVzzhgggg或：或：3-5 伯努利方程伯努利方程3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 1. 连续流体（液、气）。连续流体（液、气）。 2. 流体均匀不可压缩，流体均匀不可压缩， =const.。 3. 恒定流。恒定流。 4. 质量力仅为重力。质量力仅为重力。 5. 所取的两个计算断面为均匀流断面或渐变流断面所取的两个计算断面为均匀流断面或渐变流断面（两断面间可以是急变流）。（两断面间可以是急变流）。一一. .伯努利方程的应用条件
29、：伯努利方程的应用条件：单位重量流体从单位重量流体从1-1断面流至断面流至0-0断面：断面：单位重量流体从单位重量流体从2-2断面流至断面流至0-0断面：断面：2200011 1101 022wpVpVzzhgg22000222202 022wpVpVzzhgg二二. .有汇流（或分流）的伯努利方程：有汇流（或分流）的伯努利方程：3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用前提：过流断面流速均匀前提：过流断面流速均匀 水泵由进水管水泵由进水管1，出水管出水管2，以及叶轮，以及叶轮，涡壳等组成。涡壳等组成。 水由进水管进入叶轮中心，流经叶片之水由进水管进入叶轮中心，流经叶片之间的通道进入涡壳，由于叶
30、轮的高速旋间的通道进入涡壳，由于叶轮的高速旋转，水流获得能量，出口转，水流获得能量，出口2-2断面的压力断面的压力增高。增高。p2 p1 。1. 有能量输入：有能量输入：22112211221 222mwpVpVzHzhgg三三. .有能量输入或输出的伯努利方程：有能量输入或输出的伯努利方程：3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 式中式中Hm为单位重量液体流经水泵所获得的机械能，也称为水为单位重量液体流经水泵所获得的机械能，也称为水泵的扬程。泵的扬程。 2. 有能量输出：有能量输出：这时的伯努利方程为：这时的伯努利方程为：22112211221 222mwpVpVzHzhgg2212121
31、22122mwVVzzhggppH若，且忽略。有：。22112211221 222mwpVpVzHzhgg3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 式中式中Hm为单位重量液体传递给水轮机的机械能，也称为水轮为单位重量液体传递给水轮机的机械能，也称为水轮机的工作水头。机的工作水头。作业：作业：P107P107，第第1212题、第题、第1313题。题。四四. .总流伯努利方程的应用举例：总流伯努利方程的应用举例： 1.1.定断面：定断面：应将计算断面取在已知条件较多的均匀流或渐变应将计算断面取在已知条件较多的均匀流或渐变流断面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知数。流断面上，并使伯努利方程包含所要
32、求解的未知数。 2.2.过流断面上计算点的取定：过流断面上计算点的取定：原则上计算点可在均匀流或渐原则上计算点可在均匀流或渐变流断面上任取。但为了方便，管流的计算点应取在管轴中变流断面上任取。但为了方便，管流的计算点应取在管轴中心处；明渠流的计算点则应取在自由表面上。心处；明渠流的计算点则应取在自由表面上。 3.3.定基准面：定基准面：两过流断面必须选取同一基准面，常使两过流断面必须选取同一基准面，常使Z0。 4. 方程中的动压强方程中的动压强p1和和p2既可为绝对压强，也可为相对压强。既可为绝对压强，也可为相对压强。但但p1和和p2必须同为绝对压强或同为相对压强。必须同为绝对压强或同为相对压
33、强。 5. 分析和考虑两过流断面间的能量损失分析和考虑两过流断面间的能量损失hw1-2。解题时应注意以下几点解题时应注意以下几点：3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用例例1. 求小孔出流的流量：求小孔出流的流量： 如图，对断面如图，对断面0-0和断面和断面1-1列伯列伯努利方程，不计能量损失，有：努利方程，不计能量损失，有：上式中：上式中：A为小孔的面积，为小孔的面积， A为为1-1断面的面积。断面的面积。220001 10122apVpVzzgg10122Vg zzgh12QV AAgh解：解：3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用例例2. 用文丘里流量计测定管道中的流量：用文丘里流量
34、计测定管道中的流量： 如图，在如图，在1-1及及2-2断面列伯努利断面列伯努利方程，不计能量损失有：方程，不计能量损失有：2211 12221222pVpVzzgg222221212112VAgAppzz1122V AV A11322443pzzpzzzz解：解：3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用由于：由于：故：故：又因为：又因为：所以：所以：122124342311zpppzzzzzz ：考虑能量损失及其它因素所加的系数（考虑能量损失及其它因素所加的系数（1）22211 21g hVAA 222221112VAhgA22QV A3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用流量为：流量为：例
35、例3.用皮托管测流速：用皮托管测流速：201011022()2zzppuggguppg h3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用 书上书上P8081例例3-10解：解：对对1-1和和2-2断面列伯努利方程：断面列伯努利方程：水泵的有效功率：水泵的有效功率：211 112222222mwpVzHgpVzhg21mwwHzzhhh()600WmwPQHQ hh3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用水泵抽水水泵抽水,已知已知: Q=8.510-3m3/s, h=6.3m, hw=0.9m (水柱水柱)。求：水泵的有效功率求：水泵的有效功率P=？书上书上P8182例例3-11输气管入口，输气管入口
36、，已知：已知： =1000kg/m3，=1.25kg/m3，d=0.4m，h=30mm。求：求：Q = ?解：解：对对0-0和和1-1断面列伯努利方程，不计损失：断面列伯努利方程，不计损失：211 1012appVzzggg1apghp112221.784m/saVppgh2312.737m /s4dQV3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用书上书上P8384例例3-14 有一虹吸管，有一虹吸管，已知：已知：d=0.1m, hWAC=2.12m，hWCB=3.51m, h=6.2m，H=4.85m。求：求：Q = ? pa pc= ?解：解：1) 对水池液面和管道出口断面列对水池液面和管道出
37、口断面列伯努利方程：伯努利方程：22aawACBppVhhg2 ()3.344m/swACBVg hh30.02626m /sQVA3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用2) 对水池液面和管道对水池液面和管道C断面列伯努利方程：断面列伯努利方程：73946Paacpp22acwACppVHhg27.54m2acwACppVHhg3-6 伯努利方程的应用伯努利方程的应用3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用一一. .总流动量方程的推导：总流动量方程的推导：质点的动量方程：质点的动量方程：质点系（系统）的动量方程：质点系（系统）的动量方程：在在3-2中知：对于任一物理量中知：对于任一物理量（如
38、动量）有：如动量）有：dddddnAvAtt ddmVFt ddmVFt dddVFt 即：即：V ddAFfpn A()ddddnAAVtVvAfpn At 对于恒定总流，有：对于恒定总流，有：dddnAAVvAfpn AF dddddnAvAtt dddVFt 若令：若令：对于控制体不计粘性力：对于控制体不计粘性力：3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用对于如图所示的不可压缩液体的恒定总流，有：对于如图所示的不可压缩液体的恒定总流，有：ddAAu QVu AVQ 21ddQQuQu QF 212221 11ddAAu uAu u AF 1122dddQu AuA两断面两断面1-1和和2-
39、2为均匀流断面或渐变流断面。为均匀流断面或渐变流断面。dddnAAVvAfpn AF 3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用或：或：这里：这里：()()VQVQF 流出流入 在求解实际问题时，在求解实际问题时，一般采用直角坐标一般采用直角坐标系中的投影形式：系中的投影形式：()()()()()()xxxyyyzzzFVQVQFVQVQFVQVQ流出流入流出流入流出流入动量方程中的外力：动量方程中的外力：包括质量力包括质量力( (重力重力) )和表面力。和表面力。21dAuAAV式中：式中： 称为称为动量修正系数动量修正系数，与断面速度分布有关。工程中其值约为，与断面速度分布有关。工程中其值约
40、为1.01-1.03，近似取为，近似取为1。 不可压液体恒定总流的动量方程：不可压液体恒定总流的动量方程：3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用物理意义：物理意义：流出控制体动量流出控制体动量- -流入控制体动流入控制体动量量= =外力和外力和 二二. .总流动量方程的应用举例：总流动量方程的应用举例：u1.1.解题关键解题关键正确地选取控制体。正确地选取控制体。通常将控制面的一部分取通常将控制面的一部分取在运动液体与固体的交界面（或液体与气体的分界面）上，另在运动液体与固体的交界面（或液体与气体的分界面）上，另一部分取在渐变流断面上，并使控制面封闭。一部分取在渐变流断面上，并使控制面封闭。
41、u2.2.解题步骤：解题步骤： 1 1）先利用连续性方程、伯努利方程等求出一些相关参数。）先利用连续性方程、伯努利方程等求出一些相关参数。 2 2）选取渐变流断面，确定控制体；并建立直角坐标系。）选取渐变流断面，确定控制体；并建立直角坐标系。 3 3）分析作用在控制体内液体上的所有外力及渐变流断面上）分析作用在控制体内液体上的所有外力及渐变流断面上 的流速的流速V；确定力和速度的方向，并将其在坐标轴上投影。确定力和速度的方向，并将其在坐标轴上投影。 4 4）列动量方程，并求解之。列动量方程，并求解之。动量方程一般用于求解液体作用在固体壁面上的力。动量方程一般用于求解液体作用在固体壁面上的力。3
42、-7 动量方程及其应用动量方程及其应用确定射流对平板的冲击力（确定射流对平板的冲击力（1）：）：u平平板受力分析：板受力分析：p左边受动水压强左边受动水压强p，右边受大气压强右边受大气压强pa。p平板受到的射流的作用力平板受到的射流的作用力T由相对压强由相对压强所引起所引起。平板对射流的反作用力为平板对射流的反作用力为F，有：有：F与与T大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。00FQV0FQV3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用作业：作业：P108P108，第第1818题题 P110P110，第第2 27 7题题确定射流对平板的冲击力（确定射流对平板的冲击力（2）：）：平板为光滑平板，不
43、计水头损失：平板为光滑平板，不计水头损失：gVpZgVpZaa222112002010VVVV；同理故：1 12200()cos0QVQVQ V012QQQ10201cos1 cos22QQQQ，000()sinFQV00sinFQ V3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用 水渠、闸门的宽度水渠、闸门的宽度 B=3.4m。闸门上、下游水深分别为闸门上、下游水深分别为h1=2.5m, h2=0.8m。求求: 固定闸门应该施加的水平力固定闸门应该施加的水平力F。解：解：对对1-1及及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失有：断面列伯努利方程，不计水头损失有：gVphgVphaa22222211Bh
44、VBhVQ2211又：以上两式联解，可得：以上两式联解，可得：121.95m/s,6.095m/sVV31 116.575m /sQVh B所以：3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用书上书上P91例例3-16在水平方向列动量方程，有：在水平方向列动量方程，有：)(22122211VVQBhhBhhF221221()()2BFhhQ VV24812NF。3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用 例例1 1：如图，已知：如图，已知：V1 、A1 ； ；相对压强相对压强 p1 、p2 ；且管轴线；且管轴线在水平面内，试确定水流对弯管的作用力。在水平面内，试确定水流对弯管的作用力。解：解：对对1-
45、1及及2-2断面列伯努利断面列伯努利方程，不计水头损失，有：方程，不计水头损失，有：22112222pVpVgg1122QV AV A在在x方向列动量方程，有：方向列动量方程，有：112221cos(cos)xFp Ap AQ VV可求出可求出V2、A2。 3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用112221cos(cos)xFp Ap AQ VV在在y方向列动量方程，有：方向列动量方程，有：222sinsinyFp AQV222sinsinyFp AQV112221cos(cos)xFp Ap AQ VV3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用例例2 2：嵌入支座内的一段输水管，其直径由嵌入
46、支座内的一段输水管，其直径由d1为为1.5m变化到变化到d2为为1m (见图见图1)，当支座前的压强，当支座前的压强p1 = 4个工程大气压个工程大气压(相对压强相对压强)，流量为流量为1.8m3/s时，试确定渐变段支座所受的轴向力时，试确定渐变段支座所受的轴向力R，不计水不计水头损失。头损失。 图图1d2122122224 1.81.02(m/s)1.544 1.82.29(m/s)14QVdQVd解：解：由连续性方程知：由连续性方程知： 在在1-1及及2-2两断面列伯努利方程两断面列伯努利方程(不计损失，用相对压强不计损失，用相对压强)： 3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用2211
47、12220022pVpVgg2211 12220022pVpVggppVV2112222()498101210222922.( .)2389.9(kN/m )214 9.8 10392(kN/m )p 取控制体如图取控制体如图2建立坐标系建立坐标系xoy：图图2 2221111122222221.5392692.7 (kN)44692.7kN1389.9306.2(kN)44306.2kNxxdPpPPdPpPP 22211222ppVVgg121.0取3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用11221.02 (m/s);2.29(m/s)xxVVVV 显然，支座对水流的作用力显然，支座对水流的作用力R的作用线应的作用线应与与x轴平行。设轴平行。设R的方向如图的方向如图2所示所示 ：RRx在在x轴方向列动量方程：轴方向列动量方程： FQVVxxx()2211图图2 2取则即2112211069273062118229102 . ,().( .)PPRQ VVRxxxxx384.2(kN) ()R方向水平向左 根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力R与与R大小相等，大小相等，方向相反方向相反 (R的方向水平向右的方向水平向右)。 3-7 动量方程及其应用动量方程及其应用