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1、高等数学高等数学西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明精精金金财财实数与函数实数与函数引言引言实数的重要性质实数的重要性质函数函数复合函数复合函数反函数反函数函数的简单性质函数的简单性质初等函数初等函数高等数学简介高等数学简介一元函数微分学一元函数微分学 利用极限研究函数的种种表达及其诸多利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质性质严密逻辑思维和连续问题的基本严密逻辑思维和连续问题的基本分析方法分析方法极限及其理论极限及其理论导数与微分及其理论导数与微分及其理论微分学应用微分学应用一元函数积分学一元函数积分学不定积分不定积分定积分概念及其理论定积分概念及其理论积分学应用积分
2、学应用本学期学习内容本学期学习内容参考书目：参考书目：1.高等数学引论高等数学引论一卷一分册一卷一分册 华罗庚华罗庚科学出版社科学出版社3.数学分析数学分析第一册第一册 何琛何琛 高教出版社高教出版社4.微积分和数学分析引论微积分和数学分析引论 第一卷第一、二分册第一卷第一、二分册 柯朗柯朗 科学出版社科学出版社2.微积分教程微积分教程（第三版）（第三版）谢明文谢明文主编主编西南财经大学出版社西南财经大学出版社答疑时间地点：答疑时间地点：通博楼通博楼B座座302经济数学学院经济数学学院 因此了解掌握实数的基本性质对于学习因此了解掌握实数的基本性质对于学习微积分是必要的基础微积分是必要的基础.实
3、实 数数连续模型连续模型建立在实数基础之上建立在实数基础之上（一）实数集的有序性（一）实数集的有序性 （二）（二）实数集实数集的稠密性的稠密性（三）实数集的界与确界（三）实数集的界与确界(一一)实数集的有序性实数集的有序性 有且仅有一个式子成立有且仅有一个式子成立.在做加法和乘法运算时在做加法和乘法运算时,保持下列关系保持下列关系:数轴上的点和实数是一一对应的数轴上的点和实数是一一对应的 从数轴上看从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右实数是从小到大依序自左至右排列的排列的（二）（二）实数集实数集的稠密性的稠密性有理数集是实数集的一个子集有理数集是实数集的一个子集有理数在实数集中是稠密的有理数
4、在实数集中是稠密的 即在任意两个不同的实数之间即在任意两个不同的实数之间,都有无都有无穷多个有理数穷多个有理数这一点具有非常重要的意义数轴上的点数轴上的点P到原点距离加上符号到原点距离加上符号实数域的连续性实数域的连续性 实数域实数域 R R 布满数轴布满数轴问：有理数布满数轴了吗？问：有理数布满数轴了吗？有空档！这是一个无理数这是一个无理数定义：定义：(三三)数集的界与确界数集的界与确界1.1.有界集有界集存在存在对任意一个或任意取定对任意一个或任意取定例如：例如：（1）自然数集合）自然数集合（2）真分数集）真分数集定义：定义：例如：例如：没有最大值！没有最大值！2.2.集合的确界集合的确界
5、3.实数的连续性刻画实数的连续性刻画确界公理确界公理 （1）如果非空实数集合有上界）如果非空实数集合有上界,则则 必有上确界必有上确界.（2）如果非空实数集合有下界）如果非空实数集合有下界,则则 必有下确界必有下确界.定理定理有理数集与实数集性质的区别在实数范围中的上确界在实数范围中的上确界但是但是,在有理数范围中这个集合没有上确界在有理数范围中这个集合没有上确界实数集是连续的有理数集不是连续的（1）如果实数集的子集有上（下）界,则必有上（下）确界.但是,有理数集的子集有界,则未必有确界.例如例如(2)(2)想象一个点在实数轴上连续运动想象一个点在实数轴上连续运动在每一个时刻这个点所处的位置在
6、每一个时刻这个点所处的位置都是一个实数都是一个实数,但不一定是有理数但不一定是有理数 邻域邻域6第一节第一节 函函 数数例例研究市场问题研究市场问题.需求、供给需求、供给价格价格需求需求Q价格价格p供给供给D价格价格需求需求供给供给价格价格需求需求供给供给(一一)函数概念函数概念定义：定义：存在存在唯一唯一对任意一个或任意取定对任意一个或任意取定问题：函数是什麽？问题：函数是什麽？函数是一个规则函数是一个规则什麽规则？什麽规则？函数是一种关系函数是一种关系什麽关系？什麽关系？由一个量由一个量(自变量自变量)的值，确定另一个的值，确定另一个量量(因变量因变量)对应数值的规则对应数值的规则 一个量
7、一个量(因变量因变量)随另一个量随另一个量(自变量自变量)变化的对应关系变化的对应关系 函数还是一个变量函数还是一个变量,随自变量变化的随自变量变化的变量变量几点说明几点说明1对应规则对应规则 f.f()按按f确定括号内对应值确定括号内对应值例例2定义域定义域 D,也记为也记为 D(f)函数函数 f 有意义的自变量集合有意义的自变量集合(1)(1)给定函数时，给定自变量集合，函数只在给定函数时，给定自变量集合，函数只在给定集合有意义，在其他集合即使可以计算，给定集合有意义，在其他集合即使可以计算，仍然叫无意义；仍然叫无意义；(计算的不是所给函数的值计算的不是所给函数的值)(2)(2)给定函数时
8、，没有给定自变量集合，计算给定函数时，没有给定自变量集合，计算定义域原则；定义域原则；分母不为分母不为0 0；开偶数次方变量非负；开偶数次方变量非负；作对数运算变量大于作对数运算变量大于0 0；作反正弦、反余弦运算变量在作反正弦、反余弦运算变量在11之间之间例例例例例例例例 函数的定义域函数的定义域D与对应关系与对应关系f 一旦确定，两个一旦确定，两个量之间的关系量之间的关系函数也就完全确定了故称之函数也就完全确定了故称之为函数的两要素为函数的两要素 反之如果有两个函数反之如果有两个函数y=f(x),s=g(t),当它们定义当它们定义域相同域相同,对应关系也一样对应关系也一样(定义域中同样的自
9、变量定义域中同样的自变量值值,对应的函数值对应的函数值),就叫做两个函数相等就叫做两个函数相等.记为：记为：f(x)=g(x).例例 下列函数中相等的有下列函数中相等的有（二）（二）函数的几个简单性质函数的几个简单性质1.奇、偶性奇、偶性(或对称性或对称性)对称对称y轴轴对称原点对称原点xyoyxox-xx-xf(x)f(x)-f(x)f(-x)注：注：1奇偶函数定义域关于原点对称；奇偶函数定义域关于原点对称；2非奇非偶函数运算后，奇偶性不一定非奇非偶函数运算后，奇偶性不一定例例解解例例解解2.单调性单调性(增减性增减性)yxox1x2x3f(x1)f(x2)f(x3)yxox1x2x3f(x
10、1)f(x2)f(x3)3.周期性周期性注意注意 并不是所有的周期函数都有最小周期并不是所有的周期函数都有最小周期例如：例如：yxo称为称为狄里克莱狄里克莱函数函数，T叫做叫做f 的一个周期的一个周期注：注：1.周期函数定义域为双向无界集合；周期函数定义域为双向无界集合；例例解解例例证证例例答答 证明函数证明函数 f(x)没有周期，只要通过定义域不同没有周期，只要通过定义域不同点点(值值)证明作周期的常数不存在即可证明作周期的常数不存在即可.4.有界性有界性定义：定义：xyo上界上界xyo下界下界例例41.什么叫作函数无界？什么叫作函数无界？2.确界的数学含义？确界的数学含义？例例例例（三）（
11、三）复合函数与反函数复合函数与反函数定义定义1.复合函数复合函数例例则有则有 则有则有 gf(x)=？则有则有 所以所以,不能构成复合函数不能构成复合函数 因为因为例例解解2.反函数反函数在函数定义中，要求函数是单值的，即在函数定义中，要求函数是单值的，即说明说明例例解解例例例例习惯上习惯上,记记（四）（四）初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数（1）常量函数）常量函数自变量取任意值，对应函数值都是自变量取任意值，对应函数值都是c周期、偶函数、有界周期、偶函数、有界定义域定义域（2）幂函数）幂函数（3）指数函数）指数函数（4）对数函数）对数函数e是无理数是无理数也记为也记为exp(x)(5)
12、三角函数三角函数(6)反三角函数反三角函数初等函数初等函数基本初等函数经过基本初等函数经过有限次有限次的四则运算的四则运算及复合运算所得到的函数及复合运算所得到的函数,称为初等函数称为初等函数.双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦双曲正切双曲正切反双曲正弦反双曲正弦反双曲余弦反双曲余弦反双曲正切反双曲正切非初等函数的例子非初等函数的例子（1）符号函数）符号函数注意注意（2）取整函数）取整函数例如例如注意注意函数表示的其他分类：函数表示的其他分类：（1）显函数）显函数（2）隐函数）隐函数（3）参数式函数）参数式函数小结小结一、学数学、用数学、一、学数学、用数学、培养理性思维培养理性思
13、维二、实数集有连续性二、实数集有连续性 有理数集是稠密的有理数集是稠密的结束放映结束放映第一节第一节 函数函数（一）（一）经济数学模型经济数学模型 现实经济极端复杂，不可能一下子理解其全现实经济极端复杂，不可能一下子理解其全部内在联系；通常研究仅为经济问题的某一方面部内在联系；通常研究仅为经济问题的某一方面或一部分或一部分 合理的研究方法是：根据目的，选择与问题合理的研究方法是：根据目的，选择与问题相关的基本因素和关系集中研究这种精心简化相关的基本因素和关系集中研究这种精心简化的分析结构为经济模型的分析结构为经济模型.用数学方程描述的经济模型结构为经济数学用数学方程描述的经济模型结构为经济数学
14、模型这些方程把一定数量的变量联系起来，并模型这些方程把一定数量的变量联系起来，并给出采用的分析假设给出采用的分析假设.再通过计算可以推导出一再通过计算可以推导出一系列逻辑上服从这些假设的经济结论或理论系列逻辑上服从这些假设的经济结论或理论.经济数学模型的方程通常分三种：经济数学模型的方程通常分三种：1.定义方程定义方程具有同样含义的表达式间的关系；具有同样含义的表达式间的关系；例例2.行为方程行为方程其他变量变化时，某一变量其他变量变化时，某一变量(随之随之)的变化方式；的变化方式；例例例例3.平衡方程平衡方程涉及平衡概念建立的方程；涉及平衡概念建立的方程；建立方程需要描述增长建立方程需要描述增长“速度速度”.行为方程是反映一个变量随其他变量变化的行为方程是反映一个变量随其他变量变化的方式，而要进一步达到效益最佳，就需要研究随方式，而要进一步达到效益最佳，就需要研究随其他变量变化的变量的变化规律其他变量变化的变量的变化规律.(如增长速度等如增长速度等)