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1、第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续 第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第二节第二节 极限极限第三节第三节 函数的连续性函数的连续性分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 在讨论函数极限时在讨论函数极限时,我们说函数在一点的我们说函数在一点的 函数值函数值与与极限值极限值是两个不同的问题是两个不同的问题.它们的关系有它们的关系有函数值不存在，极限存在；函
2、数值不存在，极限存在；函数值函数值,极限值都存在极限值都存在,但不相等；但不相等；函数值等于极限值函数值等于极限值.2第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性增量：增量：终值与初值的差终值与初值的差 自变量在自变量在x0处的增量：处的增量：函数函数y在点在点x0处相应的增量：处相应的增量：一、一、函数的连续性函数的连续性（一）函数（一）函数y=f(x)在点在点 处的连续性处的连续性1.1.增量增量3第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 x虽然称为增量，但是其值可正可负虽然称为增量，但是其值可正可负.例如
3、例如，当当 x x0 时时，x=x-x0 x0 时时，x=x-x0 0,一般地一般地：x 04第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定义定义1.3.1 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某邻域的某邻域内有定义，如果当自变量内有定义，如果当自变量x在在x0处的增量处的增量 x趋于趋于零时，相应的函数增量零时，相应的函数增量 y=f(x0+x)-f(x0)也趋也趋于零，即于零，即则称函数则称函数 y=f(x)在点在点x0连续连续，也称点，也称点x0为函为函数数y=f(x)的的连续点连续点5第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节
4、 函数的连续性函数的连续性说明说明：2.函数在一点连续实质就是函数在一点连续实质就是:当自变量变化不当自变量变化不大时大时,函数值变化也不大函数值变化也不大.1.函数函数 y=f(x)在点在点x0连续的几何意义表示函连续的几何意义表示函数图形在数图形在x0不断开不断开.06第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定义定义1.3.2 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某邻的某邻域内有定义，如果域内有定义，如果xx0时，时，相应的函数相应的函数值值f(x)f(x0)，即，即例如：例如：则称函数则称函数 y=f(x)在点在点x0连续连续，也称点，也称
5、点x0为函数为函数y=f(x)的的连续点连续点故故 在在x0 连续，连续，在点在点1处连续处连续.7第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性3.函数函数y=f(x)在点在点x0连续必须连续必须同时满足同时满足以下以下三个条件：三个条件：(1)函数函数 y=f(x)在点在点x0的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，函数在函数在一点的一点的的连续性同极限一样，都是函的连续性同极限一样，都是函数的局部性质。数的局部性质。(2)极限极限(3)函数在函数在 x0 处极限值等于函数值，即处极限值等于函数值，即 存在；存在；即即 y=f(x0)存在存在;8第一章
6、第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例1 讨论函数讨论函数 f(x)=x+1在在x=2处的连续性处的连续性f(x)在在x=2及其近旁有定义且及其近旁有定义且f(2)=3;f(x)在在x=x0及其近旁点及其近旁点是否有定义是否有定义？若有定义，？若有定义，f(x0)=？所以，所以，函数函数f(x)=x+1在在x=2处连续处连续.解解9第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例2 讨论函数讨论函数f(x)在在x=0及其近旁有定义且及其近旁有定义且 f(0)=0;不存在不存在,因此函数因此函数 f(x)在在 x
7、=0 处不连续处不连续.解解在在x=0处的连续性处的连续性10第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例3 讨论函数讨论函数f(x)在在x=1及其近旁有定义且及其近旁有定义且f(1)=0,不存在不存在.因此函数因此函数 f(x)在在 x=1 处不连续处不连续.解解在在 x=1 处的连续性处的连续性11第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定义定义1.3.3 设函数设函数y=f(x)在在(x0-,x0 有定义，有定义，称称y=f(x)在在x0处处左连续左连续.2.函数函数 y=f(x)在在x0处的左、右
8、连续处的左、右连续设设函数函数y=f(x)在在x0,x0+)有定义，有定义，且且称称y=f(x)在在x0处处右连续右连续.且且12第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定理定理1.3.1 函数函数 在点在点 处连处连续的充要条件是函数续的充要条件是函数 在点在点 处既处既左连续左连续又又右连续右连续.由于由于得得:13第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例4 讨论函数讨论函数 f(x)在在x=/2 及其近旁有定义且及其近旁有定义且 f(/2)=1.因此函数因此函数f(x)在在x=/2处处左连续左连
9、续.因此函数因此函数f(x)在在x=/2处处右连续右连续.因此函数因此函数f(x)在在x=/2处处连续连续.解解在在 x=/2 处的连续性处的连续性14第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定义定义1.3.4 如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内的内的每每（二）函数（二）函数y=f(x)在区间在区间a,b上的连续性上的连续性那么称函数那么称函数y=f(x)在在闭区间闭区间a,b上连续上连续,或者或者说说(4)在右端点在右端点b处左连续处左连续,即即 如果如果y=f(x)满足满足(1)在闭区间在闭区间a,b上有定上有定义义;(3
10、)在左端点在左端点a处右连续处右连续,即即(2)在开区间在开区间(a,b)内连续内连续;一点都连续一点都连续,称函数称函数y=f(x)在在开区间开区间(a,b)内连续内连续.y=f(x)是是闭区间闭区间a,b上连续函数上连续函数.15第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 若若函数函数y=f(x)在它定义域内的每一点都连在它定义域内的每一点都连续续,则称则称 y=f(x)为为连续函数连续函数.基本初等函数在其定义域内都连续基本初等函数在其定义域内都连续连续函数的图象是一条连续不间断的曲线连续函数的图象是一条连续不间断的曲线 16第一章第一章 函数的
11、极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性二、二、初等函数的连续性初等函数的连续性 定理定理1.3.2（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算）注意：注意：和、差、积的情况可以推广到和、差、积的情况可以推广到有限多个函数的情形有限多个函数的情形f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)在点在点 x0 处也连续处也连续 若函数若函数 f(x),g(x)在点在点x0处连续，则函数处连续，则函数 17第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定理定理1.3.3（复合函数的连续性复合函数的连续性）设有复合函数设有复合函数y
12、=f (x)，若，若 (x)在点在点x0连续，且连续，且 (x0)=u0而函数而函数f(u)在在 u=u0连续，连续，则复合函数则复合函数 y=f (x)在在 x=x0也连续也连续例如，例如，内连续内连续,内连续内连续,内连续内连续.18第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 推论推论 若若 lim (x)=u0，函数，函数 y=f(u)在在(1)可作变量代换可作变量代换 u=(x)求复合函数的极限求复合函数的极限,即即令令u=(x)点点 u0 处连续，则有处连续，则有:(2)极限运算与函数运算可以交换次序，即极限运算与函数运算可以交换次序，即 这
13、表明这表明:复合函数复合函数 满足推论条件时满足推论条件时:19第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性解解例如例如，求，求设设 时时,处连续处连续.由于由于或或:20第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性定理定理1.3.4 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内是连续的内是连续的注注:定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间!21第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例5 计算计算 因为因为arcsin(lnx)是初等函数，且是
14、初等函数，且x=e是它是它的定义区间内的一点，由定理的定义区间内的一点，由定理1.3.3，有，有:解解22第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例6 计算计算解解23第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性三、函数的间断点三、函数的间断点 定义定义1.3.5 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0的某的某去心邻域内有定义，在点去心邻域内有定义，在点x0处不连续，则称处不连续，则称y=f(x)在点在点x0处处间断间断,并称点并称点x0为函数为函数 y=f(x)的的不连续点或间断点不连续点或间断点（一）间
15、断点的概念（一）间断点的概念24第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 设函数设函数f(x)在在点点x0的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数则下列情形之一函数f(x)在点在点x0不连续不连续.(1)在在x0处没有定义；处没有定义；(3)虽在虽在x0处有定义，且处有定义，且 存在，但存在，但 (2)虽在虽在x0有定义，但有定义，但 不存在不存在;这样的点这样的点 x0称为函数称为函数f(x)的的间断点间断点.25第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性无穷间断点：无穷间断点：在第二类
16、间断点中，左、右极限在第二类间断点中，左、右极限 第一类间断点：第一类间断点：可去间断点：可去间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：函数函数f(x)在间断点在间断点x0处的左、右处的左、右 函数函数f(x)在间断点在间断点x0处的处的第二类间断点：第二类间断点：（二）间断点的分类（二）间断点的分类左、右极限都存在左、右极限都存在.极限至少有一个不存在极限至少有一个不存在.至少有一个为无穷大的点至少有一个为无穷大的点.26第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例7 函数函数函数在函数在x=1处是否有定义？处是否有定义？有定义，且有定义，且 f(1)=-1
17、.是否存在？是否存在？存在，且存在，且 是否成立？是否成立？显然显然 所以所以x=1是是f(x)的第一类间断点的第一类间断点,且是可去间断点且是可去间断点考察考察x=1处处.27第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性说说 明：明：所谓可去间断点是指：可以通过所谓可去间断点是指：可以通过改变或补改变或补充充 f(x0)的定义的定义使得使得 从而使函从而使函数数 f(x)在在 x0 处连续处连续.例如：上例中改变定义例如：上例中改变定义,令令 f(1)=2,则则则则 f(x)在在x=1处就连续了处就连续了.28第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与
18、连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例7 函数函数函数在函数在x=0 处是否有定义？处是否有定义？有定义，且有定义，且 f(0)=1.是否存在？是否存在？所以所以 不存在不存在考察考察x=0处处.所以所以x=0 是是 f(x)的的第一类间断点第一类间断点,且是且是 跳跃间断点跳跃间断点29第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例9 函数函数 考察考察 x=0处处.函数在函数在x=0处是否有定义？处是否有定义？无定义无定义 是否存在？是否存在？所以所以x=0 是是 f(x)的的第二类间断点第二类间断点,且是且是 无穷间断点无穷间断点30第一
19、章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例10 函数函数称称x=0是是f(x)的的震荡间断点震荡间断点所以所以 x=0是为是为 f(x)的第二类间断点的第二类间断点都不存在都不存在.解解考察考察x=0处处.时时,f(x)的值在的值在-1到到1之间反复震荡之间反复震荡,这时这时亦亦31第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例11 讨论函数讨论函数f(x)是初等函数，它在其定义区间内连续，是初等函数，它在其定义区间内连续，显然显然,f(x)在点在点x=-1,x=0 处没有定义处没有定义,故故 f(x)在区间在
20、区间(-,-1),(-1,0),(0,+)内连续内连续,在在点点 x=-1，x=0 处间断处间断解解因此我们只要找出因此我们只要找出 f(x)没有定义的那些点没有定义的那些点如果有间断点，指出间断点类型如果有间断点，指出间断点类型的连续性，的连续性，32第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性在点在点x=-1处：处：x=-1是为是为f(x)的第一类可去间断点的第一类可去间断点在点在点 x=0 处：处：x=0 是为是为f(x)的第二类间断点的第二类间断点33第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例12 讨
21、论函数讨论函数 因为因为x=1是连续区间是连续区间0,2内的一点内的一点，且，且1-x在点在点x=0处，因为处，因为 所以所以是初等函数，是初等函数，解解间断点，且是第一类间断点间断点，且是第一类间断点在在x=0与与x=处的连续性处的连续性不存在，不存在，因此因此 x=1是是f(x)的连续点；的连续点；因此因此 x=0 是是f(x)的的34第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 讨论函数讨论函数f(x)的连续性时，的连续性时，(1)若若f(x)是初等函数，是初等函数，则由则由“初等函数在其定义区间内连续初等函数在其定义区间内连续”的基本结论，的基本
22、结论，只要找出只要找出f(x)没有定义的点没有定义的点以及定义域内的孤立点以及定义域内的孤立点，这些点就是这些点就是f(x)的间断点的间断点 连续性及间断点内容小结连续性及间断点内容小结:(2)若若f(x)是分段函数，则在分界点处往往要从左、是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限入手讨论极限、函数值等，根据函数的点连续右极限入手讨论极限、函数值等，根据函数的点连续性定义去判断；在非分界点处，根据该点所在子区间性定义去判断；在非分界点处，根据该点所在子区间上函数的表达式，按初等函数进行讨论上函数的表达式，按初等函数进行讨论35第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的
23、连续性函数的连续性第一类：第一类：可去：可去：跳跃：跳跃：第二类第二类：常见的有无穷间断、常见的有无穷间断、震荡间断，震荡间断，间断点分类间断点分类:存在；存在；36第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性看图判断间断点的类型：看图判断间断点的类型：37第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 定理定理1.3.5(有界性与最大值与最小值定理有界性与最大值与最小值定理)若函若函数数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，则函数上连续，则函数f(x)在闭区在闭
24、区间间a,b上有界且一定能取得它的最大值和最小值上有界且一定能取得它的最大值和最小值 即在即在a,b上至少存在点上至少存在点 1 和和 2，使得对于，使得对于a,b上的一切上的一切 x 值，有值，有f(1)f(x)f(2)，这样的函数值，这样的函数值 f(2)和和 f(1)分别叫分别叫做函数做函数 f(x)在区间在区间a,b上的最大值和最小值上的最大值和最小值.（一）有界性与最大值最小值定理（一）有界性与最大值最小值定理38第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性如图如图:39第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函
25、数的连续性y=tanx在区间在区间(-/2,/2);注意条件注意条件:(1)闭区间闭区间；(2)连续函数连续函数.如果两个条件不全满足如果两个条件不全满足,结论未必成立结论未必成立.考察以下两例考察以下两例:40第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定理定理1.3.6(介值定理介值定理)若函数若函数 f(x)在在闭区间闭区间a,b连续连续,且且 f(a)f(b),则对介则对介于于f(a)与与f(b)之间的任意实数之间的任意实数c，在，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点，使，使 f()=c（a b）成立）成立（二）介值定理与根的存在定理（二）
26、介值定理与根的存在定理41第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性f(x)从从f(a)连续地变到连续地变到f(b)时，它不可能不经过时，它不可能不经过c值值如图如图:42第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性 定理定理1.3.7(根的存在定理根的存在定理)如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b上连续，且上连续，且 f(a)f(b)0，则方程，则方程f(x)=0 在在(a,b)内至少存在一个实内至少存在一个实根根 ，即在区间，即在区间(a,b)内至少有一点内至少有一点 ，使，使 f()=0 说明说
27、明：连续曲线：连续曲线y=f(x)的端点在的端点在x轴的两轴的两侧时，曲线与侧时，曲线与x轴至少相交一次。轴至少相交一次。43第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性如图如图:44第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性例例13 证明方程证明方程 x4-4x+2=0 在区间在区间(1,2)内内至少有一个实根至少有一个实根设设 则则 由根的存在定理可知，至少存在一点由根的存在定理可知，至少存在一点 (1,2)，使得，使得f()=0 这表明所给方程这表明所给方程在在(1,2)内至少有一个实根内至少有一个实根 f
28、(x)在闭区间在闭区间1,2上连续上连续;f(1)=-1 0.解解45第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性.函数在某点处的连续性是用极限来定义的函数在某点处的连续性是用极限来定义的.函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别函数在某点处连续与函数在某点处的极限是有区别的的,极限存在是连续的必要条件极限存在是连续的必要条件.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(有界、最值、介值有界、最值、介值).连续性是函数的重要属性之一所谓连续连续性是函数的重要属性之一所谓连续,从几从几何直观上来看何直观上来看,函数的图形是一条连续不断的曲线函数的图形是一条连续不断的曲线从数学定义上看从数学定义上看,函数的连续与函数的极限是紧密相函数的连续与函数的极限是紧密相关的关的四、本节内容小结四、本节内容小结46第一章第一章 函数的极限与连续函数的极限与连续第三节第三节 函数的连续性函数的连续性课后作业47