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1、中学数学课堂建模中学数学课堂建模南部县铁鞭乡小学 魏云昱2010年3月20日v全日制义务教育数学课程标准全日制义务教育数学课程标准中指出中指出“数学模型可以有效地描述数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础一切重大技术发展的基础”从以从以上叙述中我们可以了解到数学模型上叙述中我们可以了解到数学模型的重要性，数学建模是初中教学中的重要性，数学建模是初中教学中的重要任务之一，它是培养学生应的重要任务之一，它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和用数学的意识和能力的有效途径
2、和强有力的教学手段。强有力的教学手段。数学建模的概念数学建模的概念 就是把现实世界中的实际问题就是把现实世界中的实际问题加以提炼抽象为数学模型，求出模加以提炼抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现该数学模型所提供的解答来解释现实问题，这个过程我们称之为数学实问题，这个过程我们称之为数学建模。建模。数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤：l模型准备模型准备了解问题的实际背景，明确建模的目的、分析、了解问题的实际背景，明确建模的目的、分析、研究问题的各种信息等，弄清问题的特征。研究问题的各种信息等，弄清问题的特征。l模型假设模
3、型假设根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要资料的大概类型以及描述这类系统所用的数学工具上，提出假说，资料的大概类型以及描述这类系统所用的数学工具上，提出假说，对问题进行必要的简化，并且用精确地数学语言来描述。对问题进行必要的简化，并且用精确地数学语言来描述。l模型建立模型建立根据假设，利用适当的数学工具刻画各变量之间根据假设，利用适当的数学工具刻画各变量之间的关系，建立相应的数学结构（公式、表格、图形）的关系，建立相应的数学结构（公式、表格、图形）l模型求解模型求解根据采用的数学工具，对模型求解。包括解方程、根据采用的数学工具，对模型求解。包括解
4、方程、图解、逻辑推理、定理证明、讨论等。图解、逻辑推理、定理证明、讨论等。l模型分析模型分析对模型求解的结果进行数学上的分析（根据问题对模型求解的结果进行数学上的分析（根据问题的性质分析各变量间的依赖或稳定状态；根据所得结果给出数学的性质分析各变量间的依赖或稳定状态；根据所得结果给出数学上的预测；根据给出的结果判断最优决策或控制）。上的预测；根据给出的结果判断最优决策或控制）。l模型检验模型检验用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，即验证模型的正确性。即验证模型的正确性。建模活动分析建模活动分析l数学建模数学建模是联系数学与实际问题的桥梁。建立
5、数学模型是把错综复杂的实际问题简化，抽象为合理的数学结构的过程。l数学建模数学建模要通过调查收集数据资料，观察和研究对象固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数学关系，然后利用数学理论和方法去分析和解决问题。1.由于我们教育教学对象是初中生，总体上看数学由于我们教育教学对象是初中生，总体上看数学知识还很肤浅，数学能力还较低，教师应充分发知识还很肤浅，数学能力还较低，教师应充分发挥主导作用，引领学生开展数学建模活动，明确挥主导作用，引领学生开展数学建模活动，明确学生是建模活动的主体，教师起组织引领作用。学生是建模活动的主体，教师起组织引领作用。2.教材中体现了数学建模思想，
6、我们必须深入挖掘教材中体现了数学建模思想，我们必须深入挖掘教材，充分利用好教材，要灵活处理教材，特别教材，充分利用好教材，要灵活处理教材，特别要注意引入问题的选择，尊重教材但不照搬教材。要注意引入问题的选择，尊重教材但不照搬教材。教材中知识内容是开展建模的载体，提升学生的教材中知识内容是开展建模的载体，提升学生的数学能力和数学素养是教学活动目标。数学能力和数学素养是教学活动目标。3.课堂教学中的数学建模，不能等同于科学研究意课堂教学中的数学建模，不能等同于科学研究意义上的数学建模，它主要受限于教学主体义上的数学建模，它主要受限于教学主体初初中生，他们的数学知识还很少，能力较差，思维中生，他们的
7、数学知识还很少，能力较差，思维水平尚缺少严谨性。初中课堂教学中的数学建模水平尚缺少严谨性。初中课堂教学中的数学建模过程，实质上是模仿科学研究意义上数学建模过过程，实质上是模仿科学研究意义上数学建模过程，为今后应用数学奠定思想和方法基础。程，为今后应用数学奠定思想和方法基础。建立模型环节：建立模型环节：l本阶段是将实际问题转化为数学问题。在构建数本阶段是将实际问题转化为数学问题。在构建数学模型时，运用数学建模课程指导思想：以实验学模型时，运用数学建模课程指导思想：以实验为基础，以学生为中心，以问题为主线，以培养为基础，以学生为中心，以问题为主线，以培养能力为目标组织教学。能力为目标组织教学。l这
8、个阶段要调动学生已有的数学经验，寻求面对这个阶段要调动学生已有的数学经验，寻求面对实际问题的数学解决策略。（实际问题的数学解决策略。（1）从课本出发，注）从课本出发，注重一题多变。（重一题多变。（2）从实际中的数学问题出发，增）从实际中的数学问题出发，增强建模意识。（强建模意识。（3）从人们关注的问题出发讲解建）从人们关注的问题出发讲解建模方法。（模方法。（4）通过游戏中的数学，从中培养学生）通过游戏中的数学，从中培养学生的数学建模应用能力。实施策略的教学程序为：的数学建模应用能力。实施策略的教学程序为：（1）创设问题情境，激发求知欲。（）创设问题情境，激发求知欲。（2）逐步概）逐步概括，建立
9、数学模型。（括，建立数学模型。（3）分析模型，猜想数学知）分析模型，猜想数学知识。（识。（4）解决实际应用问题，感受数学知识。）解决实际应用问题，感受数学知识。（5）归纳总结，升华数学知识。）归纳总结，升华数学知识。初中常见数学建模举例初中常见数学建模举例（1）建立方程模型。数学中不少问题，用常规方法不可建立方程模型。数学中不少问题，用常规方法不可解，但是适当构造方程或方程组，并利用方程知识却解，但是适当构造方程或方程组，并利用方程知识却能顺利地求解能顺利地求解例1某商场销售一种服装,平均每天可售出20件,每件赢利40元.经市场调查发现:如果每件服装降价1元,平均每天能多售出2件.在国庆节期间
10、,商场决定采取降价促销的措施,以达到减少库存、扩大销售量的目的.如果销售这种服装每天赢利1200元,那么每件服装应降价多少元?解析:本题的主要数量关系是:每件服装的赢利每天销售的服装件数=1200元设每件服装降价x元,则每件服装的赢利为(40-x)元,每天销售的服装为(20+2x)件,问题转化为求方程的解:(40-x)(20+2x)=1200.解得x1=10(舍去),x2=20.故每件服装应降价20元例2某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个,为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?
11、这时应进台灯多少个?简析本题的主要等量关系是:每个台灯的销售利润平均每月销售台灯的数量=10000元.设每个台灯涨价x元,那么每个台灯定价是(40+x)元,每个台灯的销售利润为(40+x-30)元,平均每月销售台灯的数量为(600-10 x)个,问题转化为求方程的解:(40+x-30)(600-10 x)=10000.解得:x1=10或x1=40.（2 2）构造不等式）构造不等式(或不等式组或不等式组)模型模型例3某地的气象资料表明,山脚下的平均气温为22,从山脚下起,每升高1000m,气温就下降6.如果要在山上种植一种适宜生长在平均气温为1820的植物,那么把这种植物种植在高于山脚的什么地方
12、较合适?解析:从山脚下起,每升高1000m,气温就下降6.那么每升高1m,气温就下降6/1000.设这种植物适宜种植在高于山脚xm的地方.根据题意,得226/1000 x18与226/1000 x20解得1000/3x2000/3例例4南充火车货运站现有甲种货物南充火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物吨，乙种货物1150吨，安吨，安排用一列货车将这批货物运往某市。这列货车可挂排用一列货车将这批货物运往某市。这列货车可挂A、B两种不两种不同规格的货厢共同规格的货厢共50节。已知用一节节。已知用一节A型货厢的运费是型货厢的运费是0.5万元，万元，用一节用一节B型货厢的运费是型货厢的运费是0.
13、8万元。万元。（1）如果甲种货物）如果甲种货物35吨和乙种货物吨和乙种货物15吨可装满一节吨可装满一节A型货厢，甲型货厢，甲种货物种货物25吨和乙种货物吨和乙种货物35吨可装满一节吨可装满一节B型货厢。按此要求安型货厢。按此要求安排排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计（2）在这些方案中，哪种方案总运费最少？是多少万元？）在这些方案中，哪种方案总运费最少？是多少万元？解（解（1）设用）设用A型货的节数为型货的节数为x(节节)，则，则B型货厢的节数为（型货厢的节数为（50 x）节，由题意得，）节，由题意得，35x+25(50 x)1530且且
14、15x+35(50 x)1150解得解得28x30所以方案有：所以方案有：1.A28节节B22节节2.A29节节B21节节3.A30节节B20节节（2）设运输这批货物的总运费为）设运输这批货物的总运费为y(万元万元)，用，用A型货的节数为型货的节数为x(节节)，则由题意得，则由题意得，y=0.5x0.8(50 x)=400.3x（0 x50）化简，得化简，得y=400.3x，由一次函数的性质，当由一次函数的性质，当k0.3时，时，y随随x的增大而减小，因此方的增大而减小，因此方案三最省钱。案三最省钱。（3）建立函数模型。有些数学问题可以从中找到作为）建立函数模型。有些数学问题可以从中找到作为自
15、变量的因数或函数，这一数学问题是可以表示一变量自变量的因数或函数，这一数学问题是可以表示一变量的函数，这时可构造函数模型，通过对函数性质与关系的函数，这时可构造函数模型，通过对函数性质与关系的研究，使问题得到解决。的研究，使问题得到解决。例5在学习不等式的应用时,我发现学生对手机收费比较感兴趣,于是设计如下问题：小周购买了一部手机想入网，朋友小王介绍他加入中国联通130网，收费标准是：月租费15元，每月来电显示费6元，本地电话费每分钟0.2元，朋友小李向他推荐中国电信的“神州行”储值卡，收费标准是：本地电话每分钟0.4元，月租费和来电显示费全免了，小周的亲戚朋友都在本地，他也想拥有来电显示服务
16、，请问该选择哪一家更为省钱?简析：设小周每月通话时间x分钟，每月话费为y元。则y1=15+6+0.2x=21+0.2x，y2=0.4x，所以：0.2x+21=0.4x，x=105分当x=105分钟时，y1y2；可选择任何一家当x105分钟时，y1y2应该选择中国联通130网；当xy2应选择中国电信的“神州行”储值例6某产品的成本是120元/件,在试销阶段,当产品的售价为x元/件时,日销量为(200-x)件.(1)写出用售价x(元/件)表示每日的销售利润y(元)的表达式.(2)当售价定为多少时,日销售利润最大?最大日销售利润是多少?解析:(1)售价为x元/件时,每件的利润为(x-120)元.日销
17、量为(200-x)件,所以每日的销售利润y=(x-120)(200-x)=x2+320 x-24000.（2)当x=320/2(-1)=160时,即售价定为160元/件时,日销售利润最大.最大日销售利润是4(-1)(-24000)-320320/4(-1)=1600(元).（4）用几何图形建模。用几何图形建模主要是应用）用几何图形建模。用几何图形建模主要是应用数与形的对应关系，抓住数形结合思想方法这个关键，数与形的对应关系，抓住数形结合思想方法这个关键，构造图形，用几何知识解决有关代数问题。四、建立构造图形，用几何知识解决有关代数问题。四、建立几何模型或三角模型几何模型或三角模型例7已知三条公
18、路两两相交,交点分别为A、B、C,现计划修一个油库,要求到三条公路之间的距离相等,可供选择的地址有()(A)一处(B)二处(C)三处(D)四处简析三条公路可看作是三条直线,油库可看作是一个点,于是本题可抽象为下列几何模型:已知&ABC,在平面内求作到此三角形三边距离都相等的点P的个数.由三角性质可知,这样的点共有四个:即&ABC的内心(1个),&ABC的旁心(3个),故选D.例8：如图，ABC中，AB=AC,AD=BD=BC,求A的度数。解：设A=XBD=ADABD=XBDC=2X又BD=BC,C=2X在BCD中，C+BDC+DBC=1805X=180X=36A=36ABCD(5)构造锐角三角
19、函数模型构造锐角三角函数模型如图海中有一小岛如图海中有一小岛A,该岛四周该岛四周10海里内有暗礁海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行今有货轮由西向东航行,开始在开始在A岛南偏西岛南偏西55的的B处处,往东行驶往东行驶20海里后到达该岛的南偏西海里后到达该岛的南偏西25的的C处处.之后之后,货轮继续向东航行货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗的危险吗?简析根据图示简析根据图示,货轮继续向东航行途中是否会有触礁的危险货轮继续向东航行途中是否会有触礁的危险,就是比较就是比较AD与与10海里的大小海里的大小.问题转化成为解直角三角形问题转化成为解
20、直角三角形,求求AD的长的长.由题意可知由题意可知:BAD=55,CAD=25在在Rt&ACD中中,CD=ADtan25,在在Rt&ABD中中,BD=AD.tan55ADtan55-ADtan25=20.解得解得:AD20.810.所以货轮继续向东航行途中不会有触礁的危险所以货轮继续向东航行途中不会有触礁的危险.注注:对这类问题中常涉及到测量专用名词对这类问题中常涉及到测量专用名词(如方位角、象限如方位角、象限角等角等)及测量仪器的使用及测量仪器的使用,教学中应予以重视教学中应予以重视.如航海、建如航海、建筑、测量、燕尾槽、拦水坝、人字架、工程定位、人造卫星筑、测量、燕尾槽、拦水坝、人字架、工
21、程定位、人造卫星运行轨道、皮带转动等涉及一定图形属性的应用问题运行轨道、皮带转动等涉及一定图形属性的应用问题,常建常建立相应的几何模型或三角模型立相应的几何模型或三角模型,运用几何知识和三角知识加运用几何知识和三角知识加以解决以解决.ABC（6）建立）建立“统计统计”和和“概率概率”模型。概率模型。概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛在社会生活及科学领域中用途非常广泛,诸诸如抽奖游戏、彩票中奖问题、股票走势、预如抽奖游戏、彩票中奖问题、股票走势、预测球队胜负等问题测球队胜负等问题,常可建立概率模型求解常可建立概率模型求解.例10将编号依次为1,2,3,4的四个同样的小球放进一个不透明的袋子中
22、,摇匀后甲、乙二人做如下游戏:每人从袋子中各摸出一个球,然后将这两个球上的数字相乘,若积为奇数,则甲获胜;若积为偶数,则乙获胜.请问:这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗?请用概率的知识说明例例11(2006年东营市中考题年东营市中考题)某单位欲从内部招聘管理人员一名某单位欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成三人的测试成绩如下表所示绩如下表所示:根据录用程序根据录用程序,组织组织200名职工对三人利用投票推荐的名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议方式进行民主评议,三人得票率三人得票率(没有弃权票没
23、有弃权票,每位职只能推荐每位职只能推荐1人人),每每得一票记作得一票记作1分分.甲甲25，乙，乙40，丙，丙35。（1）请算出三人的民主评价得分）请算出三人的民主评价得分;(2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选？如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选？（3)根据实际需要根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4 3 3的比例的比例确定个人成绩确定个人成绩,那么谁将被录用那么谁将被录用解（解（1）甲的民主评议得分为）甲的民主评议得分为20025%=50(分分)乙的民主评议得分为乙的民主评议得分为20040%=80(分分),:丙的民主评议
24、得分为丙的民主评议得分为20035%=70(分分).(2)甲的平均成绩为甲的平均成绩为:（75+93+50）/3=72.67乙的平均成绩为乙的平均成绩为:（80+70+80）/3=76.67丙的平均成绩为丙的平均成绩为:(90+68+70)/3=76.00由于由于76.677672.67,所以候选人乙将被录用所以候选人乙将被录用.(3)如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4 3 3的比例确的比例确定个人成绩定个人成绩,那么那么甲的个人成绩为甲的个人成绩为:（475+393+350）/（4+3+3）=72.9乙的个人成绩为乙的个人成绩为:（480+37
25、0+380）/（4+3+3）=77丙的个人成绩为丙的个人成绩为:（490+368+370）/（4+3+3）=77.4由于丙的个人成绩最高由于丙的个人成绩最高,所以候选人丙将被录用所以候选人丙将被录用.测试项目甲乙丙笔试758090面试937068认识数学建模的重要意义认识数学建模的重要意义现代教育家认为，数学教学的任务是提高公民现代教育家认为，数学教学的任务是提高公民的数学素养，形成和发展那些具有数学思维特的数学素养，形成和发展那些具有数学思维特点的智力活动结构，并且促进数学发现与应用；点的智力活动结构，并且促进数学发现与应用；同时又把数学教学看做是数学活动的教学，而同时又把数学教学看做是数学活动的教学，而数学建模就是这样一种既能创设情境来完成教数学建模就是这样一种既能创设情境来完成教学任务又能促进数学发现与应用的特别活跃的学任务又能促进数学发现与应用的特别活跃的数学活动。因此数学建模是现代数学教育研究数学活动。因此数学建模是现代数学教育研究中不可缺少的课题，数学建模教育具有特殊的中不可缺少的课题，数学建模教育具有特殊的教育性质与功能。教育性质与功能。数学建模不仅是学生走向能力卓越光辉之路，数学建模不仅是学生走向能力卓越光辉之路，而且是启迪学生数学心灵的必然之路！而且是启迪学生数学心灵的必然之路！