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1、函数的奇偶性函数的奇偶性学习目标：理解奇偶性的概念学习目标：理解奇偶性的概念 会用定义判断简单函数的奇偶性会用定义判断简单函数的奇偶性学习重点：函数奇偶性概念的形成学习重点：函数奇偶性概念的形成 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断学习难点：函数奇偶性的概念的理解学习难点：函数奇偶性的概念的理解 观察函数观察函数g(x)=x2的图象，的图象，看看它具有怎样的对称性看看它具有怎样的对称性？xoy关于关于y轴成轴对称轴成轴对称oxy关于原点成中心对称关于原点成中心对称观察函数观察函数f(x)=的图象，的图象，看看它具有怎样的对称性？看看它具有怎样的对称性？关于原点成中心对称关于原点成中心对称观察函数观
2、察函数f(x)=的图象，的图象，看看它具有怎样的对称性？看看它具有怎样的对称性？xyo观察函数观察函数g(x)=x2的的图象，看看它具有图象，看看它具有怎样的对称性？怎样的对称性？xoy关于关于y轴成轴对称轴成轴对称由由g(x)=x2求求g(-1)、g(1)、g(-2)、g(2)、g(-3)、g(3)的值，并思考的值，并思考g(-x)与与g(x)有怎样的关系？有怎样的关系？g(-1)=(-1)2=1g(1)=12=1g(-2)=(-2)2=4、g(-3)=(-3)2=9、g(3)=32=9、g(-x)=(-x)2=x2=g(x)函数函数 g(x)=x2 为偶函数为偶函数g(2)=22=4、定义
3、：定义：如果对于函数如果对于函数f(x)定义域定义域A A中的任意一个中的任意一个x x，都有都有f(-x)=-f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数 注意：(1)当当XA时时,-X A(定义域关于原点对称）定义域关于原点对称）如果对于函数如果对于函数f(x)定义域定义域A中的任意一个中的任意一个x，都有都有f(-x)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数。(2)f(-x)=-f(x)注意：(1)当当 XA时时,-X A(定义域关于原点对称）定义域关于原点对称）(2)f(-x)=f(x)函数是奇函数函数是奇函数结论结论：函数是偶函数函数是偶函数函数
4、图象关于坐标原点对称函数图象关于坐标原点对称 函数图象关于函数图象关于y轴对称轴对称例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x，（5）f(x)=0解：（解：（1）函数）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为，的定义域为，又因为又因为f(x)=（x）+（x）3+（x）5 当当XR时时,-X R xx3x5（x+x3+x5）f(x)所以函数所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。是奇函数。所以，函数所以，函数f(x)=x2+1是偶函数是偶函数又因为又因为f(x)=（x）2+1 解：（）函数解：（）函数f(x
5、)=x2+1的定义域为，的定义域为，当当XR时时,-X R=x2+1 f(x)例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x，（5）f(x)=0例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x，（5）f(x)=0解：（解：（3）函数）函数f(x)=x+1的定义域为，的定义域为，当当XR时时,-X R 又因为又因为f(x)=（x）+1 （x1）而而f(x)=x 1 所以所以f(x)f(x)且且f(x)f(x)因此因此 函数函数f
6、(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数。既不是奇函数也不是偶函数。解解4）因为因为，而，而，所以函数所以函数f(x)=x2，x，既不是奇函数也不是偶函数。既不是奇函数也不是偶函数。例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x，（5）f(x)=0 5）函数）函数f(x)=0的定义域为，的定义域为，当当XR时时,-X R 又因为又因为f(x)=0，f(x)=0 所以所以f(x)=f(x)且且f(x)=f(x)因此因此 函数函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数。既是奇函数也是偶函数。想一想：判断函数奇偶性的大体步
7、骤分哪几步？想一想：判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步？可分三步：可分三步：1、写出函数的定义域；、写出函数的定义域；2、判断定义域是否关于原点对称；、判断定义域是否关于原点对称；3、根据、根据f(-x)与与f(x)的关系判断的关系判断 奇偶性。奇偶性。题型题型1.证明函数的奇偶性证明函数的奇偶性已知已知f(x)是奇函数，是奇函数，g(x)是偶函数，如图（是偶函数，如图（1）、）、（2）分别是他们的局部图象，试求分别是他们的局部图象，试求f(-2)，g(1)，并把这两，并把这两个函数的图象补充完整。个函数的图象补充完整。x43210-1-2-3-4213-3y-2-1f(x)(1)3210-1-
8、323-3-2-14y1-2x(2)g(x)f(-2)=-f(2)=-2g(1)=g(-1)=1题型题型2.有关奇偶性的图像问题有关奇偶性的图像问题x43210-1-2-3-4213-3y-2-1f(x)（1）x3210-1-323-3-2-14y1-2g(x)(2)题型题型3.奇偶函数的单调性奇偶函数的单调性题型题型4.组合函数的奇偶性问题组合函数的奇偶性问题课堂小结：课堂小结：1、一般地，如果对于函数、一般地，如果对于函数f(x)定义域中的定义域中的任意一个任意一个x，都有，都有f(-x)=-f(x)，那么函数，那么函数f(x)就就叫做奇函数；叫做奇函数；如果对于函数定义域中的任意一个如果
9、对于函数定义域中的任意一个x，都有，都有f(-x)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数。就叫做偶函数。2、奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；对称图形；偶函数的图象是以偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形。轴为对称轴的轴对称图形。课堂小结：课堂小结：3、对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：、对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数。是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数。4、根据
10、定义判断函数奇偶性的方法和步骤：、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤：第一步，先写出函数的定义域；第一步，先写出函数的定义域；第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，第二步，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若是若不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若是对称，进行第三步；对称，进行第三步；第三步，判断第三步，判断 f(-x)与与f(x)的关系，若的关系，若f(-x)=f(x)，则是奇函数，若，则是奇函数，若f(-x)=f(x)，则是偶函数，若，则是偶函数，若f(-x)=f(x)，且，且f(-x)=f(x)，则既是奇函数又是偶函数，若，则既是奇函数又是偶函数，若f(x)f(x)，且，且f(x)f(x)，则既不是奇函数也不，则既不是奇函数也不是偶函数。是偶函数。