因式分解典型例题.pdf

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1、1/14 典型例题一 例 选择题:对nnpmpm22运用分组分解法分解因式,分组正确的是(）（A）mpnpnm)22(B)2()2(mpnnpm（）)()22(nmmpnm（D）npmpnm)22(分析 本组题目用来判断分组是否适当。（A)的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；(B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故(B）不正确；(D)中两组也无公因式可提,故（D）不正确（C)中第一组可提取公因式 2，剩下因式)(nm;第二组可提取p，剩下因式)(nm，这样组间可提公因式)(nm，故(）正确。典型例题二 例 02 用分组分解法分解因式：（1)xxyyx21372；(2)2244

2、1yxyx。分析 本题所给多项式为四项多项式,属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的。解 xxyyx21372)3()217(2xyyxx（合理分组）)3()3(7xyxx(组内提公因式）)7)(3(yxx(组间提公因式)22441yxyx)44(122yxyx（注意符号)2)2(1yx（组内运用公式)2(1)2(1yxyx（组间运用公式）)21)(21(yxyx 说明 分组分解法应用较为灵活,分组时要有预见性，可根据分组后“求同”有公因式或可运用公式的原则来合理分组,达到分解的目的.另外在应用分组分解法时还应注意:运用分组分解法时，可灵活选择分组方法,

3、通常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归 分组时要添加带“-的括号时,各项要注意改变符号,如的第一步 2/14 典型例题三 例3 分解因式：315523xxx 分析 本题按字母x的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为5，15，1,3。系数比相等的有31155或31515，因而可分组为)5(3xx、)315(2x或)155(23xx、)3(x 解法一 315523xxx)3()155(23xxx(学会分组的技巧）)3()3(52xxx)15)(3(2xx 解法二 315523xxx)315()5(23xxx)15(3)15(22xxx)3)(15(2xx 说明 根据“对应系数

4、成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！典型例题四 例 04 分解因式:xxyyx21372 分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解。见前例,可用“系数成比例的规律来达到合理分组的目的.解法一 xxyyx21372)3()217(2xyyxx)3()3(7xyxx)7)(3(yxx 解法二 xxyyx21372)213()7(2xyxyx)7(3)7(yxyxx)7)(3(yxx 3/14 说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解。要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解本小题利用“对应系数成比例的规律进行巧妙

5、分组,可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性,提高了分解的速度 典型例题五 例 05 把下列各式分解因式：（1）222zyzyxzxy;（2）122222abccba；（3）1424422yxyxyx。分析 此组题项数较多,考虑用分组法来分解.解法 （1)222zyzyxzxy)2()(22zyzyxzxy 2)()(zyzyx)(zyxzy（2)122222abccba)2()12(222cbcbaa 22)()1(cba)1)(1(cbacba(）1424422yxyxyx 1)42()44(22yxyxyx 1)2(2)2(2yxyx 2)12(yx 说明 对于项数较多的多项式合理分组时，

6、以“交叉项为突破口,寻找“相应的平方项进行分组,这使分组有了一定的针对性，省时提速.如中,“交叉项”为yz2，相应的平方项为2y、2z；中，“交叉项”为bc2，相应的平方项为2b、2c.典型例题六 例 06 分解因式:4/14(1）652 aa；(2)1032 mm 分析 本题两例属于pqxqpx)(2型的二次三项式,可用规律公式来加以分解 解 (1）)3()2(6，5)3()2(，)3()2()32(6522aaaa（2)5210，352,1032mm)2()5()2(52mm)2)(5(nm.说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律.典型例题七 例 07 分解因式：(1)4)(5)(2bab

7、a;（）22127qpqp。分析 对()，利用整体思想,将)(ba 看作一个字母,则运用pqxqpx)(2型分解;对(2），将其看作关于p的二次三项式,则一次项系数为p7，常数项为212q,仍可用pqxqpx)(2型的二次三项式的规律公式达到分解的目的 解 (1）4)(5)(2baba)4)(1(baba（2）)4()3(122qqq，qqq7)4(3，22127qpqp22127qpqp)4)(3(qpqp.典型例题八 例8 分解因式：134xxx;qpqpqp36522;)1)(1()1)(1(bbbaaa;)3)(2(aa5/14 ccbcbaba222424.分析 本组题有较强的综合性

8、,且每小题均超过三项,因而可考虑通过分组来分解。解 法一:134xxx)1()(34xxx)1()1(3xxx)1)(1(3xx(13x可继续分解，方法很简单:)1()(3xxx，对于13x方法类似，可以自己探索）)1)(1)(1(2xxxx 法二:134xxx)()1(34xxx)1()1)(1(222xxxx)1)(1(22xxx)1)(1)(1(2xxxx 法三：134xxx)1()(34xxx)1()1(33xxx)1)(1(3xx)1)(1)(1(2xxxx qpqpqp36522)3()65(22qpqpqp(看作abxbax)(2型式子分解）)3()3)(2(qpqpqp)12)

9、(3(qpqp)1)(1()1)(1(bbbaaa)1()1(22bbaa 6/14 bbaa33)()(33baba)()(22babababa)1)(22bababa ccbcbaba222424)2()44(222cbacbcba)2()2(22cbacba)2()2()2(cbacbacba)2()2)(2(cbacbacba)12)(2(cbacba 说明 中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看,方法二较好,分组既要合理又要巧妙,使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程,降低思维难度.式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利

10、用了abxbax)(2型二次三项式的因式分解.将2265qpqp看做关于p的二次三项式qqq3262,2265qqppqqpqqp32)32(2。式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点,对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构,然后寻找合适的方法。式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破。但应注意：不可混淆因式分解与整式乘法的意义。如小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型,如小题中2265qpqp.典型例题九 例 09 分解因式:(1)6)2)(1(xxx;

11、(2）)()1(222baxxab 分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行,达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.解 6)2)(1(xxx 6)23(2xxx 62323xxx(乘法运算，去括号)7/14)62()3(23xxx（重新分组）)3(2)3(2xxx)2)(3(2xx)()1(222baxxab xbxaababx222（乘法运算去括号）)()(222xbabxaabx（重新分组）)()(abxbabxax)(bxabax 说明 “先破后立，不破不立。思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方

12、式。典型例题十 例 1 分解因式673 aa 分析 因式分解一般思路是:“一提、二代、三分组、其次考虑规律式(十字相乘法）”即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解;对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试。解 7176733aaaa)77()1(3aa)1(7)1)(1(2aaaa)71)(1(2aaa)6)(1(2aaa)3)(2)(1(aaa 说明 当1a时,多项式673 aa值为 0，因而)1(a是673 aa的一个因式，因此，可从“凑因

13、子”)1(a的角度考虑，把 6 拆成71,使分组可行，分解成功.运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法 法二：673 aa 663aaa 8/14)1(6)1()66()(23aaaaaa)1(6)1)(1(aaaa)6)(1(2aaa)3)(2)(1(aaa 法三：673 aa 14873aa)147()8(3aa(凑立方项）)2(7)42)(2(2aaaa)742)(2(2aaa)32)(2(2aaa)3)(1)(2(aaa 法四:673 aa 212773aa（与3a凑立方项）)217()27(3aa)3(7)93)(3(2aaaa（套用33ba 公式）)793)(3(2aaa)23)

14、(3(2aaa)2)(1)(3(aaa 法五：673 aa 6343aaa（拆a7项）)63()4(3aaa)2(3)4(2aaa 9/14)2(3)2)(2(aaaa)32)(2(2aaa)3)(1)(2(aaa 法六：673 aa 6293aaa（凑平方差公式变a7项)62()9(3aaa)3(2)9(2aaa)3(2)3)(3(aaaa)23)(3(2aaa)2)(1)(3(aaa 法七：令1 xa则(1a为多项式一个因式,做变换1 ax）673 aa6)1(7)1(3xx 67713323xxxx（做乘法展开）xxx4323)4)(1()43(2xxxxxx)31)(21)(11(xx

15、x)3)(2)(1(aaa(还原回a）说明 以上七种方法中,前六种运用了因式分解的一种常用技巧“拆项”（或添项）,这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的。“凑时，需思、需悟、触发灵感第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点。本题还可以如下变形:673 aa)6)(1()1()67()(2223aaaaaaaa=典型例题十一 例 11 若2542kxx是完全平方式,求k的值。分析 原式为完全平方式，由22)2(4xx，2525 即知为2)52(x，展开即得k值 10/14 解 2542kxx是完全平方式 应为2)52(x 又25204)52(22xxx，故

16、20k。说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差,确定k值时不要漏掉各种情况。此题为因式分解的逆向思维类，运用222)(2bababa来求解。典型例题十二 例 1 把下列各式分解因式：(）1682 xx；（2）63244914bbaa （3）1)2(6)2(92baba 解:（1）由于 1可以看作24,于是有 222442168xxxx 2)4(x;（2）由幂的乘方公式，4a可以看作22)(a，649b可以看作23)7(b,于是有 2332226324)7(72)(4914bbaabbaa 232)7(ba；（)由积的乘方公式,2)2(9ba 可以看作2)2(3ba，于是有 1)2(6)2(

17、92baba 11)2(32)2(32baba 2 1)2(3ba 2)136(ba 说明(1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：可以看成是关于某个字母的二次三项式；其中有两项可以分别看作是两数的平方形式,且符号相同；其余的一项恰是这两数乘积的 2 倍,或这两数乘积 2倍的相反数.而结果是“和”的平方还是“差的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同 （2）在运用完全平方公式的过程中,再次体现换元思想的应用,可见换元思想是重要而且常用思想方法,要真正理解，学会运用.11/14 典型例题十三 例2求证：对于任意自然数n，1322323nnnn一定是0的倍数 分析 欲证是

18、10的倍数，看原式可否化成含 1的因式的积的形式.证明 1322323nnnn)22()33(132nnnn)22(2)13(332nn 102103nn)23(10nn)23(10nn是 10 的倍数，1322323nnnn一定是的倍数 典型例题十四 例 1 因式分解（1）ybxbyaxa2222；（2）nxnmxmx2 解:（1)()(22222222ybxbbaxaybxbyaxa )()(22yxbyxa )(22bayx 或)()(22222222ybyaxbxaybxbyaxa )()(2222baybax )(22yxba;（2）)()(22nxnmxmxnxnmxmx )1()

19、1(xnxmx )(1(nmxx 或)()(22nnxnxmxnxnmxmx )()(nmxnmxx 12/14 )1)(xnmx 说明：(1）把有公因式的各项归为一组,并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。因此，分组分解因式要有预见性;（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；(3)分组时要用到添括号法则,注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；（4)实际上，分组只是为实际分解创造了条件,并没有直接达到分解 典型例题十五 例4 把下列各式分解因式：(1）baba2423；（2）2222babax；（3)aaxaxax22 解：（)2()4(24

20、2222babababa )2()2)(2(bababa )12)(2(baba (2)2(2222222babaxbabax 22)(bax )()(baxbax )(baxbax (3）)1(2323xxxaaaxaxax )1()(23xxxa )1()1(2xxxa )1)(1(2xxa 或)1()(2323xxxaaaxaxax )1)(1(2xxa 或)()1(2323xxxaaaxaxax )1()1)(1(2xxxxxa )1)(1(2xxxxa 13/14 )1)(1(2xxa 说明:（1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部

21、中有公式形式就匆匆分组.如，)2()()2()(2222222babaxaxbabaxbabax,就会分解不下去了；(2)有公因式时，“首先考虑提取公因式是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况,预测结果；(3）对于一道题中的多种分组方法,要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。典型例题十六 例 1 把下列各式分解因式（)22 xx;（2)1522 xx 分析(1)22 xx的二次项系数是，常数项2=2)1(，一次项系数=2)1(,故这是一个pqxqpx)(2型式子。(2)1522 xx的二次项系数是 1，常数项15=3)5(，一次项系数3

22、)5(2 ，故这也是一个pqxqpx)(2型式子。解：（）因为2=2)1(,并且 1=2)1(，所以 22 xx=)1)(2(xx.（）因为15=3)5(,3)5(2,所以 1522 xx=)3)(5(xx。说明：因式分解时常数项因数分解的一般规律：()常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.（2）常数项是负数时，它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同.典型例题十七 例 16 将35222 mxxm分解因式 分析:此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式，用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点,而用pqxqpx)(2型式子分解因式其二次项系数不是 1,而是2m,故在上述都不能的情况下，想方法将mx看成y,则这个二次三项式就可以化成3522yy，即可符合pqxqpx)(2型式子,故可分解因式.解：设ymx，则 14/14 原式=3522yy)5)(7(yy)5)(7(mxmx 所以，35222 mxxm)5)(7(mxmx。说明：今后应细心审题观察题目的特征,若能利用整体换元的思想将多项式化为pqxqpx)(2型的式子即可因式分解