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1、九年级上学期期末考前训练-1如图，抛物线和与 x轴交于 A、B两点（A在 B的左侧），与 y轴交于点 N，过 A点的直线 l：ykxn与 y轴交于点 C，与抛物线2yxbx c的另一个交点为 D，已知(1,0)(5,6)AD，P 点为抛物线2yxbx c上一动点（不与 A、D重合）（1）求抛物线和直线 l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，作/PFy轴交直线l于点F，求PE PF的最大值；（3）设 M 为直线 l上的点，探究是否存在点 M，使得以点 N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 2已知二次
2、函数 y=ax2+bx3a经过点 A（1，0）、C（0，3），与 x轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D，（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3），B（5，9），已知抛物线的顶点 D的横坐标是 2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在 x轴上是否存在一点 C，与 A，B组成等腰三角形？若存在，求出点 C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线 AB的下方抛物线上找一点 P，
3、连接 PA，PB 使得PAB的面积最大，并求出这个最大值 4在平面直角坐标系中，将二次函数20yax a的图象向右平移 1个单位，再向下平移 2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，1OA，经过点A的一次函数0ykx b k的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD的面积为 5 (1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE面积的最大值，并求出此时点 E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PEPA的最小值 5已知：抛物线y1=x2+bx+3与轴分别交于点 A（-3，0
4、），B（m，0）将 y1向右平移 4个单位得到 y2（1）求 b 的值；（2）求抛物线 y2的表达式；（3）抛物线 y2与轴交于点 D，与轴交于点 E、F（点 E 在点 F的左侧），记抛物线在 D、F之间的部分为图象 G（包含 D、F两点），若直线与图象 G有一个公共点，请结合函数图象，求直线与抛物线 y2的对称轴交点的纵坐标 t的值或取值范围 6在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx22ax+4a+2（a是常数），（）若该抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0），求 a的值及该抛物线与 x轴另一交点坐标；（）不论 a 取何实数，该抛物线都经过定点 H 求点 H 的坐标；证明点 H是所有抛物线顶点
5、中纵坐标最大的点 7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22y axx c与直线ykxb都经过(0,3)A、(3,0)B两点，该抛物线的顶点为 C（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线EB上是否存在一点 M，过 M作 x轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点 P是直线AB下方抛物线上的一动点，当PAB面积最大时，求点 P的坐标，并求PAB面积的最大值 8抛物线 yax2+bx+3经过点 A（1，0），B（3，0），与 y轴交于点 C点 D（xD，yD）
6、为抛物线上一个动点，其中 1xD3连接 AC，BC，DB，DC（1）求该抛物线的解析式；（2）当BCD 的面积等于AOC的面积的 2倍时，求点 D的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 M 是 x轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由 9已知二次函数223yaxax的最大值为 4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D.（1）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标；（2）点(,0)P t是x轴上的动点，求PC PD的最大值及对应的点P的坐标；设(0,2)Qt是y轴上的动点，若线
7、段PQ与函数2|23ya xa x的图像只有一个公共点，求t的取值范围.10在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，C，已知 A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，P 为线段 BC上一动点，过点 P作 y轴的平行线，交抛物线于点 D，是否存在这样的 P点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，抛物线的顶点为 E，EFx轴于点 F，N是直线 EF上一动点，M（m，0）是 x 轴一个动点，请直接写出 CN+MN+12MB 的最小值以及此时点 M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由 答案解析：1解：（
8、1）将点 A、D的坐标代入直线表达式得：056knkn ，解得：11kn ，故直线 l的表达式为：1yx-，将点 A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：234yxx；（2）直线 l的表达式为：1yx，则直线 l与 x 轴的夹角为45，即：则PE PF，设点 P 坐标为234xxx（，）、则点1F xx（，），22223412218PEPFPFxxxx（）（），20，故PE PF有最大值，当2x时，其最大值为 18；（3）由题意得，5NC，当 NC是平行四边形的一条边时，设点 P 坐标为234xxx（，）、则点1M xx（，），由题意得：|5MPyy，即：234|15|xxx
9、，解得214x 或 0或 4（舍去 0此时 M和 C 重合），则点 M 坐标为(214,314)或(214,314)或45（，）；当NC是平行四边形的对角线时，则 NC的中点坐标为30,2，设点 P 坐标为234mmm（，）、则点1M nn（，），N、C，M、P 为顶点的四边形为平行四边形，则 NC的中点即为 PM 中点，即：2m33410,222nmmn ，解得：0n或4（舍去 0此时 M 和 C重合），故点4 3M（，）；故点M 的坐标为：(214,314)或(214,314)或45（，）或4 3（，）2（1）二次函数 y=ax2+bx3a 经过点 A（1，0）、C（0，3），将 A（1，
10、0）、C（0，3），代入，得3033abaa，解得12ab，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3；（2）如图，连接 DC、BC、DB，由 y=x2+2x+3=（x1）2+4 得，D 点坐标为（1，4），CD=22(10)(43)=2，BC=2233=32，BD=22(31)(40)=25，CD2+BC2=（2）2+（32）2=20，BD2=（25）2=20，CD2+BC2=BD2，BCD 是直角三角形；（3）y=x2+2x+3 对称轴为直线 x=1 假设存在这样的点 P,以 CD 为底边，则 P1D=P1C，设 P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2=x2+（3y）2，P1D2=（
11、x1）2+（4y）2，因此 x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即 y=4x又 P1点（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即 x23x+1=0，解得 x1=352，x2=3521，(不满足在对称轴右侧应舍去），x=352，y=4x=552，即点 P1坐标为（352，552）以 CD 为一腰，点 P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2与点 C 关于直线 x=1 对称，此时点P2坐标为（2，3）符合条件的点 P 坐标为（352，552）或（2，3）3（1）21248355yxx，顶点 D（2，635）；（2）C（4 10，0）或（5222，0）或（9710，0）；（3
12、）752（1）抛物线的顶点D的横坐标是 2，则x2ba 2，抛物线过A（0，3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b3，联立、解得：a125，b485，c=3，抛物线的解析式为：y125x2485x3 当x=2 时，y635，即顶点D的坐标为（2，635）；（2）A（0，3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：当AB=AC时，则：（m）2+（3）2=132，解得：m=410，即点C坐标为：（410，0）或（410，0）；当AB=BC时，则：（5m）2+92=132，解得：m=5222，即：点C坐标为（5222，0）或（
13、5222，0）；当AC=BC时，则：5m）2+92=（m）2+（3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）综上所述：存在，点C的坐标为：（410，0）或（5222，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H设直线AB的表达式为y=kx3，把点B坐标代入上式，9=5k3，则k125，故函数的表达式为：y125x3，设点P坐标为（m，125m2485m3），则点H坐标为（m，125m3），SPAB12PHxB52（125m2+12m）=6m2+30m=25756()22m，当m=52时，SPAB取得最大值为：752 答：PAB的面积最大值为752 4 解：(1)将
14、二次函数20yax a的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2个单位，得到的抛物线解析式为212ya x，1OA，点A的坐标为1,0，代入抛物线的解析式得，420a，12a，抛物线的解析式为21122yx，即21322yxx 令0y，解得11x，23x，3,0B，4ABOAOB，ABD的面积为 5，152ABDDSAB y，52Dy，代入抛物线解析式得，2513222xx，解得12x，24x，54,2D，设直线AD的解析式为ykxb，5420kbkb，解得：1212kb，直线AD的解析式为1122yx(2)过点E作EMy轴交AD于M，如图，设213,22E aaa，则11,22M aa，22
15、1113132222222EMaaaaa，112ACEAMECMESSSEM22113121342224aaaa，213254216a，当32a 时，ACE的面积有最大值，最大值是2516，此时E点坐标为315,28 (3)作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FHAE于点H，交x轴于点P，315,28E，1OA，35122AG ，158EG，5421538AGEG，90AGEAHP，3sin5PHEGEAGAPAE，35PHAP，E、F关于x轴对称，PEPF，35PEAPFPHPFH，此时FH最小，1515284EF，AEGHEF，4sinsin5AGFHAEGHEFAEEF
16、，415354FH 35PEPA的最小值是 3 5 解：（1）把 A（-3，0）代入 y1=x2+bx+3 得：9-3b+3=0，解得：b=4，y1的表达式为：y=x2+4x+3；（2）将 y1变形得：y1=（x+2）2-1 据题意 y2=（x+2-4）2-1=（x-2）2-1=x2-4x+3；抛物线 y2的表达式为 y=x2-4x+3；（3）y2=（x-2）2-1，对称轴是 x=2，顶点为（2，-1）；当 y2=0 时，x=1 或 x=3，E（1，0），F（3，0），D（0，3），直线 y=kx+k-1 过定点（-1，-1）当直线 y=kx+k-1 与图象 G有一个公共点时，t=-1，当直线
17、 y=kx+k-1 过 F（3，0）时，3k+k-1=0，解得：k=14，直线解析式为 y=14x-34，把 x=2代入=14x-34，得：y=-14，当直线过 D（0，3）时，k-1=3，解得：k=4，直线解析式为 y=4x+3，把 x=2代入 y=4x+3得：y=11，即 t=11，结合图象可知 t=-1，或14t11 6 （）抛物线 yx22ax+4a+2与 x 轴的一个交点为（1，0），0（1）22a（1）+4a+2，解得，a12，yx2+xx（x+1），当 y0 时，得 x10，x21，即抛物线与 x轴另一交点坐标是（0，0）；（）抛物线 yx22ax+4a+2x2+22a（x2），
18、不论 a 取何实数，该抛物线都经过定点（2，6），即点 H的坐标为（2，6）；证明：抛物线 yx22ax+4a+2（xa）2（a2）2+6，该抛物线的顶点坐标为（a，（a2）2+6），则当 a2时，（a2）2+6取得最大值 6，即点 H是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点 7 解：（1）抛物线22y axx c经过(0,3)A、(3,0)B两点，9603acc，13ac，抛物线的解析式为223y xx，直线ykxb经过(0,3)A、(3,0)B两点，303kbb，解得：k1b3，直线AB的解析式为3yx，（2）2223(1)4yxxx，抛物线的顶点 C 的坐标为(1,4)，/CEy轴，(1,2)E
19、，2CE，如图，若点 M 在 x 轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CEMN，设(,3)M a a，则2(,23)N a aa，223(23)3MN aaaaa ，232aa，解得：2a，1a（舍去），(2,1)M，如图，若点 M 在 x 轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CEMN，设(,3)M a a，则2(,23)N a aa，2223(3)3MN aaaaa，232aa，解得：3172a，3172a（舍去），317317(,)22M，综合可得 M 点的坐标为(2,1)或317317(,)22 （3）如图，作/PGy轴交直线AB于点 G，设2(,23)P m mm，则(,3)G m
20、 m，223(23)3PG mmmmm，22211393327(3)3()2222228PABPGAPGBSSSPG OBmmmmm ，当32m 时，PAB面积的最大值是278，此时 P 点坐标为33(,)22 8 解：（1）抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0），B（3，0），309330abab，解得：12ab 抛物线的解析式为 yx2+2x+3；（2）如图，过点 D作 DHx轴，与直线 BC交于点 E，抛物线 yx2+2x+3，与 y轴交于点 C，点 C（0，3），OC3，SAOC121332，点 B（3，0），点 C（0，3）直线 BC解析式为 yx+3，点 D（xD，yD）
21、，点 E（xD，xD+3），yDxD2+2xD+3，DExD2+2xD+3（xD+3）xD2+3xD，SBCD312DE3，BCD 的面积等于AOC 的面积的 2 倍 2xD2+3xD，xD1（舍去），xD2，点 D坐标（2，3）；（3）设点 M（m，0），点 N（x，y）当 BD 为边，四边形 BDNM 是平行四边形，BN 与 DM互相平分，30022y，2322mx y3，3x2+2x+3 x2（不合题意），x0 点 N（0，3）2322mx，m1，当 BD 为边，四边形 BDMN是平行四边形，BM 与 DN互相平分，3222mx，00322y y3，3x2+2x+3 x17，32(17)
22、22m，m7，当 BD 为对角线，BD 中点坐标（52，32），522mx，0322y，y3，3x2+2x+3 x2（不合题意），x0 点 N（0，3）m5，综上所述点 M坐标（1，0）或（7，0）或（7，0）或（5，0）9 解：（1）2ax12a，2y axax 3的对称轴为x1.2y axax 3人最大值为 4，抛物线过点1,4.得a2a34，解得a1.该二次函数的解析式为2yx2x 3.C点坐标为0,3，顶点D的坐标为1,4.（2）PC PDCD，当P,C,D三点在一条直线上时，PC PD取得最大值.连接DC并延长交y轴于点P，22PC PDCD14 32.PC PD的最大值是2.易得直
23、线CD的方程为yx3.把P t,0代入，得t3.此时对应的点P的坐标为3,0.2ya|x|2a x3的解析式可化为22x23,0,yx23,0.xxxx 设线段PQ所在直线的方程为ykxb，将P t,0，Q 0,2t的坐标代入，可得线段PQ所在直线的方程为y2x2t.（1）当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点，此时t3.当t3时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点.（2）当线段PQ过点0,3，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一
24、个公共点，此时3t2.当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，t3，此时线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像有两个公共点.所以当3t32时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点.（3）将y2x2t 带入2yx2x 3 x0，并整理，得2x4x2t30.16 4 2t 328 8t.令28 8t0，解得7t2.当7t2时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点.综上所述，t的取值范围为t3或3t32或7t2.10 （1）y=x2+bx+c 经过点 C，则 c=3，将点 A的坐标代入抛物线表达式：y=
25、x2+bx+3，得：0=-1-b+3，解得：b=2，抛物线的表达式为：y=x2+2x+3；（2）存在，理由：令 y=0，得：x2+2x+3=0，解得：x=1或 3，故点 B（3，0），设直线 BC为 y=kx+b，将点 B、C 的坐标代入得：303kbb，解得：13kb 直线 BC的表达式为：y=x+3，设点 D（x，x2+2x+3），则点 P（x，x+3），则 PD=（x2+2x+3）（x+3）=x2+3x=239()24x，当 x32时，PD最大值为：94；（3）过点 B作倾斜角为 30的直线 BH，过点 C作 CHBH 交于点 H，CH交对称轴于点 N，交 x 轴于点 M，则点 M、N 为所求 ABH=30，MHB=90，CMO=BMH=90-30=60 COB=90，COM=30，OC=3OM OC=3，OM=3，M（3，0），CM=2OM=2 3，MF=OM-OF=3 1，MB=OB-OM=33 FMN=60，tanFMN=NFFM，33 1NF，NF=33，N（1，33）CN+MN12MB 的最小值=CM12MB=13 3 32 3(33)22