圆的相关概念教案.pdf

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1、1/11 新航标个性化一对一辅导教案 学生姓名：日期：201 年 1 月 2223日 上课时段：14：-16：30 辅导科目:数学 课次:第、次 课时：（)小时 上课地点:教学目标 1.圆的相关概念 2.弦、弧等与圆有关的定义 垂径定理及其推论 4圆的对称性 教学内容 1。点和圆的位置关系 2圆周角定理及其推论 3。直线与圆的位置关系 教学重难点 1.点和圆的位置关系 2。直线与圆的位置关系 教学过程 考点一、圆的相关概念 、圆的定义 在一个平面内，线段A 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点 O叫做圆心，线段 OA叫做半径.2、圆的几何表示

2、 以点为圆心的圆记作“O”，读作“圆”考点二、弦、弧等与圆有关的定义 (）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如图中的 A）(2）直径 经过圆心的弦叫做直径.(如途中的 CD）直径等于半径的倍。(）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论 1：(1）平分弦(不是直径

3、)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：2/11 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、

4、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.推论:在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；0的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.考点

5、七、点和圆的位置关系 设O的半径是，点 P 到圆心 O的距离为 d，则有：r点 P 在O内；d点 P 在O上；dr点 P 在O外。考点八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。考点九、直线与圆的位置关系 3/11 直线和圆有三种位置关系，具体如下：（)相交:直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;（）相切：直线和

6、圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线,（3）相离:直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果的半径为,圆心 O 到直线的距离为d,那么：直线 l 与O 相交r；直线 l 与O 相切d=r;直线与O 相离r；考点十、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即：在O中,四边ABCD是内接四边形 180CBAD 180BD DAEC 考点十一、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线、性质定理：切线垂直于过切

7、点的半径（如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即:过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。考点十二、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：PA、PB是的两条切线 PAPB；PO平分BPA 考点十三、圆幂定理 1、相交弦定理:圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等.即:在O中，弦AB、CD相交于点P，PA PBPC PD 推论:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，

8、直径ABCD，EDCBANMAOPBAOPODCBAOEDCBA4/11 2CEAE BE、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中,PA是切线，PB是割线 2PAPC PB 3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。即：在O中，PB、PE是割线 PC PBPD PE 考点十四、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:12OO垂直平分AB.即：1O、2O相交于A、B两点 12OO垂直平分AB 考点十五、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:

9、()公切线长:12Rt OO C中，22221122ABCOOOCO;(）外公切线长：2CO是半径之差;内公切线长：2CO是半径之和 考点十六、三角形的内切圆和外接圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。考点十七、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种.如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

10、、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R 和，圆心距为d，那么 两圆外离dR+两圆外切d=R+两圆相交R-rd）4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点十八、圆内正多边形的计算 DECBPAOBAO1O2CO2O1BA5/11 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.3、正三角形 在 O中 ABC是 正 三 角 形，有 关 计 算 在

11、Rt BOD中 进行:1:3:2OD BD OB；4、正 四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OE AE OA：5、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA。考点十九、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点二十、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正

12、多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形.考点二十一、弧长和扇形面积 、弧长公式 n的圆心角所对的弧长的计算公式为180rnl 2、扇形面积公式 lRRnS213602扇 其中是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长.、圆锥的侧面积 DCBAOECBADOBAOSlBAO6/11 rlrlS221 其中是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径.考点二十二、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆

13、心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（)ABC中，C=90 ,AC=b,B =a,AB=c，则 内 切 圆 的 半 径r=2cba。（3）SAC=)(21cbar,其中 a，b,是边长，r 是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。如图,BC 切O 于点，AB 为弦,ABC 叫弦切角，ABC=。C 1如图5112,A是O的直径,弦CDAB，垂足为，下列结论不成立的是（）A.CMM BCBDB CADADC D.OMD 图51-2 2如图5-113，B,D是的两条弦，连接AD，B，若BA60，则CD的度数 为（)图1-13 A。40 。50 C

14、。6 D。70 3如图5114，已知AB，D是O的两条直径，ABC30,那么BA（)图51-14 A45 B.60 C。0 D.30 4已知：如图5-115，OA，B是O的两条半径,且OAB，点C在O上，则AB的度数为(）A.B3 C25 D 图5115 5。如图5-1，已知BD是O的直径，点A,在O上，AB=BC,AOB=60，则BDC的度数是（）B O A D 7/11 图116 A .25 C3 D40。如图1-,AB是O的直径,点C在上,若=4，则B的度数为（）图5-17 A。0 60 C5 D40 7。如图511，若A是O的直径，CD是的弦，ABD=55,则BCD的度数为()3 。4

15、5 C55 D.7 图18 8。如图1-1，点A,B，在圆O上,A60，则BOC=_度.图-119 如图520，已知OB=20，则A=_度。图5-120 10。如图-121,四边形ABD是圆的内接四边形,E是BC延长线上一点，若BD=105,则DCE的大小是（）图521.15 B.105 C。100 .9 1.如图5122，C过原点,且与两坐标轴分别交于点A，B,点的坐标为（0，），M是第三象限内OB上一点，B=20,则C的半径长为（）8/11 A.B.C3 D.r（)图5122 2.如图-123,AB为O的直径,弦CDAB于点E,已知CD=2，EB2，则的直径 为(）图5123 A.8 。1

16、 16 2 如图5124，在半径为5的O中，弦AB6，点C是优弧AB上一点(不与A,重合),则cos的值为_。图52 三级训练 4.如图51-26,A是O的直径,AC是弦，DAC于点D，过点A作的切线AP，P与OD的延长线交于点P,连接PC，BC.图5126()猜想：线段O与C有何数量和位置关系，并证明你的结论;(2）求证:P是O的切线。.(202 年广东梅州)如图-25,A是O的直径,弦BD交AC于点E（1)求证：ADEBC；（2)如果AD2=AAC，求证：C=B.图 5125.若O的半径为 cm，点A到圆心O的距离为 cm,那么点与的位置关系是（)点A在圆内 B.点A在圆上 C点A在圆外

17、.不能确定 2.如图513，在RtA中，C90，AC=6，B0，D是斜边B上的中线，以AC为直径作O,设线段的中点为,则点与O的位置关系是点P(）A在O内 B。在O上 在O外 D无法确定 图5-13 9/11 3。已知的半径为2，直线l上有一点P满足PO2，则直线l与的位置关系是(）A相切 B.相离 C.相离或相切 D。相切或相交 4在平面直角坐标系xOy中，以点（3,)为圆心,4为半径的圆（)A.与x轴相交,与y轴相切 B.与x轴相离，与y轴相交 C。与x轴相切,与轴相交 。与x轴相切，与y轴相离 5如图5140，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）图50 A B。3 C.

18、3 D2 6如图541，O2相内切于点A,其半径分别是8和4，将O2沿直线O1O平移至两圆相外切时,则点O2移动的长度是（）图-141 A。4 B.8 C.16 D8或6 7。已知O的半径为，圆心到直线l的距离为，当dr时,直线l与O的位置关系是（）A相交 B.相切 C相离 D.以上都不对 8.已知O的面积为 cm2,若点O到直线的距离为 m,则直线与O的位置关系是()相交 B。相切 C。相离 D无法确定 9.如图5-142，圆周角BA55，分别过B,两点作的切线,两切线相交于点,则BPC_ 图5142 10已知直线l与O相切,若圆心O到直线l的距离是，则的半径是_。11.如图5-14，B为O

19、的直径,EF切O于点D，过点作BHEF于点H，交于点C，连接BD.X k B 。c m 图5143(1）求证:BD平分ABH；（2）如果AB=12,BC=，求圆心到BC的距离.12如图514，PA与O相切于点，弦ABO，垂足为C，与O相交于点,已知O2，OP4 图5144(1)求PO的度数；(2）计算弦AB的长 13如图5110/11 4，点A,B，C分别是O上的点，B=6,AC3,C是的直径,是D延长线上的一点，且AP=A.（1）求证:AP是O的切线；（2）求PD的长.图45 二、例题分析，变式练习 练习：已知O 的半径为 5c，为线段P 的中点,当 OP=6m 时，点A 在O_；当 O10

20、cm 时,点在O_；当 OP=18cm 时，点 A在_ 例 1 求证:矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.已知(略)求证(略）分析：四边形 ABCD 是矩形 OA=OC,OB=OD;AC=BDOA=OCOB要证 A、B、C、4 个点在以 O为圆心的圆上 证明：四边形 ABD是矩形 OAOC,BOD；C=BD A=O=OB=OD A、B、C、D 个点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上.符号“”的应用（要求学生了解）证明：四边形 ACD是矩形 OAOC=O=OD A、B、C、D 4个点在以为圆心，O为半径的圆上 小结：要证几个点在同一个圆上,可以证明这几个点与一个定点的距离相等。问

21、题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，,正方形,等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上（让学生探讨）练习 求证：菱形各边的中点在同一个圆上。（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力 A层自主完成）练习 2 设 AB=3cm,画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.（1)和点 A的距离等于 2cm 的点的集合；(2)和点 B的距离等于 2cm 的点的集合;（）和点，B的距离都等于 2c的点的集合;()和点 A,B的距离都小于 2m 的点的集合;(A层自主完成）三、课堂小结 问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：（1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；（2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件,二者缺一不可;（）注重对数学能力的培养 作业：练习册.学生签字：班主任签字:教师签字：教学信息反馈表 11/11 尊敬的教师：您好!为了教务部门能够及时了解学情,课后协助您做好学生学习督导工作,共同促进学生的发 展，请老师协助如实填写以下表格。教师姓名 学生姓名 辅导科目 课 堂 情 况 学生课堂表现 作业完成情况 给班主任和 家长的建议 本次课作业内容 辅导策略 辅导方法 教学效果 班主任管理意见 日期 年 月 日